高中數(shù)學(xué)第2章直線和圓的方程2.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課件新人教版選修1

2.4.1

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程課前·基礎(chǔ)認(rèn)知課堂·重難突破素養(yǎng)·目標(biāo)定位隨堂訓(xùn)練素養(yǎng)?目標(biāo)定位目標(biāo)素養(yǎng)1.回顧確定圓的幾何要素,在平面直角坐標(biāo)系中,探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程,提升邏輯推理素養(yǎng).2.會(huì)根據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).3.會(huì)判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,提升數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).知識(shí)概覽課前·基礎(chǔ)認(rèn)知1.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(1)圓的定義:圓是平面上到定點(diǎn)的距離等于

定長(zhǎng)

的點(diǎn)的集合.定點(diǎn)稱為

圓心

,

定長(zhǎng)

稱為圓的半徑.在平面直角坐標(biāo)系中,☉A的圓心為點(diǎn)A,半徑為r,M為圓上任意一點(diǎn),☉A用集合表示為P={M|

|MA|=r

}.

(2)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:圓心為A(a,b),半徑為r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

(x-a)2+(y-b)2=r2

.當(dāng)a=b=0時(shí),方程為x2+y2=r2,表示以

原點(diǎn)

為圓心、半徑為r的圓.

微判斷

判斷.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)圓(x+1)2+(y-2)2=3的半徑等于3.(

)(2)方程(x-a)2+(y-b)2=m2(a,b,m∈R)一定表示圓.(

)(3)若一個(gè)圓的方程為(x+1)2+(y-2)2=m2,則其半徑等于m.(

)(4)方程(2x-3)2+(2y+4)2=1表示圓,且其圓心坐標(biāo)為

.

(

)××√√2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系圓A:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圓心為A(a,b),半徑為r,點(diǎn)P(x0,y0),設(shè)d=|PA|.微拓展

圓上各點(diǎn)到圓外一點(diǎn)距離的最值:若點(diǎn)P在圓C外,圓的半徑等于r,那么圓C上各點(diǎn)中到點(diǎn)P的距離的最大值為|PC|+r,最小值為|PC|-r.微訓(xùn)練點(diǎn)P(m,5)與圓x2+y2=24的位置關(guān)系是(

)A.在圓外

B.在圓內(nèi)

C.在圓上

D.不確定答案:A解析:∵m2+25>24,∴點(diǎn)P在圓外.課堂·重難突破一

求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典例剖析1.(1)以點(diǎn)(2,-3)為圓心,且經(jīng)過點(diǎn)(4,-1)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

(2)圓(x-1)2+(y-2)2=1關(guān)于點(diǎn)(-2,3)對(duì)稱的圓的方程為

.

(3)求經(jīng)過點(diǎn)P(1,1)和坐標(biāo)原點(diǎn),并且圓心在直線2x+3y+1=0上的圓的方程.答案:(1)(x-2)2+(y+3)2=8

(2)(x+5)2+(y-4)2=1(3)解法一:設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),圓心為(a,b),故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-4)2+(y+3)2=25.解法二:由題意知OP是所求圓的弦,其垂直平分線為x+y-1=0.∵弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,規(guī)律總結(jié)確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,從思路上可分為兩種:幾何法和待定系數(shù)法.

(1)幾何法:先由圓的幾何性質(zhì)求出圓心坐標(biāo)和半徑,再代入標(biāo)準(zhǔn)方程即可.

(2)待定系數(shù)法:設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,通過三個(gè)獨(dú)立條件得到三個(gè)方程,解方程組以得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中的三個(gè)參數(shù),從而確定圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.這種方法體現(xiàn)了方程的思想,是最常用的方法.學(xué)以致用1.已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A(0,5),B(1,-2),C(-3,-4),求該三角形的外接圓的方程.解法一:設(shè)所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0).因?yàn)锳(0,5),B(1,-2),C(-3,-4)三點(diǎn)都在圓上,所以它們的坐標(biāo)都滿足圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,故△ABC的外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x+3)2+(y-1)2=25.二

點(diǎn)與圓的位置關(guān)系典例剖析2.已知圓C的圓心為C(-3,-4),且過原點(diǎn)O,求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程,并判斷點(diǎn)M1(-1,0),M2(1,-1),M3(3,-4)與圓C的位置關(guān)系.解:因?yàn)閳AC過原點(diǎn)O,圓心為C(-3,-4),因此圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+(y+4)2=25.因?yàn)?-1+3)2+(0+4)2=20<25,所以點(diǎn)M1(-1,0)在圓C內(nèi);因?yàn)?1+3)2+(-1+4)2=25,所以點(diǎn)M2(1,-1)在圓C上;因?yàn)?3+3)2+(-4+4)2=36>25,所以點(diǎn)M3(3,-4)在圓C外.互動(dòng)探究1.(變條件,變問法)本例圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程不變,若點(diǎn)P(a,a-1)在圓C的外部,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解:由典例剖析2知,圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+3)2+(y+4)2=25.因?yàn)辄c(diǎn)P(a,a-1)在圓C的外部,所以(a+3)2+(a-1+4)2>25,規(guī)律總結(jié)判斷點(diǎn)與圓位置關(guān)系的兩種方法

(1)幾何法.根據(jù)點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r的大小判斷:

d>r?點(diǎn)在圓外;d=r?點(diǎn)在圓上;d<r?點(diǎn)在圓內(nèi).

(2)代數(shù)法.根據(jù)點(diǎn)M(x0,y0)的坐標(biāo)與圓的方程(x-a)2+(y-b)2=r2的關(guān)系判斷:

(x0-a)2+(y0-b)2>r2?點(diǎn)在圓外;

(x0-a)2+(y0-b)2=r2?點(diǎn)在圓上;

(x0-a)2+(y0-b)2<r2?點(diǎn)在圓內(nèi).學(xué)以致用2.已知M(2,0),N(10,0),P(11,3),Q(6,1)四點(diǎn),試判斷四點(diǎn)是否共圓,并說明理由.解:設(shè)M,N,P三點(diǎn)確定的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2,則M,N,P三點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足該方程.∴過M,N,P三點(diǎn)的圓的方程為(x-6)2+(y-3)2=25.將點(diǎn)Q的坐標(biāo)(6,1)代入方程左端,得(6-6)2+(1-3)2=4<25,∴點(diǎn)Q不在圓(x-6)2+(y-3)2=25上,∴M,N,P,Q四點(diǎn)不共圓.三

與圓有關(guān)的最值問題典例剖析3.已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程(x-2)2+y2=3.(2)x2+y2的最大值和最小值.規(guī)律總結(jié)數(shù)形結(jié)合解決與圓有關(guān)最值問題的注意點(diǎn)

(1)若實(shí)數(shù)x,y滿足(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),則點(diǎn)P(x,y)在圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)上.

(2)代數(shù)式

表示點(diǎn)P(x,y)與原點(diǎn)的距離,x2+y2表示點(diǎn)P(x,y)與原點(diǎn)距離的平方.

(3)形如(x-a)2+(y-b)2的代數(shù)式的最值問題,可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)(x,y)到定點(diǎn)(a,b)的距離的平方的最值問題.學(xué)以致用3.已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1,點(diǎn)A(0,-1),B(0,1),設(shè)點(diǎn)P是圓C上的動(dòng)點(diǎn),令d=|PA|2+|PB|2,求d的最大值及最小值.解:設(shè)點(diǎn)P(x,y),則d=|PA|2+|PB|2=2(x2+y2)+2.∵圓心C的坐標(biāo)為(3,4),∴(5-1)2≤x2+y2≤(5+1)2,即16≤x2+y2≤36.∴d的最小值為2×16+2=34,最大值為2×36+2=74.隨堂訓(xùn)練1.若圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+5)2=3,則此圓的圓心和半徑分別為(

)答案:B2.圓心在y軸上,半徑為1,且過點(diǎn)(1,2)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(

)A.x2+(y-2)2=1B.x2+(y+2)2=1C.(x-1)2+(y-3)2=1D.x2+(y-3)2=1答案:A解析:(方法一)設(shè)圓的圓心為C(0,b),解得b=2,∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2+(y-2)2=1.(方法二)如圖,根據(jù)點(diǎn)(1,2)到圓心的距離為1,易知圓心為點(diǎn)(0,2),故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2+(y-2)2=1.3.若點(diǎn)A(a+1,3)在圓C:(x-a)2+(y-1)2=m外,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(

)A.(0,+∞) B.(-∞,5)C.(0,5) D.[0,5]