空間向量學案

空間向量(理科)空間向量的線性運算知識點空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：(1)向量一般用有向線段表示同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。(2)空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示?？臻g向量的運算定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運算如下(如下圖)。OB=OA+AB=a+b； BA=OA-運算律：(i)加法交換律：a+b=b+a⑵加法結合律:(a+b)+c二a+(b+c)⑶數(shù)乘分配律：九(a+b)=M+Xb空間向量的基本定理知識點1.共線向量(1)如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a平行于b，記作a//b。當我們說向量a、b共線(或a//b)時，表示a、b的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。(2)共線向量定理：空間任意兩個向量a、b(b工0),a//b存在實數(shù)兒使a=xb。深化：對于空間中的任意兩個向量來說都是共面的，但三個向量不一定共面．當p、a、b都是非零向量時，共面向量定理實際上也是p、a、b所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時，還需證明其中一條直線上有一點在另外兩直線確定的平面內2.共面向量定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。共面向量定理:如果兩個向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實數(shù)x,y使p=xa+yb。空間向量基本定理：如果三個向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量p，存在一個唯一的有序實數(shù)組x,y,z，使p=xa+yb+zc。若三向量Ob,c不共面，我們把｛a,b,即叫做空間的一個基底，a,b,c叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。推論：設O,A,B,C是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的三個有序實數(shù)x,y,z，使 > >- > >OP=xOA+yOB+zOC。深化：如果三個向量a、b、c不共面，那么所有空間向量所組成的集合就是｛plp=xa+yb+zc,x、y、zUR｝.這個集合可看作是由向量a、b、c生成的，所以我們把｛a，b，c｝叫做空間的一個基底，a、b、c都叫做基向量.由上述定理可知，空間任意三個不共面的向量都可構成空間的一個基底.推論中，若x+y+z=l，則根據(jù)共面向量定理得：P、A、A、B、C四點共面.故Jx+y+z=1中x,y，z為參數(shù).向量的數(shù)量積(一)平面向量非零向量a和b,作OA=a,OB=b,則ZAOB=0(00<0<1800)叫向量a與b夾角.當0=Oo時,a與b同向，當0=18Oo時,a與b反向。當0=90。時,a與b垂直.記作a丄b向量a與?的數(shù)量積a?b=a?bcos0b在方方向上的投影|b|cos0數(shù)量積的性質：(1e-a二a-e=|a|cos0(0是a與e的夾角,e是單位向量)a丄boa-b=0當a與b同向時，a-b=ai|b|;當廳與b反向時,a-b=-|a|”a2=\a|2或|a|=\'a-acos0= [數(shù)量積滿足的運算律a-b=b-a(九a)?b=X(a-b)=a?(九b)；(a+b)?c=a?c+b?c(二)空間向量(i)空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量a,b,在空間任取一點O,作OA二乙~OB=飛，則ZAOB叫做向量a與b的夾角，記作<a,b>；且規(guī)定—?0?a，b><^，顯然有<a，b>=<b,a>；若<a,b>=-，則稱a與b互相垂直，記2作:a丄b。⑵向量的模：設OA=a，則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作：1a1。向量的數(shù)量積：已知向量a，b，則IaI?IbI?cos<a,b>叫做a，b的數(shù)量積，記作—> —> —A —Aa,b，即a,b=IaI?IbI?cos<a,b>?？臻g向量數(shù)量積的性質：①a?e=iaIcos<a,e>‘②a丄boa?b=o‘③丨a12=a?a?？臻g向量數(shù)量積運算律：①(ka)?b=X(a?b)=a?(kb):②a?b=b?a(交換律)；③a?(b+c)=a?b+a?c(分配律)?？臻g向量的直角坐標運算1.空間直角坐標系：(1)若空間的一個基底的三個基向量互相垂直，且長為1,這個基底叫單位正交基底，用{i,j,k}表示；(2)在空間選定一點O和一個單位正交基底{i,j,k}，以點O為原點，分別以i,j,k的方向為正方向建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫坐標軸.我們稱建立了一個空間直角坐標系0-xyz，點0叫原點，向量i,j,k都叫坐標向量.通過每兩個坐標軸的平面叫坐標平面，分別稱為xOy平面，yOz平面，zOx平面;(3)作空間直角坐標系0一xyz時，一般使厶Oy=135。(或45。)，ZyOz=90。；(4)在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，稱這個坐標系為右手直角坐標系+規(guī)定立幾中建立的坐標系為右手直角坐標系.

2．空間直角坐標系中的坐標：如圖給定空間直角坐標系和向量a，設i,j,k為坐標向量，則存在唯一的有序實數(shù)組12(a,a,a)'使a=ai+aj+a"k,有序實數(shù)組(a,a,a)叫作向量a在空間直角坐標系12312312312在空間直角坐標系O-xyz中，對空間任一點A，存在唯一的有序實數(shù)組(x,y,z)，使OA二xi+yj+zk，有序實數(shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直z角坐標系O-xyz中的坐標，記作A(x,y,z)，x叫橫坐標，y叫 /縱坐標，z叫豎坐標．如上圖3．空間向量的直角坐標運算律：(1)如右圖：若a=(a,a,a)，123—?b=(b,b,b)，123—?—?則a+b=(a+b,a+b,a+b)，112233—?—?a一b=(a一b,a一b,a一b)，112233九a=(九a,九a,九a)(XgR)，123—>—>a?b=ab+ab+ab，112233a//boa=Xb,a=Xb,a=Xb(九gR)，112233—