(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講練測(cè) 第2章 第1講　不等關(guān)系與不等式 (教師版)

第第頁第1講不等關(guān)系與不等式一、知識(shí)梳理1.實(shí)數(shù)大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系a﹣b>0?a>b；a﹣b＝0?a＝b；a﹣b<0?a<b.2.不等式的基本性質(zhì)(1)對(duì)稱性：a＞b?b＜a.(2)傳遞性：a＞b，b＞c?a>c.(3)可加性：a＞b?a＋c>b＋c；a＞b，c＞d?a＋c>b＋d.(4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc，a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd.(5)可乘方：a＞b＞0?an>bn(n∈N，n≥1).(6)可開方：a＞b＞0?eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).常用結(jié)論記住不等式的兩類常用性質(zhì)(1)倒數(shù)性質(zhì)①a>b，ab>0?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；②a<0<b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③a>b>0，d>c>0?eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a>b>0，m>0，則①eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b﹣m>0)；②eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b﹣m>0).二、教材衍化1.eq\f(1,\r(2)－1)________eq\r(3)＋1(填“>”“<”或“＝”).答案：<2.若a，b都是實(shí)數(shù)，則“eq\r(a)﹣eq\r(b)>0”是“a2﹣b2>0”的________條件.(填“充分不必要”“必要不充分”和“充要”)答案：充分不必要一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關(guān)系中的一種.()(2)若eq\f(a,b)>1，則a>b.()(3)一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變.()(4)一個(gè)非零實(shí)數(shù)越大，則其倒數(shù)就越小.()(5)a>b>0，c>d>0?eq\f(a,d)>eq\f(b,c).()(6)若ab>0，則a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).()答案：(1)√(2)×(3)×(4)×(5)√(6)√二、易錯(cuò)糾偏eq\a\vs4\al(常見,誤區(qū))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())(1)亂用不等式的相乘性致錯(cuò)；(2)求范圍亂用不等式的加法原理致錯(cuò).1.若a>b>0，c<d<0，則下列結(jié)論正確的是()A.eq\f(a,c)﹣eq\f(b,d)>0B.eq\f(a,c)﹣eq\f(b,d)<0C.eq\f(a,d)>eq\f(b,c)D.eq\f(a,d)<eq\f(b,c)解析：選D.因?yàn)閏<d<0，所以0<﹣d<﹣c，又0<b<a，所以﹣bd<﹣ac，即bd>ac，又因?yàn)閏d>0，所以eq\f(bd,cd)>eq\f(ac,cd)，即eq\f(b,c)>eq\f(a,d).2.若﹣eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則α﹣β的取值范圍是________.解析：由﹣eq\f(π,2)<α<eq\f(π,2)，﹣eq\f(π,2)<﹣β<eq\f(π,2)，α<β，得﹣π<α﹣β<0.答案：(﹣π，0)考點(diǎn)一比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小(基礎(chǔ)型)eq\a\vs4\al(復(fù)習(xí),指導(dǎo))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小的方法是作差法、作商法.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象1.設(shè)a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，則A，B的大小關(guān)系是()A.A≤BB.A≥BC.A<BD.A>B解析：選B.由題意得，B2﹣A2＝﹣2eq\r(ab)≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.2.已知a>b>0，m>0，則()A.eq\f(b,a)＝eq\f(b＋m,a＋m)B.eq\f(b,a)>eq\f(b＋m,a＋m)C.eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)D.eq\f(b,a)與eq\f(b＋m,a＋m)的大小關(guān)系不確定解析：選C.eq\f(b,a)﹣eq\f(b＋m,a＋m)＝eq\f(b（a＋m）－a（b＋m）,a（a＋m）)＝eq\f(m（b－a）,a（a＋m）).因?yàn)閍>b>0，m>0.所以b﹣a<0，a＋m>0，所以eq\f(m（b－a）,a（a＋m）)<0.即eq\f(b,a)﹣eq\f(b＋m,a＋m)<0.所以eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m).3.若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln2,2)，比較a與b的大小.解：因?yàn)閍＝eq\f(ln3,3)＞0，b＝eq\f(ln2,2)＞0，所以eq\f(a,b)＝eq\f(ln3,3)·eq\f(2,ln2)＝eq\f(2ln3,3ln2)＝eq\f(ln9,ln8)＝log89＞1，所以a＞b.eq\a\vs4\al()比較兩數(shù)(式)大小的方法作差法作商法原理設(shè)a，b∈R，則a﹣b>0?a>b；a﹣b＝0?a＝b；a﹣b<0?a<b設(shè)a>0，b>0，則eq\f(a,b)>1?a>b；eq\f(a,b)＝1?a＝b；eq\f(a,b)<1?a<b步驟作差并變形?判斷差與0的大小?得結(jié)論作商并變形?判斷商與1的大小?得結(jié)論注意利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判斷差的符號(hào)的方向變形作商時(shí)各式的符號(hào)應(yīng)相同，如果a，b均小于0，所得結(jié)果與“原理”中的結(jié)論相反.變形方法有分母(或分子)有理化，指數(shù)、對(duì)數(shù)恒等變形等考點(diǎn)二不等式的性質(zhì)(基礎(chǔ)型)eq\a\vs4\al(復(fù)習(xí),指導(dǎo))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())利用不等式的性質(zhì)判斷不等式是否成立時(shí)要特別注意不等式成立的條件.(1)(特值法)設(shè)a，b∈R，則“a>b”是“a|a|>b|b|”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件(2)若a＞0＞b＞﹣a，c<d<0，則下列結(jié)論：①ad＞bc；②eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)<0；③a﹣c＞b﹣d；④a(d﹣c)＞b(d﹣c)中成立的個(gè)數(shù)是()A.1B.2C.3D.4【解析】(1)當(dāng)b<0時(shí)，顯然有a>b?a|a|>b|b|；當(dāng)b＝0時(shí)，顯然有a>b?a|a|>b|b|；當(dāng)b>0時(shí)，由a>b有|a|>|b|，所以a>b?a|a|>b|b|.綜上可知a>b?a|a|>b|b|，故選C.(2)因?yàn)閍＞0＞b，c<d<0，所以ad<0，bc＞0，所以ad<bc，故①錯(cuò)誤.因?yàn)?＞b＞﹣a，所以a＞﹣b＞0，因?yàn)閏<d<0，所以﹣c＞﹣d＞0，所以a(﹣c)＞(﹣b)(﹣d)，所以ac＋bd<0，所以eq\f(a,d)＋eq\f(b,c)＝eq\f(ac＋bd,cd)<0，故②正確.因?yàn)閏<d，所以﹣c＞﹣d，因?yàn)閍＞b，所以a＋(﹣c)＞b＋(﹣d)，即a﹣c＞b﹣d，故③正確.因?yàn)閍＞b，d﹣c＞0，所以a(d﹣c)＞b(d﹣c)，故④正確，故選C.【答案】(1)C(2)C解決此類問題常用兩種方法：一是直接使用不等式的性質(zhì)逐個(gè)驗(yàn)證；二是利用特殊值法排除錯(cuò)誤答案.1.(一題多解)已知a>0>b，則下列不等式一定成立的是()A.a2<﹣abB.|a|<|b|C.eq\f(1,a)>eq\f(1,b)D.(eq\f(1,2))a>(eq\f(1,2))b解析：選C.通解：當(dāng)a＝1，b＝﹣1時(shí)，滿足a>0>b，此時(shí)a2＝﹣ab，|a|＝|b|，(eq\f(1,2))a<(eq\f(1,2))b，所以A，B，D不一定成立，因?yàn)閍>0>b，所以b﹣a<0，ab<0，所以eq\f(1,a)﹣eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)>0，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b)一定成立，故選C.優(yōu)解：因?yàn)閍>0>b，所以eq\f(1,a)>0>eq\f(1,b)，所以eq\f(1,a)>eq\f(1,b)一定成立.故選C.2.已知a<b<c且a＋b＋c＝0，則下列不等式恒成立的是()A.a2<b2<c2B.a|b|<c|b|C.ba<caD.ca<cb解析：選D.因?yàn)閍<b<c且a＋b＋c＝0，所以a<0，c>0，b的符號(hào)不定，對(duì)于b>a，兩邊同時(shí)乘以正數(shù)c，不等號(hào)方向不變.考點(diǎn)三不等式性質(zhì)的應(yīng)用(應(yīng)用型)eq\a\vs4\al(復(fù)習(xí),指導(dǎo))eq\b\lc\|(\a\vs4\al\co1())利用不等式的性質(zhì)求代數(shù)式的取值范圍常用待定系數(shù)法.核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象已知﹣1<x<4，2<y<3，則x﹣y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________.【解析】因?yàn)椹?<x<4，2<y<3，所以﹣3<﹣y<﹣2，所以﹣4<x﹣y<2.由﹣1<x<4，2<y<3，得﹣3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18.【答案】(﹣4，2)(1，18)【遷移探究1】(變條件)若將本例條件改為“﹣1<x<y<3”，求x﹣y的取值范圍.解：因?yàn)椹?<x<3，﹣1<y<3，所以﹣3<﹣y<1，所以﹣4<x﹣y<4.又因?yàn)閤＜y，所以x﹣y<0，所以﹣4<x﹣y<0，故x﹣y的取值范圍為(﹣4，0).【遷移探究2】(變條件)若將本例條件改為“﹣1<x＋y<4，2<x﹣y<3”，求3x＋2y的取值范圍.解：設(shè)3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x﹣y)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,m－n＝2，))所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝\f(5,2)，,n＝\f(1,2).))即3x＋2y＝eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x﹣y)，又因?yàn)椹?<x＋y<4，2<x﹣y<3，所以﹣eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(x＋y)<10，1<eq\f(1,2)(x﹣y)<eq\f(3,2)，所以﹣eq\f(3,2)<eq\f(5,2)(x＋y)＋eq\f(1,2)(x﹣y)<eq\f(23,2)，即﹣eq\f(3,2)<3x＋2y<eq\f(23,2)，所以3x＋2y的取值范圍為(﹣eq\f(3,2)，eq\f(23,2)).利用待定系數(shù)法求代數(shù)式的取值范圍已知M1<f1(a，b)<N1，M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范圍.(1)設(shè)g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；(2)根據(jù)恒等變形求得待定系數(shù)p，q；(3)再根據(jù)不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范圍.1.設(shè)α∈(﹣eq\f(π,6)，eq\f(π,2))，β∈[0，π]，那么2α﹣eq\f(β,3)的取值范圍是()A.(0,eq\f(2π,3))B.(﹣eq\f(π,3),eq\f(2π,3))C.[﹣eq\f(π,3),eq\f(2π,3))D.(﹣eq\f(2π,3)，π)解析：選D.由題設(shè)得﹣eq\f(π,3)<2α<π，0≤eq\f(β,3)≤eq\f(π,3)，所以﹣eq\f(π,3)≤﹣eq\f(β,3)≤0，所以﹣eq\f(2π,3)<2α﹣eq\f(β,3)＜π.2.已知角α，β滿足﹣eq\f(π,2)<α﹣β<eq\f(π,2)，0<α＋β<π，則3α﹣β的取值范圍是________.解析：設(shè)3α﹣β＝m(α﹣β)＋n(α＋β)＝(m＋n)α＋(n﹣m)β，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋n＝3，,n－m＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝2，,n＝1.))因?yàn)椹乪q\f(π,2)<α﹣β<eq\f(π,2)，0<α＋β<π，所以﹣π<2(α﹣β)<π，故﹣π<3α﹣β<2π.答案：(﹣π，2π)[基礎(chǔ)題組練]1.若f(x)＝3x2﹣x＋1，g(x)＝2x2＋x﹣1，則f(x)，g(x)的大小關(guān)系是()A.f(x)＝g(x)B.f(x)>g(x)C.f(x)<g(x)D.隨x的值變化而變化解析：選B.f(x)﹣g(x)＝x2﹣2x＋2＝(x﹣1)2＋1>0?f(x)>g(x).2.已知a，b∈R，若a>b，eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同時(shí)成立，則()A.ab>0B.ab<0C.a＋b>0D.a＋b<0解析：選A.因?yàn)閑q\f(1,a)<eq\f(1,b)，所以eq\f(1,a)﹣eq\f(1,b)＝eq\f(b－a,ab)<0，又a>b，所以b﹣a<0，所以ab>0.3.若m<0，n>0且m＋n<0，則下列不等式中成立的是()A.﹣n<m<n<﹣mB.﹣n<m<﹣m<nC.m<﹣n<﹣m<nD.m<﹣n<n<﹣m解析：選D.法一(取特殊值法)：令m＝﹣3，n＝2分別代入各選項(xiàng)檢驗(yàn)即可.法二：m＋n<0?m<﹣n?n<﹣m，又由于m<0<n，故m<﹣n<n<﹣m成立.4.已知a，b為非零實(shí)數(shù)，且a<b，則下列不等式一定成立的是()A.a2<b2B.ab2>a2bC.eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b)D.eq\f(b,a)<eq\f(a,b)解析：選C.若a<b<0，則a2>b2，故A錯(cuò)；若0<a<b，則eq\f(b,a)>eq\f(a,b)，故D錯(cuò)；若ab<0，即a<0，b>0，則a2b>ab2，故B錯(cuò)；故C正確.所以選C.5.設(shè)a，b∈R，則“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分又不必要條件解析：選A.若a>2且b>1，則由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分條件；反之，若“a＋b>3且ab>2”，則“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝eq\f(1,2).所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要條件.故選A.6.已知下列四個(gè)條件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)解析：選C.由不等式的倒數(shù)性質(zhì)易知條件①，②，④都能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b).由a>0>b得eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，故能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的條件有3個(gè).7.(多選)下列命題中，不正確的是()A.若a>b，c>d，則ac>bdB.若ac>bc，則a>bC.若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則|a|＋b<0D.若a>b，c>d，則a﹣c>b﹣d解析：選ABD.取a＝2，b＝1，c＝﹣1，d＝﹣2，可知A錯(cuò)誤；當(dāng)c<0時(shí)，ac>bc?a<b，所以B錯(cuò)誤；由eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，可知b<a<0，所以﹣b>﹣a>0，故﹣b>|a|，即|a|＋b<0，故C正確；取a＝c＝2，b＝d＝1，可知D錯(cuò)誤.8.(多選)設(shè)b>a>0，c∈R，則下列不等式中正確的是()A.aeq\s\up6(\f(1,2))<beq\s\up6(\f(1,2))B.eq\f(1,a)﹣c>eq\f(1,b)﹣cC.eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b)D.ac2<bc2解析：選ABC.因?yàn)閥＝xeq\s\up6(\f(1,2))在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以aeq\s\up6(\f(1,2))<beq\s\up6(\f(1,2)).因?yàn)閥＝eq\f(1,x)﹣c在(0，＋∞)上是減函數(shù)，所以eq\f(1,a)﹣c>eq\f(1,b)﹣c.因?yàn)閑q\f(a＋2,b＋2)﹣eq\f(a,b)＝eq\f(2（b－a）,（b＋2）b)>0，所以eq\f(a＋2,b＋2)>eq\f(a,b).當(dāng)c＝0時(shí)，ac2＝bc2，所以D不成立.故選ABC.9.若a1<a2，b1<b2，則a1b1＋a2b2與a1b2＋a2b1的大小關(guān)系是________.解析：作差可得(a1b1＋a2b2)﹣(a1b2＋a2b1)＝(a1﹣a2)·(b1﹣b2)，因?yàn)閍1<a2，b1<b2，所以(a1﹣a2)(b1﹣b2)>0，即a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.答案：a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b110.已知a，b∈R，則a<b和eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同時(shí)成立的條件是________.解析：若ab<0，由a<b兩邊同除以ab得，eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，即eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；若ab＞0，則eq\f(1,a)＞eq\f(1,b).所以a<b和eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同時(shí)成立的條件是a<0<b.答案：a<0<b11.設(shè)a>b，有下列不等式：①eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，其中一定成立的有________.(填正確的序號(hào))解析：對(duì)于①，eq\f(1,c2)>0，故①成立；對(duì)于②，a>0，b<0時(shí)不成立；對(duì)于③，取a＝1，b＝﹣2時(shí)不成立；對(duì)于④，|c|≥0，故④成立.答案：①④12.已知12<a<60，15<b<36，則a﹣b的取值范圍________，eq\f(a,b)的取值范圍________.解析：因?yàn)?5<b<36，所以﹣36<﹣b<﹣15.又12<a<60，所以12﹣36<a﹣b<60﹣15，所以﹣24<a﹣b<45，即a﹣b的取值范圍是(﹣24，45).因?yàn)閑q\f(1,36)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，所以eq\f(12,36)<eq\f(a,b)<eq\f(60,15)，所以eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4，即eq\f(a,b)的取值范圍是(eq\f(1,3)，4).答案：(﹣21，45)(eq\f(1,3)，4)[綜合題組練]1.若6<a<10，eq\f(a,2)≤b≤2a，c＝a＋b，則c的取值范圍是()A.[9，18]B.(15，30)C.[9，30]D.(