關(guān)于球諧函數(shù)的討論

關(guān)于球諧函數(shù)的討論

在運(yùn)用力學(xué)理論和實(shí)際問題（例如，當(dāng)粒子場(chǎng)中的顆粒運(yùn)動(dòng)，粒子場(chǎng)中的顆粒運(yùn)動(dòng)，氫原子的勢(shì)能和波函數(shù)等）時(shí)，球致函數(shù)和沖浪函數(shù)的應(yīng)用是眾所周知的。數(shù)理方法中對(duì)球諧函數(shù)的研究采用的是分離變量法解方程并討論其特殊函數(shù)的方法。本文則采用了與之完全不同的思路來(lái)研究球諧函數(shù),即:在軌道角動(dòng)量的基礎(chǔ)上引入文獻(xiàn)中常用的方向算符,僅利用量子力學(xué)中算符之間的對(duì)易關(guān)系和基本代數(shù)關(guān)系,從算符的角度討論其本征值、本征矢,最后直接推出球諧函數(shù)的遞推公式。1基佐。i=1,2,3角動(dòng)量定義式:?L=?r×?Ρ(1)其中?r×?Ρ=?eiεijkripj,?ei(i=1,2,3)是基矢。對(duì)易關(guān)系:[Li,Lj]=i?∑ΚεijkLΚ,i,j,k=1,2,3(2)其中:εijk={+1i,j,k=1,2,3-1i,j,k=1,3,20其他(有兩個(gè)或兩個(gè)以上的下標(biāo)相同)(3)εijk俗稱Levi-civita符號(hào)。2sinnz的方向算符定義式:?n=?rr有:{nx=sinθcosφny=sinθsinφnz=cosθ(4)方向算符及其分量與位置算符?r一樣,是希耳伯空間中的算符,不是具體的數(shù),同理φ,θ也是算符,不是具體的角度。方向算符與位置算符的分量對(duì)易,與動(dòng)量算符則不對(duì)易。3[lx,nx,nx-nx主體地位之二由[Li,rj]=i?∑Κεijkrk易得:[Li,ni]=i?∑kεijknk(5)利用(5)式可證明:[L2,?n]=2i??n×?L-2(i?)2?n證明∶[L2,?n]=∑ij[LiLi,nj]?j=∑ij[Li[Li,nj]+[Li,nj]Li]?j=∑ij∑ki?[εijkLink+εijknkLi]?j=∑ijki?εijk[nkLi+i?∑lεijlnl+nkLi]?j=2i?∑ijkεijknkLi?j+(i?)2∑jl(∑ikεijkεiklnl?j)=2i??n×?L+(i?)2(-2)∑inj?j=2i??n×?L-2(i?)2?n故[L2,?n]=2i??n×?L-2(i?)2?n(證畢)定義:L±=L+±iLyn±=nx±iny利用算符?L?易得到下列一組對(duì)易關(guān)系:[L+,n+]=0[L-,n+]=-2?nΖ[L+,n-]=2?nΖ[L-,n-]=0[L+,nΖ]=-?n+[L-,nΖ]=?n-[LΖ?n+]=?n+[LΖ,n-]=-?n-[LΖ?nΖ]=0(7)現(xiàn)在任挑其中一對(duì)易關(guān)系[L+,n+]=0證明如下:證明:[L+,n+]利用(5)式得:[L+,n+]=i[Lx,ny]-i[Lx,Ly]=0(證畢)同理可證(7)式中的其他對(duì)易關(guān)系利用(6)式可以證明:[L2,n±]=±2?[n±LΖ-nΖL±]+2?n±[L2,nΖ]=?[n-L+-n+L-]+2?2nΖ(8)證明:利用A?×B?=(AyBΖ-AΖBy)i?+(AΖBx-AxBΖ)j?+(AxBy-AyBx)k?(6)式變?yōu)?[L2,n?]=2i?[(nyLΖ-nΖLy)i?+(nyLx-nxLy)j?+(nxLy-nyLx)k?]+2?2[nxi?+nyj?+nΖk?]寫成分量式為:[L2,nx]=2i?(nyLΖ-nΖLy)+2?nx[L2,ny]=2i?(nΖLx-nxLΖ)+2?ny[L2,nΖ]=2i?(nxLy-nyLx)+2?nΖ(9)又∵n-L+-n+L-=(nx-iny)(Lx+iLy)-(nx+iny)(Lx-iLy)=nxLx+nyLy+inxLy-inyLx-nxLx-nyLy-nyLx+inxLy=2i(nxLy-nyLx)(10)∴[L2nZ]=?[n-L+-n+L-]+2?2nZ(即為所證)同理:[L2n±]=[L2,nx]±i[L2,ny]=2?[i(nyLZ-nZLy)?(nZLx-nxLZ]-2i?(nx±iny)(利用(9)式)=±2?[n±LZ-nZL±]+?2n±(即為所證)(利用(10)式)下面利用以上推得的公式分別作用于以下本征態(tài)上,易證以下等式成立:(1)n+|l,l〉=C(l)|l+1,l+1〉(11-1)(2)n-|l,-l〉=C-(l)|l+1,-(l+1)〉(11-2)(3)nZ|l,l〉=C子(l)|l+1,l+1〉(11-3)(4)nZ|l,-l〉=C′Z(l)|l+1,-l〉(11-4)證明(11-1)式:將(8)式[L2,n+]=+2?[n+LZ-nZL+]+2?2n+作用于|ll〉上(即m=l時(shí))則:L2n+|ll〉=n+L2|ll〉+2?[n+LZ-nZL+]|ll〉+2?n+|ll〉=l(l+1)?2n+|ll〉+2?[l?n+|ll〉-0]+2?n+|ll〉=(l+1)(l+2)?2n+|ll〉∴n+|ll〉=C|l+1,□〉(12)把[LZ,n+]=?n+也作用于|l,l〉上,則:LZn+|ll〉=n+LZ|ll〉+?n+|ll〉=l?n+|ll〉+?n+|ll〉=(l+1)?n+|l,l〉∴n+|ll〉=C|□,l+1〉(13)綜合(12)、(13)得:n+|l,l〉=C+(l)|l+1,l+1〉(即為所證)同理可證:n-|l,-l〉=C-(l)|l+1,-(l+1)〉nZ|l,-l〉=CZ(l)|l+1,l)〉nZ|l,-l〉=C′Z(l)|l+1,-l〉接下來(lái)可求出系數(shù)C+(l)、C-(l)、CZ(l)、C′Z(l),具體如下:∵n-n++nΖ2=n+n-+nΖ2=1(易證)、用上式分別左乘〈l,l|,右乘|l,l〉得:〈ll|n-n+|ll〉+〈ll|nΖ2|ll〉=1〈l,l|l,l〉(14)利用n-=n++即:〈ll|n-=〈ll|n++=(n+|ll〉)*=(C+|l+1,l+1〉)*[利用(11-1)]=〈l+1,l+1|C*+(15)把(11-1)式及(15式代入(14)式得:〈l+1,l+1|C*+C|l+1,l+1〉+〈l+1,l|C*ZCZ|l+1,l〉=1∴C*+C++C*ZCZ=1(16)[L+,nZ]=-?n+,分別左乘〈l+1,l+1|,右乘|l,l〉得:〈l+1,l+1|l+nZ|ll〉-〈l+1,l+1|nZL+|ll〉=-?〈l+1,l+1|n+|l,l〉〈l+1,l+1|L+CZ|l+1,l〉-0=-?C+〈l+1,l+1|l+1,l+1〉(利用(11)式)(17)∵L+|l+1,l?=(l-m)(l+m+1)?|l,m+1?|n=l,l≠l+1=2l+2|l+1,l+1?∴(17)式變?yōu)椤?l+1,l+1|l+1,l+1?CΖ2l+2=-?C+∴2l+2CΖ=-C+(18)聯(lián)立(16)、(18)得:CΖ=12l+3,C+(l)=-2l+22l+3(19)同理:由n+n-+nΖ2=1左乘?l,-l|,右乘|l,-l?由[L-,nΖ]=?n-左乘?l+1,-(l+1)|?右乘|l,-l?}聯(lián)立求解可得:C′Ζ=12l+3,C-(l)=2l+22l+3(20)接下來(lái)可利用(11)、(19)、(20)式推倒nZ|l,l-1〉,n-|l,l〉的表達(dá)式:將:[L-,nZ]=?n-作用于|l,l〉∴L-nZ|l,l〉-nZL-|l,l〉=?n-|l,l〉整理:CZ(l)C[L-|l+1,l〉]|l+1,l-1〉-C[l-|l,l〉]nZ|l,l-1〉=?n-|l,l〉(21)其中:L+|l,m?=(l-m)(l+m+1)?|l,m+1?C[l+|l,m?]=(l-m)(l+m+1)?L-|l,m?=(l+m)(l-m+1)?|l,m-1?C[l-|l,m?]=(l+m)(l-m+1)?(22)將nΖ2=1-n-n+作用于|l-1,l-1〉∴nΖ2|l-1,l-1〉=|l-1,l-1〉-n-n+|l-1,l-1〉整理:CZ(l-1)nZ|l,l-1〉-|l-1,l-1〉=-C+(l-1)n-|l,l〉(23)注意利用(11)、(19)、(20)、(22)等式,并用(21)式×C+(l-1)+(23)式×?得:[?CΖ(l-1)-C+(l-1)C[l-|l,l?]]nΖ|l,l-1?-?|l-1,l-1?+CΖ(l)C[l-|l+1,l?]C+(l-1)|l+1,l-1?=0∴nΖ|l,l-1?=-CΖ(l)C[L-|l+1,l?]C+(l-1)|l+1,l-1?+?|l-1,l-1?[hCΖ(l-1)+C+(l-1)C[L-(l,l)]]=4l(2l+3)(2l+1)|l+1,l-1?+12l+1|l-1,l-1?(24)把(24)式代入(23)式得:n-|l,l?=1-C+(l-1)[CΖ(l-1)nΖ|l,l-1?-|l-1,l-1?]=2(2l+3)(2l+1)|l+1,l-1?+(12l(2l+1)-2l+12l|l-1,l-1?=2(2l+3)(2l+1)|l+1,l-1?-2l2l+1|l-1,l-1?(25)利用求得的nZ|l,l-1〉,n-|l,l〉的表達(dá)式(24)、(25)式,即可推得nZ|l,m〉,n±|lm〉的表達(dá)式,而此表達(dá)式即為球諧函數(shù)的遞推公式。具體見下文:首先補(bǔ)充一個(gè)證明:nZLl-m-=Ll-m-nZ-(l-m)?Ll-m-1-n-(26)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:∵[nZ,l-]=-?n-(見(7)式)∴[nZ,L2-]=-2?L-n-(易得)即nZL2=L2-nZ-2?L-n-設(shè)[nZ,Ln-1-]=-(n-1)?L-n-成立即:nZLn-1-=Ln-1-nZ-(n-1)?Ln-2-n-成立即:[nZ,Ln-]故:nZLn-=Ln-nZ-n?Ln-1n-成立用l-m代替上式中的上標(biāo)度n,故得:nZLl-m-=Ll-m-nZ-(l-m)?Ll-m-1n-(證畢)利用(26)式并注意(25)式、(22)式可得:nΖL-l-m|l,l?=1+m+l2l112l+3L-l-m+1|l+1,l?+(l+m)2l2l+1L-l-m+1|l-1,l-1?=1+m+l2l+1?12l+3(2l+1)!(l-m+1)!(l+m+1)!|l+1,m?+(l-m)?2l2l+1(2l-2)!(l-m-1)!(l+m-1)!|l-1,m?)利用(*1)式)整理得:nΖ|l,m?=(l+m+1)(l-m+1)(2l+1)(2l+3)|l+1,m?+(l+m)(l-m)(2l+1)(2l-1)|l-1,m?(利用*1式)(27)又由[L+,nZ]=-?n+作用于|l,m〉上去,并利用nZ|l,m〉及L+|l,m〉的結(jié)論得:n+|lm?=1?[nΖL+-L+nΖ]|lm?=1?nΖ(l-m)(l+m+1)?|l,m+1?-1?L+[(l+m+1)(l-m+1)(2l+1)(2l+3)|l+1,m?+(l+m)(l-m)(2l+1)(2l-1)|l-1,m?]=(l-m)(l+m+1)[(l+m+2)(l-m)(2l+1)(2l+3)|l+1,m+1?+(l+m+1)(l-m-1)(2l+1)(2l-1)|l-1,m+1?-(l-m+1)(l+m+2)(l+m+1)(l-m+1)(2l+1)(2l+3)|l+1,m+1?-(l-m-1)(l+m)(l+m)(l-m)(2l+1)(2l-1)|l-1,m+1?]整理得:n+|lm?=-(l+m+1)(l+m+2)(2l+1)(2l+3)|l+1,m+1?+(l-m)(l-m-1)(2l+1)(2l-1)|l-1,m+1?(28)同理,用[L-nZ]=?n-作用于|l,m〉可得:n-|l,m?=(l-m+1)(l-m+2)(2l+1)(2l+3)|l+1,m-1?-(l+m)(l+m-1)(2l+1)(2l-1)|l-1,m-1?(29)綜合(27)(28)(29)式得:nΖ|lm?=(l+m+1)(l-m+1)(2l+1)(2l+3)|l+1,m?+(l+m)(l-m)(2l+1)(2l-1)|l-1,m?(30)n±|l,m?=?(l±m(xù)+1)(l±m(xù)+2)(2l+1)(2l+3)|l+1,m±1?±(l?m)(l?m-1)(2l+