第1章 有理數(shù) 單元測試 拔尖卷（含解析）

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第1章有理數(shù)單元測試拔尖卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）

1．《九章算術(shù)》中有注：“今兩算得失相反，要令正負以名之．”意思是：“今有兩數(shù)若其意義相反，則分別叫做正數(shù)和負數(shù)．”如果支出3元記作+3，那么收入5元，記為：（）

A．-5B．-3C．+5D．+3

2．四位同學(xué)畫的數(shù)軸如下，正確的是（）

A．B．

C．D．

3．已知有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列式子成立的是（）

A．B．C．D．

4．計算的最小值為（）

A．0B．1C．2D．3

5．下列各對數(shù)中，互為相反數(shù)的是（）

A．2與B．和

C．與D．與

6．若規(guī)定表示大于x的最小整數(shù)，，，則下列結(jié)論錯誤的是（）

A．B．C．D．

7．一跳蚤在一直線上從點開始，第次向右跳個單位，緊接著第2次向左跳個單位，第次向右跳個單位，第次向左跳個單位，……，依此規(guī)律跳下去，當它跳第次落下時，落點處離點的距離是（）個單位.

A．B．C．D．

8．如果，，那么與的大小關(guān)系是（）

A．B．C．D．

9．已知有理數(shù)滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點是原點，點所對應(yīng)的數(shù)是，線段在直線上運動（點在點的左側(cè)），，

下列結(jié)論：①；②當點與點重合時，；③當點與點重合時，若點是線段延長線上的點，則；④在線段運動過程中，若為線段的中點，為線段的中點，則線段的長度不變．其中正確的是（）

A．①③B．①④C．①②③④D．①③④

10．如圖，，，，分別是數(shù)軸上四個整數(shù)所對應(yīng)的點，其中有一個點是原點，并且，數(shù)對應(yīng)的點到點，的距離相等，數(shù)對應(yīng)的點到點，的距離相等，若，則原點是（）

A．或B．或C．或D．或

二、填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）

11．在﹣1、0、1、2這四個數(shù)中，既不是正數(shù)也不是負數(shù)的是．

12．若，，且，把、、、、0按從大到小的順序進行排列可以排列為．

13．比較大?。ㄓ谩埃净?或＜”填空）．

14．若，則．

15．x是有理數(shù)，則的最小值是．

16．已知在數(shù)軸上A、B兩點分別表示的數(shù)是a和b，，，，點Р在數(shù)軸上且與點A、點B的距離相等，則點Р表示的數(shù)是．

17．點A，B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點之間的距離表示為AB，在數(shù)軸上A、B兩點之間的距離，若x是一個有理數(shù)，且，則．

18．已知：，且，則共有個不同的值，若在這些不同的值中，最大的值為，則．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）

19．（8分）請把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合中：

，，，，，，，．

正數(shù)集合：{…}；分數(shù)集合：{…}；

整數(shù)集合：{…}；有理數(shù)集合：{…}．

20．（8分）點A、B在數(shù)軸上的位置如圖所示：

（1）點A表示的數(shù)是___________，點B表示的數(shù)是___________．

（2）在數(shù)軸上表示下列各數(shù)：0，，，．

（3）把（1）（2）中的六個有理數(shù)用“”號連接起來

21．（10分）（1）在數(shù)軸上，點表示數(shù)，點表示原點，點、之間的距離．

（2）在數(shù)軸上，點、分別表示數(shù)、，點、之間的距離，數(shù)軸上分別表示和的兩點和之間的距離為3，那么

（3）計算：

（4）的最小值是

22．（10分）已知數(shù)軸上有、、三個點，分別表示有理數(shù)，，，動點從出發(fā)，以每秒個單位的速度向終點移動，設(shè)移動時間為秒．

（1）當時，點到點的距離______；此時點所表示的數(shù)為______；

（2）當點運動到點時，點同時從點出發(fā)，以每秒個單位的速度向點運動，點到達點后也停止運動，則點出發(fā)秒時與點之間的距離______；

（3）在（2）的條件下，當點到達點之前，請求出點移動幾秒時恰好與點之間的距離為個單位？

23．（10分）結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：

（1）數(shù)軸上表示3和2的兩點之間的距離是_____；表示和1兩點之間的距離是_____；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于．

（2）如果，那么______；

（3）若，，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點A、點B，則A、B兩點間的最大距離是______，最小距離是_____．

（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于與之間，則_____．

（5）當_____時，的值最小，最小值是_____．

24．（12分）學(xué)習(xí)了第二章《整式的加減》，我們知道，字母可以表示數(shù)．若表示有理數(shù)，小剛認為、－、、這四個數(shù)中，最大，－最小，你認為對嗎？若不對，請舉一個反例，并把這四個數(shù)從大到小排序．你能比較、－、、這四個數(shù)的大小嗎？

參考答案

1．A

【分析】在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．

解：收入5元，記為：-5

故選：A

【點撥】本題考查了正數(shù)與負數(shù)的知識，解題關(guān)鍵是理解“正”和“負”的相對性，確定一對具有相反意義的量．

2．D

【分析】根據(jù)數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度，即可解答．

解：A、缺少原點，故選項錯誤；

B、數(shù)軸的單位長度不統(tǒng)一，故選項錯誤；

C、數(shù)軸沒有正方向，故選項錯誤；

D、正確．

故選D．

【點撥】本題考查了數(shù)軸，解決本題的關(guān)鍵是熟記數(shù)軸的三要素．

3．D

【分析】根據(jù)數(shù)軸的特征得到有理數(shù)的大小關(guān)系，逐項判斷即可得到答案．

解：由有理數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置可知，且，則

A、由可知錯誤，不符合題意；

B、由、得到且，可知錯誤，不符合題意；

C、由題意可知，可知錯誤，不符合題意；

D、由得到，從而，即正確，符合題意，

故選：D．

【點撥】本題考查數(shù)軸的特征及數(shù)大小的比較，熟練掌握數(shù)軸的特征是解決問題的關(guān)鍵．

4．D

【分析】由，可得表示在數(shù)軸上點x與1和之間的距離的和，即可求解．

解：

，

表示在數(shù)軸上點x與1和之間的距離的和，

當時，

有最小值3．

故選：D．

【點撥】本題主要考查了絕對值的應(yīng)用，數(shù)軸上兩點之間的距離，理解絕對值的意義，掌握距離的求法是解題的關(guān)鍵．

5．C

【分析】先分別計算每組中的兩個數(shù)，再根據(jù)相反數(shù)的定義判斷即可.

解：A.2與不是相反數(shù)，故不符合題意；

B.=，故不符合題意；

C.，，2與-2互為相反數(shù)，故符合題意；

D.，，=，故不符合題意.

故選：C

【點撥】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)，相反數(shù)的定義.熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

6．A

【分析】根據(jù)題意，逐一進行判斷即可．

解：A、，選項錯誤，符合題意；

B、，選項正確，不符合題意；

C、，選項正確，不符合題意；

D、，選項正確，不符合題意；

故選A．

【點撥】本題考查有理數(shù)比較大小．理解并掌握題干中的規(guī)定，是解題的關(guān)鍵．

7．B

【分析】設(shè)向右為正，向左為負．根據(jù)正負數(shù)的意義列出式子計算即可．

解：設(shè)向右為正，向左為負．則

1+（-2）+3+（-4）+．+（-100）=[1+（-2）]+[3+（-4）]+．+[99+（-100）]=-50．

∴落點處離O點的距離是50個單位．

故答案為:B．

【點撥】此題主要考查正負數(shù)在實際生活中的應(yīng)用，所以學(xué)生在學(xué)這一部分時一定要聯(lián)系實際，不能死學(xué)．

8．A

【分析】相乘的這些分數(shù)的特點是分母都是偶數(shù)，分子都是奇數(shù)；再寫出一道分數(shù)相乘，使它們分子都是偶數(shù)，分母都是奇數(shù)，把這兩道算式相乘，得出積為，由此進一步再做比較即可得解．

解：設(shè)，

∵，，

∴，

∴

，

∴，

∵，

∴，即，

故選A．

【點撥】本題考查了比較有理數(shù)的大小，采用適當?shù)姆绞綄⒂欣頂?shù)放大后比較是解題的關(guān)鍵．

9．D

【分析】根據(jù)平方式和絕對值的非負性求出a和b的值，然后根據(jù)數(shù)軸上兩點之間距離的計算方法和中點的表示方法去證明命題的正確性．

解：∵，，且，

∴，，解得，，故①正確；

當點與點重合時，

∵，，

∴，故②錯誤；

設(shè)點P表示的數(shù)是，

當點與點重合時，點B表示的數(shù)是2，

，，，

∴，故③正確；

設(shè)點B表示的數(shù)是，則點C表示的數(shù)是，

∵M是OB的中點，

∴點M表示的數(shù)是，

∵N是AC的中點，

∴點N表示的數(shù)是，

則，故④正確．

故選：D．

【點撥】本題考查數(shù)軸的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點之間距離的求解，中點的表示方法．

10．B

【分析】利用數(shù)軸特點確定a、b的關(guān)系，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)解答即可得出答案．

解：因為，

所以，

所以

當原點在或點時，，又因為，所以原點可能在或點

當原點在或點時，，所以原點不可能在或點

綜上所述，原點應(yīng)是在或點．

故選：B．

【點撥】本題考查了數(shù)軸的定義和絕對值的意義，解題的關(guān)鍵是先利用條件判斷出絕對值符號里代數(shù)式的正負性，再根據(jù)絕對值的性質(zhì)把絕對值符號去掉，把式子化簡后根據(jù)整點的特點求解．

11．0

【分析】根據(jù)題意，既不是正數(shù)，也不是負數(shù)的數(shù)只有0．

解：一個數(shù)既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，這個數(shù)是0．

故答案為0．

【點撥】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，解決本題需注意既不是正數(shù)也不是負數(shù)的數(shù)只有0．

12．

【分析】由，，利用相反數(shù)得，，由，說明在數(shù)軸上到零點的距離大于到零點的距離，可知數(shù)軸上在零到之間，在b到零之間，所以，，整理從大到小的順序即可．

解：∵，，

∴，，

∵，

∴數(shù)軸上到零點的距離大于到零點的距離，

∴數(shù)軸上在零與之間，在b與零之間，，，

則：，

故答案為：．

【點撥】本題考查了實數(shù)的大小排序，相反數(shù)，正數(shù)、零、負數(shù)在數(shù)軸上的位置關(guān)系，判斷出數(shù)軸上到零點的距離大于到零點的距離是解決本題的關(guān)鍵．

13．＞

【分析】根據(jù)正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于負數(shù)，兩個負數(shù)絕對值大的反而小，判斷即可．

解：∵，，且，

∴，

∴，

故答案為：．

【點撥】本題主要考查了有理數(shù)的大小比較，熟練掌握正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于負數(shù)，兩個負數(shù)絕對值大的反而小，是解決本題的關(guān)鍵．

14．3或/或3

【分析】根據(jù)分、和、兩種情況解答即可．

解：∵，

∴，或，，

若、，則；

若、，則；

綜上所述，的值為3或．

故答案為：3或．

【點撥】本題考查絕對值的性質(zhì)，掌握分情況討論思想是解題的關(guān)鍵．

15．

【分析】本題分3種情況①當x＜-時；②當-≤x≤時；③當x＞時進行討論，從而得到所求的結(jié)果．

解：分三種情況討論：

（1）當x＜-時，

原式=-（x-）-（x+）=-x+-x-=-2x+＞-2（-）+==；

（2）當-≤x≤時，

原式=-（x-）+x+=-x++x+==；

（3）當x＞時，

原式=x-+x+=2x-＞2×-==；

綜合（1），（2），（3），可得最小值是．

故答案為．

【點撥】本題主要考查了絕對值的運用，關(guān)鍵是討論時要討論所有的情況，不能缺少一個．

16．或

【分析】由得，所以，再由，得，，得，

所以，或，，再求點P表示的數(shù)即可．

解：∵，，

∴，．

又∵，

∴，

∴．

∴，或，．

當，時，

∵點Р在數(shù)軸上且與點A、點B的距離相等，

∴點P表示的數(shù)為；

當，時，

∵點Р在數(shù)軸上且與點A、點B的距離相等，

∴點P表示的數(shù)為；

∴點P表示的數(shù)為或．

故答案為：或．

【點撥】本題考查了數(shù)軸上的點所表示的數(shù)及中點的性質(zhì)，熟練掌握絕對值的相關(guān)概念及運算法則是解題的關(guān)鍵．

17．4

【分析】根據(jù)x的取值范圍，分別判斷x-1與x+3的正負，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)求解即可.

解：∵，

∴，，

∴原式

【點撥】此題主要考查了兩點間距離公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)絕對值的性質(zhì)化簡.

18．3

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)進行化簡即可

解：，，

，，，

，，三個數(shù)中有兩負一正，

當，為負，為正數(shù)時，

當，為負，為正數(shù)時，

當，為負，為正數(shù)時，

共有個不同的值，若在這些不同的值中，最大的值為，

，，

，

故答案為：3

【點撥】本題主要考查了絕對值，掌握絕對值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵

19．，5.2，，；，5.2，，；0，，；，5.2，0，，，，．

【分析】根據(jù)有理數(shù)的分類，可得答案．

解：，，，，，，，．

正數(shù)集合：，5.2，，，；

分數(shù)集合：，5.2，，，；

整數(shù)集合：，，，；

有理數(shù)集合：，5.2，0，，，，，．

故答案為：，5.2，，；，5.2，，；0，，；，5.2，0，，，，．

【點撥】本題考查了有理數(shù)的分類，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵．

20．（1），；

（2）見分析；

（3）．

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸即可得到答案；

（2）在數(shù)軸上表示出各數(shù)即可得到答案；

（3）根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)，即可得到答案．

（1）解：根據(jù)數(shù)軸可知，點A表示的數(shù)是，點B表示的數(shù)是，

故答案為：，；

（2）解：在數(shù)軸上表示各數(shù)如下所示：

（3）解：各數(shù)大小關(guān)系排列如下：

．

【點撥】本題考查了數(shù)軸，解題關(guān)鍵是熟練掌握用數(shù)軸表示有理數(shù)，熟記數(shù)軸上右邊的數(shù)大于左邊的數(shù)．

21．（1）3；（2）1或；（3）；（4）1

【分析】（1）數(shù)軸上兩點的距離右邊的數(shù)左邊的數(shù)，據(jù)此即可得到答案；

（2）根據(jù)已知中兩點的距離公式計算，即可得到答案；

（3）根據(jù)絕對值的意義去絕對值符號，再進行計算，即可得到答案；

（4）分三種情況討論，分別求出最小值，比較即可得到答案．

解：（1）點表示數(shù)，點表示原點，

點、之間的距離，

故答案為：3；

（2）數(shù)軸上分別表示和的兩點和之間的距離為3，

，

或，

故答案為：1或；

（3）

，

故答案為：；

（4）當時，，此時最小值為；

當時，，

當時，，此時最小值為，

綜上可知，的最小值是1，

故答案為：1．

【點撥】本題考查了絕對值的意義和數(shù)軸的定理，解題關(guān)鍵是掌握一個正數(shù)的絕對值是它本身；零的絕對值是零；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)．

22．（1），；（2）3；（3）秒或秒

【分析】（1）利用線段的長點的移動速度點的移動時間，可求出的長；利用點表示的數(shù)點的移動速度點的移動時間，可求出點所表示的數(shù)；

（2）由點，的出發(fā)點、移動方向、移動速度及移動時間，可求出點出發(fā)秒時點，表示的數(shù)，再利用數(shù)軸上兩點間的距離公式，即可求出此時的長；

（3）當點的移動時間為秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，根據(jù)，可得出關(guān)于的一元二次方程，解之即可得出結(jié)論．

解：（1）動點從出發(fā)，以每秒個單位的速度向終點移動，

當移動時間為秒時，；

又點表示有理數(shù)，

當移動時間為秒時，點表示的數(shù)為．

故答案為：，；

（2）當點出發(fā)秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，

此時．

故答案為：；

（3）當點的移動時間為秒時，點表示的數(shù)為，點表示的數(shù)為，

根據(jù)題意得：，

即或，

解得：或．

答：在的條件下，當點到達點之前，點移動秒或秒時恰好與點之間的距離為個單位．

【點撥】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及數(shù)軸，找準等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．

23．（1）；；（2）或；（3）；；（4）；（5），

【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸，觀察兩點之間的距離即可解決；

（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離，分兩種情況即可解答；

（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點間的距離分別求出a，b的值，再分別討論，即可解答；

（4）根據(jù)表示數(shù)a的點到與5兩點的距離的和即可求解；

（5）分類討論，即可解答．

（1）解：由數(shù)軸得

數(shù)軸上表示和的兩點之間的距離是：；

表示和兩點之間的距離是：；

故