2022年重慶梅江中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析

2022年重慶梅江中學(xué)高三數(shù)學(xué)文上學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.下列命題正確的是（

）A．在三角形ABC中，，則邊

B．若對任意正整數(shù)，有，則數(shù)列為等比數(shù)列

C．向量數(shù)量積，則夾角為鈍角

D．為函數(shù)的極值點的充要條件是參考答案：A由正弦定理，，A正確；等比數(shù)列任意項不能為零，B錯誤；當(dāng)向量反向共線時，數(shù)量積，C錯誤；為函數(shù)的極值點需要且附近單調(diào)性相反，D錯?！究键c】正弦定理，等比數(shù)列，向量，極值2.已知a、b、c是三條不同的直線，命題“a∥b且a⊥c?b⊥c”是正確的，如果把a、b、c中的兩個或三個換成平面，在所得的命題中，真命題有（）A．1個

B．2個

C．3個

D．4個參考答案：C分析： 先求出把a、b、c中的任意兩個換成平面，得到的三個命題，然后根據(jù)線面平行的性質(zhì)和面面垂直的判定定理進(jìn)行判定即可．最后再把a、b、c中的三個都換成平面，得到的一個命題進(jìn)行判斷．解答： 解：（I）先求出把a、b、c中的任意兩個換成平面：若a，b換為平面α，β，則命題化為“α∥β，且α⊥c?β⊥c”，根據(jù)線面平行的性質(zhì)可知此命題為真命題；若a，c換為平面α，γ，則命題化為“α∥b，且α⊥γ?b⊥γ”，b可能與γ相交或在平面γ內(nèi)，此命題為假命題；若b，c換為平面β，γ，則命題化為“a∥β，且a⊥γ?β⊥γ”，根據(jù)面面垂直的判定定理可知此命題為真命題，即真命題有2個；（II）把a、b、c中的三個都換成平面，得到的一個命題：“α∥β，且α⊥γ?β⊥γ”，根據(jù)面面垂直的判定定理可知此命題為真命題，故選C．點評： 本題主要考查了平面的基本性質(zhì)及推論，以及線面平行的性質(zhì)和面面垂直的判定定理等，屬于中檔題．3.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問題：“今有蒲（水生植物名）生一日，長三尺；莞（植物名，俗稱水蔥、席子草）生一日，長一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．問幾何日而長等？”意思是：今有蒲生長1日，長為3尺；莞生長1日，長為1尺．蒲的生長逐日減半，莞的生長逐日增加1倍．若蒲、莞長度相等，則所需的時間約為（）日．（結(jié)果保留一位小數(shù)．參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30，lg3≈0.48）A．1.3 B．1.5 C．2.6 D．2.8參考答案：C【考點】88：等比數(shù)列的通項公式．【分析】設(shè)蒲（水生植物名）的長度組成等比數(shù)列{an}，其a1=3，公比為，其前n項和為An．莞（植物名）的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1=1，公比為2，其前n項和為Bn．利用等比數(shù)列的前n項和公式及其對數(shù)的運算性質(zhì)即可得出．【解答】解：設(shè)蒲（水生植物名）的長度組成等比數(shù)列{an}，其a1=3，公比為，其前n項和為An．莞（植物名）的長度組成等比數(shù)列{bn}，其b1=1，公比為2，其前n項和為Bn．則An=，Bn=，令=，化為：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+≈2.6．∴估計2.6日蒲、莞長度相等，故答案為：C．4.函數(shù)的圖象是圓心在原點的單位圓的兩段弧（如圖），則不等式的解集為 （

） A． B． C． D．參考答案：A略5.在等差數(shù)列{an}中，a1=2，a3+a5=10，則a7=（）A．5 B．8 C．10 D．14參考答案：B【考點】等差數(shù)列的通項公式．【分析】由題意可得a4=5，進(jìn)而可得公差d=1，可得a7=a1+6d，代值計算即可．【解答】解：∵在等差數(shù)列{an}中a1=2，a3+a5=10，∴2a4=a3+a5=10，解得a4=5，∴公差d==1，∴a7=a1+6d=2+6=8故選：B【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式，屬基礎(chǔ)題．6.陀螺是漢族民間最早的娛樂工具之一，也作陀羅，閩南語稱作“干樂”，北方叫作“冰尜”或“打老?！?陀螺的主體形狀一般是由上面部分的圓柱和下面部分的圓錐組成，從前的制作材料多為木頭，現(xiàn)代多為塑料或鐵制，玩耍時可用繩子纏繞用力抽繩，使其直立旋轉(zhuǎn)；或利用發(fā)條的彈力使其旋轉(zhuǎn)，下圖畫出的是某陀螺模型的三視圖，已知網(wǎng)絡(luò)紙中小正方形的邊長為1，則該陀螺模型的體積為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：D依題意，該陀螺模型由一個四棱錐、一個圓柱以及一個圓錐拼接而成，故所求幾何體的體積，故選D.7.某程序框圖如圖所示，若輸出的，則判斷框內(nèi)為

A．

B．

C．

D．參考答案：B8.已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，若對于任意給定的不等實數(shù)、，不等式恒成立，則不等式的解集為（

） A．

B．

C．

D．參考答案：B9.已知集合,下列結(jié)論成立的是（

）A． B． C． D．參考答案：D略10.已知O為內(nèi)一點，且由，則和的面積之比為（

）A．

B．

C．

D．

參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知均為單位向量，且它們的夾角為60°，當(dāng)取最小值時，___________．參考答案：略12.已知則的值是________________.參考答案：略13.若的面積為，，則邊長AB的長度等于

.參考答案：214.已知圓M：（x＋cosq）2＋（y－sinq）2＝1，直線l：y＝kx，下面四個命題：(A)對任意實數(shù)k與q，直線l和圓M相切；(B)對任意實數(shù)k與q，直線l和圓M有公共點；(C)對任意實數(shù)q，必存在實數(shù)k，使得直線l與和圓M相切(D)對任意實數(shù)k，必存在實數(shù)q，使得直線l與和圓M相切其中真命題的代號是______________（寫出所有真命題的代號）參考答案：答案：（B）（D）解析：圓心坐標(biāo)為（－cosq，sinq）d＝故選（B）（D）15.如圖，函數(shù)（其中，，）與坐標(biāo)軸的三個交點、、滿足，，為的中點，，則的值為____________參考答案：16.已知拋物線y2=x上一定點B（1，1）和兩個動點P、Q，當(dāng)P在拋物線上運動時，BP⊥PQ，則Q點的縱坐標(biāo)的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）【考點】拋物線的簡單性質(zhì)．【專題】計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】先假設(shè)P，Q的坐標(biāo)，利用BP⊥PQ，可得=0，從而可得方程，再利用方程根的判別式大于等于0，即可求得Q點的縱坐標(biāo)的取值范圍．【解答】解：設(shè)P（t2，t），Q（s2，s）∵BP⊥PQ，∴=0，即（t2﹣1，t﹣1）?（s2﹣t2，s﹣t））=0即t2+（s+1）t+s+1=0∵t∈R，P，Q是拋物線上兩個不同的點∴必須有△=（s+1）2﹣4（s+1）≥0．即s2﹣2s﹣3≥0，解得s≥3或s≤﹣1．∴Q點的縱坐標(biāo)的取值范圍是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．故答案為：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．【點評】本題重點考考查取值范圍問題，解題的關(guān)鍵是利用=0構(gòu)建方程，再利用方程根的判別式大于等于0進(jìn)行求解．17.

甲、乙、丙人站到共有級的臺階上，若每級臺階最多站人，同一級臺階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是

（用數(shù)字作答）．參考答案：336

解析：對于7個臺階上每一個只站一人，則有種；若有一個臺階有2人，另一個是1人，則共有種，因此共有不同的站法種數(shù)是336種．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）在橢圓C：，中，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左右焦點A1，A2，B1，B2分別為四個頂點，已知菱形A1B1A2B2和菱形B1F1B2F2的面?zhèn)€積分別為4和2.（1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過橢圓C的右頂點A2作兩條互相垂直的直線分別和橢圓交于另一點P，Q，試判斷直線PQ是否過定點，若過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由．參考答案：（1）依題意知：，解得，即橢圓.

……5分(2)解法1：由題意知，直線與直線的斜率均存在且不為，設(shè)，,設(shè)直線的方程為：,直線的方程為：由聯(lián)立消去整理可得：，容易知恒成立，所以，由韋達(dá)定理得：，所以，代人可得：，所以，同理可得：,當(dāng)軸時，，解得，此時直線方程為，知直線過點；當(dāng)直線與軸斜交時，直線的方程為：，化簡可得：知直線過定點.綜上知,直線恒過定點.

……12分解法2：顯然符合條件的直線存在，且斜率不為，設(shè)直線，，，則由及得

化簡得

①即依題意，即，代入①得

化簡得，解得或（舍去）

此時直線，過定點綜上知,直線恒過定點.

……12分解法3：設(shè)直線，則由及得

化簡得

①即依題意，即

，代入①得

化簡得，解得或當(dāng)時，直線，過點，不合理，舍去；當(dāng)時，直線，過定點.當(dāng)直線軸時，易得直線，也過定點.綜上知,直線恒過定點.

……12分19.已知函數(shù)(1)若在x∈[1，+∞]上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)若x=是的極值點，求在上的最小值和最大值．參考答案：解析：（1）在x∈[1，+∞]上是增函數(shù)

在[1，+∞]恒成立

當(dāng)時等號成立

由題可知

當(dāng)時，

此時由可得；

由可得，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為， 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為

又 極小值為 函數(shù)的函數(shù)的最小值為 函數(shù)的函數(shù)的最大值為

當(dāng)時，

此時由，在上為增函數(shù)，

略20. 已知函數(shù)f(x)=ln(x+1)+ax2-x，a∈R． (Ⅰ)當(dāng)時，求函數(shù)y=f(x)的極值； (Ⅱ)是否存在實數(shù)b∈(1,2)，使得當(dāng)x∈(-1,b]時，函數(shù)f(x)的最大值為f(b)？若存在，求實數(shù)a的取值范圍，若不存在，請說明理由．參考答案：解：（Ⅰ）當(dāng)時，， 則，化簡得（x>-1） ∴函數(shù)f(x)在(-1,0)，(1,+∞)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，且f(0)=0，， ∴函數(shù)y=f(x)在x=1處取到極小值為，在x=0處取到極大值為0； (Ⅱ)由題意 (1)當(dāng)a≤0時，函數(shù)f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增，在(0,+∞)上單調(diào)遞減, 此時，不存在實數(shù)b∈(0,1)，使得當(dāng)x∈(-1,b]時，函數(shù)f(x)的最大值為f(b)； (2)當(dāng)a>0時，令有x=0或， (ⅰ)當(dāng)即時，函數(shù)f(x)在和(0,+∞)上單調(diào)遞增，在上 單調(diào)遞減， 要存在實數(shù)b∈(0,1)，使得當(dāng)x∈(-1,b]時，函數(shù)f(x)的最大值為f(b)， 則，代入化簡得……（1） 令，因恒成立， 故恒有，∴時，（1）式恒成立；

（ⅱ）當(dāng)即時，函數(shù)f(x)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時由題，只需，解得，又，∴此時實數(shù)a的取值范圍是；（ⅲ）當(dāng)時，函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞增，顯然符合題意；綜上，實數(shù)a的取值范圍是．………… 15分略21.（12分）已知函數(shù)的反函數(shù)為，各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列滿足：，其中為數(shù)列的前項和，。（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列的前項和為，且，試比較與的大小。參考答案：解：（1）由，得

∴

由，得

當(dāng)時，得