2022屆（全國乙卷）文科數(shù)學(xué)模擬試卷三（學(xué)生版+解析版）

保密★啟用前

2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬卷三

（全國乙卷?文科）

學(xué)校:姓名：班級：考號：

題號一二三總分

得分

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

評卷人得分

一、單選題（本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小

題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

一、單選題（共60分）

1.（本題5分）已知z=l-2i,則z（三+2i）=（）

A.9-2iB.l-2iC.9+2iD.l+2i

2.（本題5分）設(shè)集合A={X|14X43},B=-6x+8>0）,則（）

A.{x|2<x<3}B.{x|l<x<3}C.{x|l<x<4}D.{x|2<x<4}

3.（本題5分）已知AM是AABC的3c邊上的中線，若A月=小3e=5,則而等于

（）

A.B.+C.D.一+B

4.（本題5分）已知a=O.8?",b=log,3,c=logs8,則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

5.（本題5分）在等差數(shù)列｛q｝中，a3=0,a7-2a4=4,則為等于（）

A.1B.2C.3D.4

6.（本題5分）已知A、8、C是半徑為2的球面上的三個點(diǎn)，其中O為球心，且ACYBC,

AC=1,BC=5則三棱錐。一ABC的體積為（）

A.1B.BC.在D.-

262

7.（本題5分）高三（1）班男女同學(xué)人數(shù)之比為3:2,班級所有同學(xué)進(jìn)行踢犍球（腱子）

比賽，比賽規(guī)則是：每個同學(xué)用腳踢起犍球，落地前用腳接住并踢起，腳接不到鏈球比

賽結(jié)束.記錄每個同學(xué)用腳踢起健球開始到健球落地，腳踢到建球的次數(shù)，已知男同學(xué)

用腳踢到健球次數(shù)的平均數(shù)為17,方差為11，女同學(xué)用腳踢到健球次數(shù)的平均數(shù)為12,

方差為16,那么全班同學(xué)用腳踢到鍵球次數(shù)的平均數(shù)和方差分別為（）

A.14.5,13.5B.15,13C.13.5,19D.15,19

8.（本題5分）已知點(diǎn)P（x,y）在圓/+（k1>=1上運(yùn)動，則三的最大值為（）

A.&B.辿C.BD.巴叵

333

9.（本題5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S的值為

4甲s/

A.25B.24C.21D.9

10.（本題5分）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的《算盤全書》中提出了一個關(guān)于兔子繁殖

的問題：如果一對兔子每月能生1對小兔子（一雄一雌），而每1對小兔子在它出生后

的第三個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，從第1個月1對初生

的小兔子開始，以后每個月的兔子總對數(shù)是：1,1,2,3,5,8,13,21,這就是

著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是鳳=41+。7（〃*3,”“），其中4=1,%=L

若從該數(shù)列的前2021項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是偶數(shù)的概率為（）

673

A.B.

32021

674

C.D.----

22021

22的離心率為也，F(xiàn),,人分別為橢圓

11.（本題5分）已知橢圓

的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓上一個動點(diǎn).直線/的方程為法+勾-/-/=0,記點(diǎn)A到

直線/的距離為d,則d-|Ag|的最小值為（）

?4亞、

A.-h-2aB.-----〃+2。C.嗎D.嗎+〃

3333

12.體題5分）設(shè)函數(shù)/㈤/帆?!丁絲<龍已?。?。有四個實(shí)數(shù)根xxx

（x-4）,x>3

X4,且X1<X2<X3<X4,則;（七+》4）3的取值范圍是（）

評卷人得分

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（本題5分）已知ae（0,5）,cos（a+§）=—§,則COSa=.

14.（本題5分）曲線y=2x+lnx-F在x=l處的切線方程為.

x一qy

15.（本題5分）設(shè)尸1,尸2是橢圓C：前十爐=15泌>0）的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓C上的

一個點(diǎn)，且PBLPF2,若△?￡鳥的面積為9,周長為18,則橢圓C的方程為.

16.（本題5分）如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個觀景臺Q,已

TT

知射線AB，AC為濕地兩邊夾角為1的公路（長度均超過4千米），在兩條公路AB,

AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)E，F(xiàn),且AE=A?=2g千米，若要求觀景臺。與兩接送

點(diǎn)所成角ZEDF與ZBAC互補(bǔ)且觀景臺。在E尸的右側(cè)，并在觀景臺。與接送點(diǎn)E,F

之間建造兩條觀光線路DE與DF,則觀光線路之和最長是（千米）.

三、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟，第17?21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.）

（一）必考題：共60分

17.體題12分）已知函數(shù)/（x）=20cos（x+5卜os（x+：J.

（1）求“X）的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）求f（x）在0卷的最大值.

18.（本題12分）1.如圖，三棱柱ABC-4B￡中，側(cè)棱底面ABAC=90°,

AB=4,AC=AA,=2,M是AB中點(diǎn)，N是片片中點(diǎn)，P是與的交點(diǎn).

（1）求證：平面BC|N//平面ACM；

（2）求點(diǎn)P到平面的距離.

19.（本題12分）大氣污染物PM2.5的濃度超過一定的限度會影響人的健康.為了研究

PM2.5的濃度是否受到汽車流量的影響，研究人員選擇了24個社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平相近

的城市，在每個城市選擇一個交通點(diǎn)統(tǒng)計24小時內(nèi)過往的汽車流量x（單位：千輛）,

同時在低空相同的高度測定該時間段空氣中的PM2.5的平均濃度y（單位：惡的3）,制

作了如圖所示的散點(diǎn)圖：

PM2.5濃度與汽車流量

250

20o

15o

1

0o

5O

0.5001.0001.5002.000

汽車流量

（1）由散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合），與尤的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明（精

確到0.01）；

（2）建立y關(guān)于x的回歸方程；

（3）我國規(guī)定空氣中的尸例2.5濃度的安全標(biāo)準(zhǔn)為24小時平均依度75〃g/m3,某城市為

使24小時的PM2.5濃度的平均值在60~130"g/m3,根據(jù)上述回歸方程預(yù)測汽車的24小

時流量應(yīng)該控制在什么范圍內(nèi)？

附：

2424

參考數(shù)據(jù)：x=1.4,9=95,￡(X,-X)2=2.1,2(%一用2=60343,

i=lf=l

24l-2424—

初%-9)=294￡(可「君2￡(y,_刃2=357.

IVi=l/=1

^(xf-x)(y.-y)

參考公式：相關(guān)系數(shù)『=|J“，

茂(％-反f

V/=1r=l

ii

—工)(y—卞)

回歸方程y=6+晟中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：&=三——二一，

X(X，LP

f=l

a=y-bx.

20.(本題12分)設(shè)耳、尸2為橢圓C:0+4=l(a>%>O)的左、右焦點(diǎn)，焦距為2c,雙

ah

曲線。:三-9印與橢圓。有相同的焦點(diǎn)，與橢圓在第一、三象限的交點(diǎn)分別記為〃、

2

N兩點(diǎn)，若有|例=忸閭.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為B，過點(diǎn)(2,-1)的直線與C交于P、Q兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)B),

試證明：直線8P和8Q的斜率之和為定值.

21.(本題12分)已知函數(shù)/(x)=(x-2)e*+ox+2,4eR.

(1)當(dāng)a=l時，求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)當(dāng)xNO時，恒有/(x)NO,求實(shí)數(shù)a的最小值.

(二)選考題:共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做.則按所做

的第一題計分.

［選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程］

.36

X=1+—y-C0S^9

22.(本題10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G的參數(shù)方程為，,以

3亞.

y=一^―sin°

坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，1軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線G的極坐標(biāo)方程為

5p(cosO+sin6)-7=0.

(i)求曲線。的普通方程以及曲線G的直角坐標(biāo)方程;

(2)若射線/:3x-4y=0(x二0)與GC分別交于A8兩點(diǎn)，求的值.

［選修4—5:不等式選講］

23.體題10分)設(shè)M為不等式|x+l|+4N|3x-l|的解集.

(1)求M；

(2)若a,bwM,求眇一所引的最大值.

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2022年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬卷三

(全國乙卷?文科)

學(xué)校:姓名：班級：考號：

題號一二三總分

得分

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如

需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡

上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

評卷人得分

一、單選題(本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小

題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)

一、單選題(共60分)

1.(本題5分)已知z=l-2i,則z(三+2i)=()

A.9-2iB.l-2iC.9+2iD.l+2i

【答案】C

【分析】

結(jié)合共軌復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算即可求解.

【詳解】

由z=]_2inW=l+2i，則5+2i=l+4i，z(z+2i)=(l-2i)(l+4i)=9+2i.

故選：C

2.體題5分)設(shè)集合A={x|Yx<3},B=(x|?-6x+8>0},則Ac08=()

A.{x|2<x<3}B.{x|l<x<3}C.{x|l<x<4}D.{x|2vxv4}

【答案】A

【分析】

根據(jù)題意，求出集合3,再由交集與補(bǔ)集的定義求解即可.

【詳解】

由題意A={X|1MXS3},B={x|xN4或x?2},

則68=32。<4},

故Ac（d*）={x|2<xV3}.

故選：A.

3.（本題5分）已知AM是AABC的3c邊上的中線，若瓦=7恁=5,則而7等于

（）

A.Q（/?-a）B.+C.—^3—D.一1k+5

【答案】B

【分析】

利用平面向量的線性運(yùn)算可求得結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)锳M是AABC的8c邊上的中線，所以M為8c的中點(diǎn)，

所以說=恭+即'=^+2=^+；國-碉

]—1—]1-

=-AB+-AC=-a+-b.

2222

故選：B

4.（本題5分）已知。=0.83,h=lOg53,C=log88,則（）

A.a<b<cB.b<c<aC.c<b<aD.a<c<b

【答案】B

【分析】

由指數(shù)函數(shù)的知識可得。>1,由對數(shù)函數(shù)的知識可得匕vl,即可選出答案.

【詳解】

因?yàn)?=0.8"°4>0.8。=1,/?=log53<log55=l,c=log88=l

所以。vcva

故選：B

5.（本題5分）在等差數(shù)列{4}中，%=°，%-2%=4,則為等于（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】

利用已知求出d=2,再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)得解.

【詳解】

1

rlI%—2cl斗=ciy+4</—2（q+d）=—4+2d—2xi=4,

解得d=2,

故%=%+2d=4.

故選：D.

6.（本題5分）已知A、8、C是半徑為2的球面上的三個點(diǎn)，其中O為球心，且AC±BC,

AC=\,BC=6則三棱錐O—ABC的體積為（）

A.1B.@C.由D.4

262

【答案】D

【分析】

結(jié)合已知條件首先求出AABC的外接圓的半徑，進(jìn)而求出：棱錐O-A8C的高即可求解.

【詳解】

取AB的中點(diǎn)為。，連接?！?gt;,三棱錐O-他C如下圖：

因?yàn)锳C_L5C,所以。為AABC的外接圓的圓心，

由球體性質(zhì)可知，OD_L平面ABC,ODA.AB,

又因?yàn)锳C=1,BC=#>，所以ABMC'+BC?=2,

故AABC的外接圓的半徑BQ=1,

由已知條件可知，OA=OB=OC=2,從而0。=-JOB?_BD?=6，

故三棱錐o—/WC的體積為V=LLACBC0￡>=,X1X6X6=L

3262

故選：D.

7.（本題5分）高三（1）班男女同學(xué)人數(shù)之比為3:2,班級所有同學(xué)進(jìn)行踢超球（穰子）

比賽，比賽規(guī)則是：每個同學(xué)用腳踢起腿球，落地前用腳接住并踢起，腳接不到腱球比

賽結(jié)束.記錄每個同學(xué)用腳踢起健球開始到健球落地，腳踢到建球的次數(shù)，已知男同學(xué)

用腳踢到腱球次數(shù)的平均數(shù)為17,方差為11,女同學(xué)用腳踢到鍵球次數(shù)的平均數(shù)為12,

方差為16,那么全班同學(xué)用腳踢到健球次數(shù)的平均數(shù)和方差分別為（）

A.14.5,13.5B.15,13C.13.5,19D.15,19

【答案】D

【分析】

設(shè)男同學(xué)為初人，女同學(xué)為2。人，根據(jù)平均數(shù)公式及方差公式計算可得；

【詳解】

解：設(shè)男同學(xué)為3a人，女同學(xué)為2a人，則全班的平均數(shù)為止|竺乒的=15,

3a+2a

設(shè)男同學(xué)為西，々，L,彳3“，女同學(xué)為M，丫2,L，加，則%+々+…=3axl7=51a,

）1+%+…+%=24x12=24%所以男同學(xué)的方差

11=（%-17）2+他-17）。二+（三“T7）：①,女同學(xué)的方差

3a

16=（yT2）21色二12）2+二也匚12）：②;由①可得

2a

33。=xJ++,?,+￡,「+3axi7~—34（%+9+???+），即xJ+/~+,-+七/=900。，

由②可得32a=y?+y22H--F+—246/（^+y2----F%”）+為x12?,即

城+y：+…+，2/=320〃，所以全班同學(xué)的方差為

（X|15y+（々一]5）~+?一+（七.―15）~+（y-15）“+（%-15）2+…+（%。-15y

5a

即

%1"+x-y"++X3j—3O（X[+++w.）+3ax15~+y；+y，++%“*■—30（,+必++%“）+2〃xl5~

5a

900”3（）X51Q+3〃X152+320Q—3（）X24Q+2QX152

=---------------------------------------------=1I9N

5a

故選：D

8.（本題5分）已知點(diǎn)P（x,y）在圓/+（丫-1）2=1上運(yùn)動，則的最大值為（）

A.72B.-C.3D.還

333

【答案】C

【分析】

言表本點(diǎn)（x,y）與（2,1）連線的斜率，當(dāng)直線與圓相切時取得最大值或最小值，利用切

線性質(zhì)可求解

【詳解】

設(shè)左=2Z1,整理得依-y-2《+l=0,

x-2

k表示點(diǎn)(x,y)與(2,1)連線的斜率，當(dāng)直線與圓相切時取得最大值或最小值,

由盧寧=1解得％=±且，

J1+公3

上三的最大值為由

x-23

故選：C

9.(本題5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的S的值為

4出S/

A.25B.24C.21D.9

【答案】A

【分析】

根據(jù)程序框圖，順著流程線依次代入循環(huán)結(jié)構(gòu)，得到結(jié)果.

【詳解】

第一次循環(huán)：5=0+9,7=9+7：第二次循環(huán)：5=9+7,7=9+7+5；

第三次循環(huán)：S=9+7+5,T=9+7+5+3；第四次循環(huán)：S=9+7+5+3,

T=9+7+5+3+l；

第五次循環(huán)：S=9+7+5+3+l,T=9+7+5+3+l+(-l),此時循環(huán)結(jié)束，可得

S=四出=25.選A.

2

【點(diǎn)睛】

本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)，順著結(jié)構(gòu)圖，依次寫出循環(huán)，屬于簡單題型.

10.（本題5分）意大利數(shù)學(xué)家斐波那契在他的《算盤全書》中提出了一個關(guān)于兔子繁殖

的問題：如果一對兔子每月能生1對小兔子（一雄,?雌），而每1對小兔子在它出生后

的第三個月里，又能生1對小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，從第1個月1對初生

的小兔子開始，以后每個月的兔子總對數(shù)是：1,1,2,3,5,8,13,21,這就是

著名的斐波那契數(shù)列，它的遞推公式是q其中％=1,4=1.

若從該數(shù)列的前2021項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個數(shù)，則這個數(shù)是偶數(shù)的概率為（）

1673

A."B.----

32021

-1674

C.■-D.----

22021

【答案】B

【分析】

由斐波那契數(shù)列中偶數(shù)出現(xiàn)的周期性求前2021項(xiàng)中偶數(shù)的個數(shù)，再由古典概型概率求

法求概率即可.

【詳解】

2021

由題設(shè)，斐波那契數(shù)列從第一項(xiàng)開始，每三項(xiàng)的最后一項(xiàng)為偶數(shù)，而亍=673...2,

.?.前2021項(xiàng)中有673個偶數(shù)，故從該數(shù)列的前2021項(xiàng)中隨機(jī)地抽取一個數(shù)為偶數(shù)的概

上上673

率為----.

2021

故選：B

11.（本題5分）已知橢圓］+，=1的離心率為乎，耳，F(xiàn)?分別為橢圓

的左、右焦點(diǎn)，A為橢圓上一個動點(diǎn).直線/的方程為法+緲-/-6=0,記點(diǎn)A到

直線/的距離為d,則d—|Ag|的最小值為（）

A4優(yōu)R4V3,?「4凡D.的

A.---b—2、aB.----b+z.ciC.----b-a

333

【答案】A

【分析】

由橢圓的定義與橢圓的幾何性質(zhì)結(jié)合點(diǎn)到直線的距離求解即可

【詳解】

V/1在橢圓上，

二|A用+|A閭=2a,

d-\AF2\=d-(2a-\AFt\)=d+\AF}\-2a；

當(dāng)耳A_U時,d+|A4|取得最小值,最小值為耳到直線2的距離,

,,jjnL*」，I~bc—Q~—b~||—b~—2,b~—b~\4-\/3.

又到直線/的距離d=-—/,J=-------r---------=——ft，

\la2+b2<3b3

4J3

???3TAE\)min=-y-b-2a,

故選：A.

『|log9(x-1)L1<x<3

12.(本題5分)設(shè)函數(shù)/(］)=/7,〃x)=a有四個實(shí)數(shù)根再，X.,X3,

(x-4)~,x>3

%,且百<工2<工3<14，則;(與+匕)％++的取值范圍是()

「八小八、(

A.匕10，9B.(O,DC.(匕5410D.匕3臼A

【答案】A

【分析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式研究f(x)的性質(zhì)，并畫出函數(shù)圖象草圖，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合及題設(shè)條

件可得1<再<2<々<3<&<4</<5、、3+甚=8、(苦-1)(f-i)=i,進(jìn)而將目標(biāo)式轉(zhuǎn)

113

化并令f=2百一一+1,構(gòu)造g(x)=2x——+l,則只需研究g(x)在(一,2)上的范圍即可.

xix2

【詳解】

由分段函數(shù)知：1VXW2時」(x)e(y,O］且遞減；2VxM3時且遞增：

3cx<4時，/(8)￡(。,1)旦遞減；x±4時，f(x)?［。，?)且遞增；

由圖知：0<“<1時〃x)=。有四個實(shí)數(shù)根，且1<%<2<%<3</<4</<5,又

演+/=8，

由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：（%-1）（毛-1）=中2-（%+々）+1=1，可得

X2*1

1/\1cle1,3

令7（x3+xjx+—=2&+—=2xt-----+1=/，且一<玉<2,

由g(x)=2x」+l在(1,2)上單增,可知g(?)<2x-l+1<g(2),

x22x

所以

32

故選：A

評卷人得分

二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.（本題5分）已知a+=-g,貝ijcosa二.

［答案］巫二Z

6

【分析】

利用兩角差的余弦公式展開，即可得到答案;

【詳解】

(717l\(7v\71.(冗\(yùn).冗

cosa=cosa+-------=cosa+--cos—+sina+--sin—

I33)<3j3k3j3

十加卜閨冬?！?/p>

故答案為：巫二

6

14.(本題5分)曲線)，=2x+lnx-F在x=l處的切線方程為

【答案】丫=1

【分析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，從而可求出切線方程.

【詳解】

因?yàn)閥=2x+lnx-x3,所以r（x）=2+'-3x2,/（l）=2+lnl-l=1,

所以切線的斜率％=/'（1）=2+1-3=0,

所以切線方程為y=L

故答案為：y=L

y2

15.（本題5分）設(shè)尸尸2是橢圓C/―++鏟=1（4泌＞0）的兩個焦點(diǎn)，P為橢圓C上的

一個點(diǎn)，且PQJ_PF2,若△P￡鳥的面積為9,周長為18,則橢圓C的方程為.

92

【答案】三+匕=1

259

【分析】

由題意可知百鳥為直角三角形，由橢圓的定義結(jié)合已知條件即可求解

【詳解】

,：PF\VPFi,

為直角三角形，

又知△P66的面積為9,

：.^\PFt\-\PF2\=9,

得|PF6|P3|=18.

在心△尸￡與中，由勾股定理得|PFI|2+|PF2|2=|FIF2|2,

由橢圓定義知IPQI+IP尸2|=2a,

；.（|PQ|+|PF2|）2一2|PQ||PF2|=|FIB|2,即4a2—36=4〃，

An2—<?2=9,即爐=9,

又知比>0,

:?b=3,

???△P￡5的周長為18,

/.2a+2c=lS,即a+c=9,①

又知〃2—〃=9,

.?.a—c=1.②

由①②得4=5,c=4,

所求的橢圓方程為工+￡=1.

259

故答案為：—+^=1

259

16.（本題5分）如圖，某濕地為拓展旅游業(yè)務(wù)，現(xiàn)準(zhǔn)備在濕地內(nèi)建造一個觀景臺Q,已

TT

知射線AB,AC為濕地兩邊夾角為§的公路（長度均超過4千米），在兩條公路A8,

AC上分別設(shè)立游客接送點(diǎn)E,F,且AE=AF=26千米，若要求觀景臺。與兩接送

點(diǎn)所成角ZEDF與ZBAC互補(bǔ)且觀景臺。在EF的右側(cè)，并在觀景臺。與接送點(diǎn)E,F

之間建造兩條觀光線路OE與。F,則觀光線路之和最長是（千米）.

D

【答案】4

【分析】

27r

求出EF=AE=AF=2，LNEDF=-^,在ADEF中,利用余弦定理結(jié)合基本不等式

即可得出答案.

【詳解】

解：在中，因?yàn)锳E=A/=26，NEAF=1,

所以EF=AE=AF=2G，

又/EOF與NBAC互補(bǔ)，所以/￡?/=2/7r，

3

在4￡)￡尸中，由余弦定理得：EF2=AE2+AF2-2AE-AF-cos^EDF,

即AE-+AF2+AEAF=\1,即(AE+AF)2-AEAF=\2,

因?yàn)锳E.AF4；(AE+AF)2,

所以(AE+AF『-AEAF^n>(A￡+AF)2-：(AE+AF)2,

所以AE+AF44，當(dāng)且僅當(dāng)AE=AF=2時，取等號，

所以觀光線路之和最長是4.

故答案為：4

評卷人得分三、解答題(共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟，第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、

23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.)

(-)必考題：共60分

17.體題12分)已知函數(shù)〃x)=20

(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;

(2)求“X)在0微的最大值.

【答案】

(2)3

【分析】

（1）利用兩角和的余弦公式以及輔助角公式可得〃"=-&sin（2尢+￡|+1,再由正弦

函數(shù)單調(diào)區(qū)間，整體代入即可求解.

（2）根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性即可求解.

(1)

/(x)=20cos1+?cos(x+：)=2A/2-(-sinx)-^n.7i

cosxcos---sinxsin—

44

=-sinx(2cosx-2sinx)

=—sin2x+1—cos2.x-—\/2sin+1,

TTjr37r

2^+-<2x+-<2^+—

242

TT57r

解得女乃+—乃+—,kuZ,

88

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為kn+jkn+”,ksZ

O0

(2)

117///

由（1）2k?！?lt;2x+—<2k7r+—ykeZ,

242

^^k7r--<x<k7r+—,keZ

88

37r7i

函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為k7t--,k^+-,kwZ,

oo_

所以函數(shù)在0,￡上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

_8」I82_

/（o）=。，/[y]=3,所以函數(shù)的最大值為3.

18.（本題12分）1.如圖，三棱柱ABC-AB￡中，側(cè)棱"底面AB￡,ZBAC=90°,

AB=4，AC=AA=2,M是4?中點(diǎn)，N是A4中點(diǎn)，尸是BG與BQ的交點(diǎn).

(1)求證：平面BGN//平面ACM；

(2)求點(diǎn)P到平面ACM的距離.

【答案】

(1)具體見解析

(2)-V3

3

【分析】

(1)先證明GN〃CM,BN〃AM,進(jìn)而通過面面平行的判定定理即可證明；

(2)通過(1)可以得到〃平面&CM,所以點(diǎn)F到平面ACM的距離即為點(diǎn)8到

平面ACM的距離，進(jìn)而通過等體積法求得答案.

(1)

如圖，

連接MN,因?yàn)閙N分別為AB,Ag的中點(diǎn)，所以MN"BB?MN=BB\,

又CG〃BBrCC、=BB1,所以MN//Cq,MN=C。，則四邊形CMNq是平行四邊形,

所以GN//CM.

易有ANUBM，AN=BM,所以四邊形BMAN是平行四邊形，則6N〃AM.

又因?yàn)镃NCBN=N,所以平面BQN//平面4cM.

（2）

連接43,由（1）平面5GN//平面，而8Pu平面BGN,所以3P//平面ACM,

所以點(diǎn)尸到平面ACM的距離即為點(diǎn)B到平面ACM的距離，設(shè)其為，因?yàn)槔?，底?/p>

AB?,所以MJ.4C,又NBAC=90。，AB=4,AC=AA,=2,

2

由勾股定理，AtM=yj^+AM=272,CM二=2日

22

AiC=ylA,A+AC=2y/2,即三角形是正三角形，易得其面積

S.ACM=26'而S.CM=；S.ABC=；x2x4=2.

由匕「BCM=匕-ACM,可知;XS.MX償=gXXd,

即lx2x2=lx2Cxdnd=拽.所以點(diǎn)尸到平面ACM的距離為友.

3333

19.（本題12分）大氣污染物PM2.5的濃度超過一定的限度會影響人的健康.為了研究

PM2.5的濃度是否受到汽車流量的影響，研究人員選擇了24個社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展水平相近

的城市，在每個城市選擇一個交通點(diǎn)統(tǒng)計24小時內(nèi)過往的汽車流量x（單位：千輛）,

同時在低空相同的高度測定該時間段空氣中的PM2.5的平均濃度y（單位：Ng/n?）,制

作了如圖所示的散點(diǎn)圖：

PM2.5濃度與汽車流量

250

好0o

外5o

tT

zf0o

ds5O

0.5001.0001.5002.000

汽車流量

（1）由散點(diǎn)圖看出，可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，請用相關(guān)系數(shù)加以說明（精

確到0.01）；

（2）建立y關(guān)于x的回歸方程；

（3）我國規(guī)定空氣中的PM2.5濃度的安全標(biāo)準(zhǔn)為24小時平均依度75gg/m3,某城市為

使24小時的PM2.5濃度的平均值在60~130"g/m3,根據(jù)上述回歸方程預(yù)測汽車的24小

時流量應(yīng)該控制在什么范圍內(nèi)？

附：

2424

參考數(shù)據(jù)：x=1.4,y=95,2（%一箱2=2」,^（y,-7）2=60343,

i=lr=l

24,-2424—

Z（v制（%-力=294,￡（x,「君2￡（y「刃2=357.

,=,V汜1z=i

^（xf-x）（y.-y）

參考公式：相關(guān)系數(shù)『=|J"，

V1=1r=l

X（-v.-W,-7）

回歸方程y=6+晟中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：8=J---------

f=l

a=y-bx.

【答案】（1）答案見解析；（2）y=140匠-101;（3）24小時的車流量應(yīng)該控制在1150-1650

輛.

【分析】

（1）直接利用題干數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式計算即可：

（2）將已知數(shù)據(jù)代入最小二乘估計公式及4=》-應(yīng)算得凡方即可得到回歸直線方程；

（3）在回歸直線方程中分別令y=6O,y=13O即可.

【詳解】

294

解：（1）由題得r=——“0.82,

357

因?yàn)閥與X的相關(guān)系數(shù)近似為0.82,說明y與X具有很強(qiáng)的相關(guān)性，

從而可以用線性回歸模型擬合y與％的關(guān)系.

24

_,294__

（2）由y=95得6=旦行---------=—=140,a=y-^=95-140xl.4=-101,

2」

i=\

所以y關(guān)于左的回歸方程為y=140x-101.

（3）當(dāng)y=6O時，由140x701=60得x=l.15；

當(dāng)y=130時，由140x—101=130得x=1.65.

所以24小時的車流量應(yīng)該控制在1150~1650輛.

22

20.(本題12分)設(shè)F]、F?為橢圓C』+六=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，焦距為2c,雙

曲線C:三-丁=1與橢圓C有相同的焦點(diǎn)，與橢圓在第一、三象限的交點(diǎn)分別記為M、

2

N兩點(diǎn),若有|MV|=|耳閭.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)橢圓C的上頂點(diǎn)為3,過點(diǎn)(2,-1)的直線與C交于P、。兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)3),

試證明：直線和5Q的斜率之和為定值.

【答案】

2

(1)—+/=1

4-

(2)證明見解析

【分析】

(1)求得c=6,利用橢圓和雙曲線的定義求得C廠，再利用勾股定理可

\MF2\^a->j2

求得。的值，進(jìn)而可求得6的值，由此可求得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)分析可知直線PQ的斜率存在，設(shè)直線FQ的方程為y+l=%(x-2),設(shè)點(diǎn)尸(不凹)、

Q(芻,％)，聯(lián)立直線PQ與橢圓C的方程，列出韋達(dá)定理，利用斜率公式可求得直線8尸

和5。的斜率之和.

(1)

解：由雙曲線。的焦點(diǎn)與橢圓C的焦點(diǎn)重合，得c=6，

由雙曲線與橢圓的對稱性知四邊形州明為矩形，則,

由橢圓和雙曲線的定義可得\M周E\一+\M溫F2\=2a5解得w用=〃+&

\MF^a-y[l'

由勾股定理可得I4閭2=(2c)2=|歷娟,+四用2,即2/+4=]2,解得4=2,

則力=1,

因此，橢圓C的方程為=+丁=1.

4-

(2)

解：若直線PQ的斜率不存在時，則該直線的方程為x=2,直線PQ與楠圓C相切，不

合乎題意.

所以，直線尸Q的斜率存在，設(shè)直線尸Q的方程為y+l=A(x—2),即y=h-(2后+1),

設(shè)點(diǎn)尸（％，x）、Q（W，M），

y=kx-^2k+\)

聯(lián)立可得(4&2+I)X2-8Z(2A:+1)X+4(2&+1)2-4=0,

x2+4y2=4

A=64^2(2JI+1)2-16(4F+1)[(2A:+1)2-1]>0,可得上<0,

由韋達(dá)定理可得3+一嘿3

喙+即。=All+=也-2Z-2+kx-=2k_2億+1)(一+馬)

2(-+l)x81(2Z+l)

2k----------4號+1、------=2lc-(2k+l)=-\

4-2+1

【點(diǎn)睛】

方法點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：

（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關(guān)；

（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.

21.（本題12分）已知函數(shù)〃x）=（x-2）e'—1^+?+工被七

（1）當(dāng)。=1時，求"X）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)xNO時，恒有/（x）&0,求實(shí)數(shù)。的最小值.

【答案】

（1）增區(qū)間：（7,0）,（1，*?）,減區(qū)間：（0」）

（2）2e-4

【分析】

（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，求解不等式f'（x）＞0和/'（x）＜0可得:

(2)易得不符合題意，當(dāng)a>l,令r(x)=0nX|=1,毛=lnn,討論leave的情

況即可求出.

(1)

r2

當(dāng)a=l時，/(X)=(x-2)e*-1+x+2,f\x)=(x-l)(ev-1).

令/<x)>0=x<0或x>l,/,(x)<0=>0<x<l,

.?./(X)的增區(qū)間：(ro,0),(l.+oo),減區(qū)間：(0,1)；

(2)