數(shù)學(xué)物理方法-18 Laplace方程的格林函數(shù)法

拉普拉斯方程的格林函數(shù)法分離變量法積分變換法行波法格林函數(shù)法熱傳導(dǎo)方程擴(kuò)散方程波動方程拉普拉斯方程勢方程格林函數(shù)法是經(jīng)典的數(shù)學(xué)物理方法，不僅在數(shù)學(xué)領(lǐng)域、在很多工程技術(shù)領(lǐng)域應(yīng)用廣泛，如：量子力學(xué)、流體力學(xué)、材料科學(xué)、地震工程、海洋工程、大氣科學(xué)等等Green(1793-1841)：英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家格林出生在一個磨坊主家庭，童年輟學(xué)在父親的磨坊干活，他一邊干活一邊自修數(shù)學(xué)和物理。格林在1833─當(dāng)時他已經(jīng)40歲，才以自費(fèi)生的身份進(jìn)入劍橋大學(xué)科尼斯學(xué)院學(xué)習(xí)，4年后畢業(yè)獲學(xué)士學(xué)位，1839年被聘為劍橋大學(xué)教授。格林發(fā)展了電磁理論，他引入的位勢等概念，其意義遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了解位勢方程。他首次研究了與求解數(shù)學(xué)物理邊值問題密切相關(guān)的特殊函數(shù)─格林函數(shù)。在分析引入英國后，他是第一個沿著歐洲大陸的研究線索前進(jìn)的英國數(shù)學(xué)家。他的工作培育了數(shù)學(xué)物理學(xué)方面的劍橋?qū)W派，其中包括了近代很多偉大的數(shù)學(xué)物理學(xué)家，如威廉.湯姆遜、斯托克斯（Stokes）、瑞利（Rayleigh）、麥克斯韋等。1828年，格林自費(fèi)出版了一本小冊子《數(shù)學(xué)分析在電磁學(xué)理論中的應(yīng)用》，當(dāng)時并未引起人們注意，后來被英國數(shù)學(xué)物理學(xué)家湯姆遜發(fā)現(xiàn)，并認(rèn)識到它的巨大價值。1854年，他將這篇論文重新發(fā)表在著名的數(shù)學(xué)期刊《數(shù)學(xué)雜志》上，此時格林已逝世十三年了。格林的這篇論文，在數(shù)學(xué)和物理研究中，都有著重要的意義。格林留下的著作雖然不多，但在現(xiàn)代數(shù)學(xué)物理方面具有舉足輕重的地位，都是數(shù)學(xué)物理中經(jīng)典的內(nèi)容。

格林那種自強(qiáng)不息的精神、自學(xué)成才的氣節(jié)，深受贊揚(yáng)。格林函數(shù)法：從奧高公式到格林公式奧.高公式：其中，Ω是閉曲面Σ圍成的空間。取特定的P,Q,R，給定u(x,y,z),v(x,y,z)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在邊界上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)第一格林公式，其中n為曲面微元dS的外法向矢量。格林函數(shù)法：從奧高公式到格林公式第一格林公式上述公式中，u和v交換位置，兩式相減，得稱為第二格林公式重要啟示：兩個格林公式中，都存在Δu和Δv等項(xiàng)，正是Laplace算子。這或許是格林函數(shù)法的思想源頭。若求解未知函數(shù)u，我們有很大的自由選擇函數(shù)v可交換位置格林函數(shù)法：格林公式靜電場場強(qiáng)（置于原點(diǎn)處的點(diǎn)電荷q在其周圍空間形成的電勢場）求解任意點(diǎn)M(x,y,z)的梯度，計(jì)算時，令ε=q=1u滿足齊次Laplace方程進(jìn)一步計(jì)算Δu格林函數(shù)法：格林公式靜電場場強(qiáng)（置于非原點(diǎn)處(M0(x0,y0,z0))的點(diǎn)電荷q在其周圍空間形成的電勢場）同樣滿足齊次Laplace方程。這個函數(shù)作為v，代入格林公式，格林函數(shù)法：格林公式但是，v有奇性，而格林公式成立的前提條件是：u(x,y,z),v(x,y,z)在Ω內(nèi)有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，在邊界Σ上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。這種情況在數(shù)學(xué)上如何處理？挖去點(diǎn)M0(x0,y0,z0)以該點(diǎn)為中心的球，令半徑趨于0ΣnnSεM0Vε那么，Ω－Vε組成復(fù)連通域，其表面是Σ+Sε格林函數(shù)法：格林公式上式中，表示外法線上的方向?qū)?shù)。格林函數(shù)法：格林公式上式中，表示外法線上的方向?qū)?shù)，對于外界面Σ，其表達(dá)式如下其中｛cosα,cosβ,cosγ｝是外界面Σ外法線n方向的單位矢量。對于內(nèi)界面Sε，方向?qū)?shù)如下格林函數(shù)法：格林公式其中，P1和P2分別表示小球面Sε上的兩個點(diǎn)，當(dāng)ε0時，P1和P2

M0，那么上式的極限是積分中值定理格林函數(shù)法：格林公式第三格林公式，M0是Ω中任意一點(diǎn)，r是點(diǎn)M到M0的距離。如果在邊界Σ上u和?u/?n已知，且Δu在Ω上已知，則第三格林公式暗示了一個解。狄利克雷問題格林函數(shù)法：基本思想調(diào)和函數(shù)，即滿足Laplace方程第三格林公式上式表明，調(diào)和函數(shù)在區(qū)域中的值，可以用它及它的導(dǎo)數(shù)在區(qū)域邊界上的值表示。對于非齊次的情況，即泊松方程給定f和Ω，體積分可以求解。此項(xiàng)根據(jù)不同邊界條件求解，求解方法待續(xù)……格林函數(shù)法：調(diào)和函數(shù)的性質(zhì)第二格林公式性質(zhì)（1）：令u為調(diào)和函數(shù)，v=1，則性質(zhì)（2）平均值定理：設(shè)u在M0為中心、R為半徑的球內(nèi)調(diào)和，球面上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則性質(zhì)（3）極值定理：設(shè)u在Ω內(nèi)調(diào)和、在邊界上連續(xù)且不為常數(shù)，則：它的最大最小值在邊界上達(dá)到。格林函數(shù)法：格林函數(shù)狄利克雷問題在Ω上Σ是Ω的邊界Laplace方程的特解形式（第三格林公式）結(jié)合上述兩式，得至此，問題是不是就解決了呢？未解決，因?yàn)榉匠痰挠叶撕形粗克伎迹簽槭裁床荒軐=φ代入方向?qū)?shù)項(xiàng)。格林函數(shù)法：格林函數(shù)努力方向：既然方向?qū)?shù)值無法獲得，是否能消去該部分呢？上式源于何處？第二格林公式取特殊的函數(shù)，而來的。如果換成更一般的調(diào)和函數(shù)滿足Δg=0，那么格林函數(shù)法：格林函數(shù)第三格林公式相加再來看u的外法線方向?qū)?shù)，要消去方向?qū)?shù)，則只要求，在界面Σ上r-1+g＝0。通過這個重要的項(xiàng)，定義格林函數(shù)若滿足：格林函數(shù)在界面Σ上等于0，即格林函數(shù)法：格林函數(shù)狄氏問題的積分解但是，還需確定輔助函數(shù)g，該函數(shù)是調(diào)和函數(shù)，且在邊界上滿足，因此構(gòu)造新的狄氏問題：以上過程，從一個狄氏問題轉(zhuǎn)換到另一個狄氏問題。格林函數(shù)法：格林函數(shù)狄利克雷問題第三格林公式給出的解格林函數(shù)的輔助要確定格林函數(shù)，須求解此解的重要意義上述問題和φ無關(guān)，即與原問題的邊界條件