第2章 空間描述與坐標(biāo)變換

1第二章空間描述與坐標(biāo)變換2-1位置姿態(tài)表示與坐標(biāo)系描述

位置描述矢量Ap表示箭頭指向點(diǎn)的位置矢量，其中右上角標(biāo)“A”表示該點(diǎn)是用{A}坐標(biāo)系描述的。（2-2）方位（姿態(tài)）描述坐標(biāo)系{B}與機(jī)械手末端工具固連，工具的姿態(tài)可以由坐標(biāo)系{B}的方向來(lái)描述。而坐標(biāo)系{B}的方向可以用沿三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量來(lái)表示圖2-3姿態(tài)表示（2-1）旋轉(zhuǎn)矩陣是用坐標(biāo)系{A}來(lái)表示坐標(biāo)系{B}沿坐標(biāo)軸方向單位矢量組成的矩陣，同樣我們也可以用坐標(biāo)系{B}來(lái)表示坐標(biāo)系{A}的單位矢量得到旋轉(zhuǎn)矩陣2旋轉(zhuǎn)矩陣的元素可以用坐標(biāo)系{B}的單位矢量在坐標(biāo)系{A}單位矢量上的投影來(lái)表示

（2-3）

（2-5）對(duì)比（2-3）和（2-5）可知兩個(gè)旋轉(zhuǎn)矩陣互為轉(zhuǎn)置，再根據(jù)正交矩陣的性質(zhì)可得以下關(guān)系

（2-6）旋轉(zhuǎn)矩陣描述坐標(biāo)系{B}的姿態(tài)，矢量描述坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)位置。3位姿描述固連坐標(biāo)系把剛體位姿描述問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系的描述問(wèn)題。圖2-3中坐標(biāo)系{B}可以在固定坐標(biāo)系{A}中描述為（2-7）平移坐標(biāo)變換圖2-4平移變換BP為坐標(biāo)系{B}描述的某一空間位置，我們也可以用AP（坐標(biāo)系{A}）描述同一空間位置。因?yàn)閮蓚€(gè)坐標(biāo)系具有相同的姿態(tài)，同一個(gè)點(diǎn)在不同坐標(biāo)系下的描述滿足以下關(guān)系

（2-8）旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換的任務(wù)是已知坐標(biāo)系{B}描述的一個(gè)點(diǎn)的位置矢量BP和旋轉(zhuǎn)矩陣，求在坐標(biāo)系{A}下描述同一個(gè)點(diǎn)的位置矢量AP。

4旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)變換

（2-9）將（2-9）式寫(xiě)成矩陣形式得（參見(jiàn)（2-3）式）（2-10）圖2-5旋轉(zhuǎn)變換

式（2-10）即為我們要求的旋轉(zhuǎn)變換關(guān)系，該變換是通過(guò)兩個(gè)坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn)變換實(shí)現(xiàn)的。例2-1圖2.6給出了兩個(gè)平面坐標(biāo)系的位置關(guān)系，計(jì)算旋轉(zhuǎn)變換矩陣和同一矢量P在兩個(gè)坐標(biāo)系下表示之間的關(guān)系，假設(shè)矢量長(zhǎng)度為r。5圖2-6平面旋轉(zhuǎn)變換根據(jù)（2-3）式可知旋轉(zhuǎn)變換矩陣為，根據(jù)幾何關(guān)系直接計(jì)算P在{A}下的表示顯然與上式相同，印證了坐標(biāo)變換方法的正確性。6復(fù)合變換圖2-7復(fù)合變換如果兩個(gè)坐標(biāo)系之間即存在平移又存在旋轉(zhuǎn)關(guān)系，如何計(jì)算同一個(gè)空間點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系下描述的變換關(guān)系？為了得到位置矢量BP和AP之間的變換關(guān)系，我們建立一個(gè)中間坐標(biāo)系{C}。

（2-11）（2-12）為了得到位置矢量BP和AP之間的變換關(guān)系，只需坐標(biāo)系{B}在坐標(biāo)系下{A}的描述。是4

4矩陣，稱為齊次坐標(biāo)變換矩陣?？梢岳斫鉃樽鴺?biāo)系{B}在固定坐標(biāo)系{A}中的描述。72-3齊次坐標(biāo)變換

坐標(biāo)變換（2-12）可以寫(xiě)成以下形式

（2-13）將位置矢量用4

1矢量表示，增加1維的數(shù)值恒為1，我們?nèi)匀挥迷瓉?lái)的符號(hào)表示4維位置矢量并采用以下符號(hào)表示坐標(biāo)變換矩陣（2-14）（2-15）齊次坐標(biāo)變換的主要作用是表達(dá)簡(jiǎn)潔，同時(shí)在表示多個(gè)坐標(biāo)變換的時(shí)候比較方便。8矢量的點(diǎn)積與叉積規(guī)定兩矢量的點(diǎn)積為一標(biāo)量而兩矢量的交積為另一個(gè)與此兩相乘矢量所決定的平面垂直的矢量?jī)墒噶康慕环e記憶方法92.4齊次變換算子在機(jī)器人學(xué)中還經(jīng)常用到下面的變換，如圖2-8，矢量AP1沿矢量AQ平移至的AQ終點(diǎn)，得一矢量AP2。已知AP1和AQ求AP2的過(guò)程稱之為平移變換，與前面不同，這里只涉及單一坐標(biāo)系。圖2-8平移算子

（2-16）可以采用齊次變換矩陣表示平移變換（2-17）稱為平移算子，其表達(dá)式為（2-18）

其中I是3

3單位矩陣。例如若AQ=ai+bj+ck，其中i、j和k分別表示坐標(biāo)系{A}三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量，則平移算子表示為

10同樣，我們可以研究矢量在同一坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)變換，如圖2-9，AP1繞Z軸轉(zhuǎn)

角得到AP2。則圖2-9旋轉(zhuǎn)算子（2-20）Rot(z,

)稱為旋轉(zhuǎn)算子，其表達(dá)式為（2-21）同理，可以得到繞X軸和Y軸的旋轉(zhuǎn)算子

11定義了平移算子和旋轉(zhuǎn)算子以后，可以將它們復(fù)合實(shí)現(xiàn)復(fù)雜的映射關(guān)系。變換算子與前面介紹的坐標(biāo)變換矩陣形式完全相同，因?yàn)樗忻枋鼍谕蛔鴺?biāo)系下，所以不需上下標(biāo)描述（坐標(biāo)系）。（2-23）齊次坐標(biāo)變換總結(jié)：

表示坐標(biāo)系{B}在坐標(biāo)系{A}下的描述，的各列是坐標(biāo)系{B}2.它是不同坐標(biāo)系間的坐標(biāo)變換。如

3.它是同一坐標(biāo)系內(nèi)的變換算子。

齊次坐標(biāo)變換是復(fù)雜空間變換的基礎(chǔ)，必須認(rèn)真理解和掌握。具體應(yīng)用的關(guān)鍵是理解它代表的是上面三種含義的哪一種，而不是簡(jiǎn)單的套用公式！1.它是坐標(biāo)系的描述。三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量，而表示坐標(biāo)系{B}原點(diǎn)位置。如圖2-10表示的三個(gè)坐標(biāo)系，已知坐標(biāo)系{A}、{B}和{C}之間的變換矩陣和位置矢量CP，求在坐標(biāo)系{A}下表示同一個(gè)點(diǎn)的位置矢量AP。122.5復(fù)合變換復(fù)合變換主要有兩種應(yīng)用形式，一種是建立了多個(gè)坐標(biāo)系描述機(jī)器人的位姿，任務(wù)是確定不同坐標(biāo)系下對(duì)同一個(gè)量描述之間的關(guān)系；另一種是一個(gè)空間點(diǎn)在同一個(gè)坐標(biāo)系內(nèi)順序經(jīng)過(guò)多次平移或旋轉(zhuǎn)變換，任務(wù)是確定多次變換后點(diǎn)的位置。圖2-10復(fù)合坐標(biāo)變換

（2-24）（2-25）

根據(jù)坐標(biāo)變換的定義得（2-26）13(a)Z

Y順序旋轉(zhuǎn)(b)Y

Z順序旋轉(zhuǎn)圖2-11旋轉(zhuǎn)順序?qū)ψ儞Q結(jié)果影響例2-3已知點(diǎn)u=7i+3j+2k，先對(duì)它進(jìn)行繞Z軸旋轉(zhuǎn)90o的變換得點(diǎn)v，再對(duì)點(diǎn)v進(jìn)行繞Y軸旋轉(zhuǎn)90o的變換得點(diǎn)w，求v和w。如果只關(guān)心最后的變換結(jié)果，可以按下式計(jì)算計(jì)算結(jié)果與前面的相同，稱R=Rot(y,90o)Rot(z,90o)為復(fù)合旋轉(zhuǎn)算子。和，求和給定計(jì)算14繞固定坐標(biāo)系變換，矩陣乘的順序“自右向左”如果改變旋轉(zhuǎn)順序，先對(duì)它進(jìn)行繞y軸旋轉(zhuǎn)90o，再繞z軸旋轉(zhuǎn)90o，結(jié)果如圖2-11b所示。比較圖2-11a和圖2-11b可以發(fā)現(xiàn)最后的結(jié)果并不相同，即旋轉(zhuǎn)順序影響變換結(jié)果。從數(shù)學(xué)角度解釋就是矩陣乘法不滿足交換率，

Rot(y,90o)Rot(z,90o)

Rot(z,90o)Rot(y,90o)。2.6齊次變換的逆變換已知坐標(biāo)系{B}相對(duì)坐標(biāo)系{A}的描述求坐標(biāo)系{A}相對(duì)坐標(biāo)系{B}的描述一種直接的方法是矩陣求逆，另一種方法是根據(jù)變換矩陣的特點(diǎn)直接得出逆變換。后一種方法更簡(jiǎn)單方便。即齊次變換的求逆問(wèn)題。等價(jià)為：已知是坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)在坐標(biāo)系{B}中的描述，顯然為零矢量。由（2-28）式得15根據(jù)前面的討論，旋轉(zhuǎn)矩陣關(guān)系為

（2-27）將坐標(biāo)變換用于坐標(biāo)系{B}的原點(diǎn)得（2-28）（2-29）逆變換可以直接用正變換的旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣表示（2-30）例2-4如圖2-12給出的楔形塊角點(diǎn)坐標(biāo)系，求齊次坐標(biāo)變換圖2-12楔形塊角點(diǎn)坐標(biāo)系16{A}沿xA平移3個(gè)單位，再繞新的zA

軸轉(zhuǎn)180o得{B}因此②{B}沿zB平移2個(gè)單位，然后繞yB軸轉(zhuǎn)90o再繞新xB軸轉(zhuǎn)150o得{C}因此③{A}沿xA和zA平移3和2，然后繞yA軸轉(zhuǎn)90°，再繞新xA軸轉(zhuǎn)-30°得{C}也可以按以下方法計(jì)算17

事實(shí)上，對(duì)于像本例題這種簡(jiǎn)單的情況，可以直接利用齊次坐標(biāo)變換的定義得到變換矩陣。即直接寫(xiě)出坐標(biāo)系{C}坐標(biāo)軸矢量在坐標(biāo)系{A}下表示得旋轉(zhuǎn)矩陣，平移矢量為坐標(biāo)系{C}的原點(diǎn)在坐標(biāo)系{A}下的矢量表示。182.7變換方程圖2-13表示了多個(gè)坐標(biāo)系的關(guān)系圖，可以用兩種不同的方式得到世界坐標(biāo)系{U}下坐標(biāo)系{D}的描述。

（2-31）

（2-32）由（2-31）和（2-32）可以得到變換方程圖2-13坐標(biāo)變換序列可以利用變換方程（2-33）求解其中任意一個(gè)未知變換。例如，假設(shè)除以外其余變換均為已知，則該未知變換可以用下式計(jì)算在坐標(biāo)系的圖形表示方法中，從一個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)指向另一個(gè)坐標(biāo)系原點(diǎn)的箭頭表示坐標(biāo)系的描述關(guān)系。（2-35）（2-36）

19例2-5假設(shè)已知圖機(jī)械臂末端工具坐標(biāo)系{T}相對(duì)基座坐標(biāo)系{B}的描述，還已知工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}相對(duì)基座坐標(biāo)系{B}的描述，并且已知螺栓坐標(biāo)系{G}相對(duì)工作臺(tái)坐標(biāo)系{S}的描述。計(jì)算螺栓相對(duì)機(jī)械臂工具坐標(biāo)系的位姿。