2023江蘇高考數(shù)學(xué)試題及答案

2024江蘇高考數(shù)學(xué)試題及答案啟用前

2024年一般高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）

數(shù)學(xué)

本試卷分第I卷（填空題）和第II卷（解答題）兩部分．考生作答時(shí)，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無(wú)效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．留意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，仔細(xì)核對(duì)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，并將條形碼粘貼在指定位置上．

2.選擇題答案使用2B

鉛筆填涂，如需改動(dòng)，用橡皮擦潔凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)；非選擇

題答案使用0.5毫米的黑色中性（簽字）筆或炭素筆書(shū)寫(xiě)，字體工整，筆跡清晰．

3.請(qǐng)根據(jù)題號(hào)在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效．

4.保持卡面清潔，不折疊，不破損．

5.作選考題時(shí)，考生根據(jù)題目要求作答，并用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)涂黑．參考公式:樣本數(shù)據(jù)1x,2x,

,nx的標(biāo)準(zhǔn)差

s=

其中x為樣本平均數(shù)

柱體體積公式

VSh=

其中S為底面積，h為高

一、填空題：本大題共1小題，每小題5分，共70分．1.()cos6fxxπω??

=-

??

?

的最小正周期為

5

π

，其中0ω>，則ω=▲．2．一個(gè)骰子連續(xù)投2次，點(diǎn)數(shù)和為4的概率▲．3.

11i

i

+-表示為abi+(),abR∈，則ab+==▲．4.A={()}2

137xxx-的一條切線，則實(shí)數(shù)b＝▲．9在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)三角形ABC的頂點(diǎn)分別為A(0,a),B(b,0),C(c,0)，點(diǎn)P（0，p）在線段AO上的一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），設(shè)a,b,c,p均為非零實(shí)數(shù)，直線BP,CP分別與邊AC,AB交于點(diǎn)E、F，某同學(xué)已正確求得OE的方程：11110xybcpa????

-+-=?

?????

，請(qǐng)你完成直線OF的方程：（▲）110xypa??

+-=

???

.10．將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：

123456789101112131415

．．．．．．．

根據(jù)以上排列的規(guī)律，數(shù)陣中第n行（n≥3）從左向右的第3個(gè)數(shù)為▲．

11.已知,,xyzR+

∈，滿(mǎn)意230xyz-+=，則2

yxz

的最小值是▲．

12.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓22

22xyab

+=1(ab>>0)的焦距為2c，以點(diǎn)O為圓心，a為

半徑作圓M，若過(guò)點(diǎn)P2,0ac??

???

所作圓M的兩條切線相互垂直，則該橢圓的離心率為e=

▲．

13．滿(mǎn)意條件的三角形ABC的面積的最大值是▲．

14.設(shè)函數(shù)()331fxaxx=-+（x∈R），若對(duì)于任意1,1x∈-，都有()fx≥0成立，則實(shí)數(shù)a=▲．

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分。請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．

15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊做兩個(gè)銳角

α,β，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點(diǎn)，已知A、B的

橫坐標(biāo)分別為

10．（Ⅰ）求tan(αβ+)的值；（Ⅱ）求2αβ+的值．

16．如圖，在四周體ABCD中，CB=CD,AD⊥BD，點(diǎn)E、F分

別是AB、BD的中點(diǎn)，求證：（Ⅰ）直線EF∥平面ACD；

（Ⅱ）平面EFC⊥平面BCD．

17．如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的兩個(gè)頂

點(diǎn)A、B及CD的中點(diǎn)P處，已知AB=20km,CB=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且與A、B等距離的一點(diǎn)O處建筑一個(gè)污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO,BO,OP，設(shè)排污管道的總長(zhǎng)為ykm．

（Ⅰ）按下列要求寫(xiě)出函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)∠BAO=θ(rad)，將y表示成θ的函數(shù)關(guān)系式；②設(shè)OPx=(km)，將y表示成x的函數(shù)關(guān)系式．

（Ⅱ）請(qǐng)你選用（Ⅰ）中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長(zhǎng)度最短．

18．設(shè)平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)二次函數(shù)()()2

2fxxxbxR=++∈的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個(gè)

交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為C．（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的取值范圍；（Ⅱ）求圓C的方程；

（Ⅲ）問(wèn)圓C是否經(jīng)過(guò)某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b無(wú)關(guān)）？請(qǐng)證明你的結(jié)論．

19.（Ⅰ）設(shè)12,,

,naaa是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列（4n≥）

，且公差0d≠，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來(lái)的挨次）是等比數(shù)列：①當(dāng)n=4時(shí)，求

1

ad

的數(shù)值；②求n的全部可能值；（Ⅱ）求證：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)n(n≥4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列

12,,

,nbbb，其中任意三項(xiàng)（按原來(lái)挨次）都不能組成等比數(shù)列．

20.若()1

13

xpfx-=，()2

223

xpfx-=?，12,,xRpp∈為常數(shù)，函數(shù)f(x)定義為：對(duì)每個(gè)給定的

實(shí)數(shù)x，()()()()()()

()112212,,fxfxfxfxfxfxfx≤??=?

>??（Ⅰ）求()()1fxfx=對(duì)全部實(shí)數(shù)x成立的充要條件（用12,pp表示）；

（Ⅱ）設(shè),ab為兩實(shí)數(shù)，滿(mǎn)意ab+>

??

解得22x()gx在區(qū)間[)1,0-上單調(diào)遞增，因此()()ma14ngxg=-=，從而a≤4，綜上a＝4

二、解答題：解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．

15．本小題考查三角函數(shù)的定義、兩角和的正切、二倍角的正切公式．

解：由已知條件及三角函數(shù)的定義可知，cosαβ=

=，由于α,β為銳角，所以sin

α

β=因此1tan7,tan2

αβ==（Ⅰ）tan(αβ+)=

tantan31tantanαβ

αβ

+=--

（Ⅱ）2

2tan4tan21tan3βββ=

=-，所以()tantan2tan211tantan2αβ

αβαβ

++==--∵,αβ為銳角，∴3022παβ，y是θ的增函數(shù)，所

以當(dāng)θ=

6

π

時(shí)，min10y=+P位于線段AB的中垂線上，且距離AB邊

km處。18．本小題主要考查二次函數(shù)圖象與性質(zhì)、圓的方程的求法．解：（Ⅰ）令x＝0，得拋物線與y軸交點(diǎn)是（0，b）；

令()220fxxxb=++=，由題意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠0．（Ⅱ）設(shè)所求圓的一般方程為2

x20yDxEyF++++=

令y＝0得20xDxF++=這與2

2xxb++＝0是同一個(gè)方程，故D＝2，F(xiàn)＝b．令x＝0得2yEy+＝0，此方程有一個(gè)根為b，代入得出E＝―b―1．所以圓C的方程為222(1)0xyxbyb++-++=.（Ⅲ）圓C必過(guò)定點(diǎn)（0，1）和（－2，1）．

證明如下：將（0，1）代入圓C的方程，得左邊＝02

＋12

＋2×0－（b＋1）＋b＝0，右邊＝0，所以圓C必過(guò)定點(diǎn)（0，1）．同理可證圓C必過(guò)定點(diǎn)（－2，1）．

19.本小題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的有關(guān)學(xué)問(wèn)，考查運(yùn)用分類(lèi)爭(zhēng)論的思想方法進(jìn)行探究分析及論證的力量，滿(mǎn)分16分。解：首先證明一個(gè)“基本領(lǐng)實(shí)”：

一個(gè)等差數(shù)列中，若有連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則這個(gè)數(shù)列的公差d0=0事實(shí)上，設(shè)這個(gè)數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)a-d0,a,d+d0成等比數(shù)列，則a2=(d-d0)(a+d0)由此得d0=0

（1）(i)當(dāng)n=4時(shí),由于數(shù)列的公差d≠0,故由“基本領(lǐng)實(shí)”推知，刪去的項(xiàng)只可能為a2或a3

①若刪去2a，則由a1,a3,a4成等比數(shù)列，得(a1+2d)2=a1(a1+3d)因d≠0，故由上式得a1=－4d，即

d

a1

=－4，此時(shí)數(shù)列為－4d,－3d,－2d,－d，滿(mǎn)意題設(shè)。②若刪去a3，則由a1,a2,a4成等比數(shù)列，得(a1+d)2=a1(a1+3d)

因d≠0，故由上式得a1=d，即d

a1

=1，此時(shí)數(shù)列為d,2d,3d,4d，滿(mǎn)意題設(shè)。綜上可知，

d

a1

的值為－4或1。(ii)若n≥6，則從滿(mǎn)意題設(shè)的數(shù)列a1,a2,……,an中刪去一項(xiàng)后得到的數(shù)列，必有原數(shù)列中的連續(xù)三項(xiàng)，從而這三項(xiàng)既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，故由“基本領(lǐng)實(shí)”知，數(shù)列a1,a2,……,an的公差必為0，這與題設(shè)沖突，所以滿(mǎn)意題設(shè)的數(shù)列的項(xiàng)數(shù)n≤5，又因題設(shè)n≥4，故n=4或5.

當(dāng)n=4時(shí)，由（i）中的爭(zhēng)論知存在滿(mǎn)意題設(shè)的數(shù)列。

當(dāng)n=5時(shí)，若存在滿(mǎn)意題設(shè)的數(shù)列a1,a2,a3,a4,a5，則由“基本領(lǐng)實(shí)”知，刪去的項(xiàng)只能是a3，從而a1,a2,a4,a5成等比數(shù)列，故

(a1+d)2=a1(a1+3d)

及

(a1+3d)2=(a1+d)(a1+4d)

分別化簡(jiǎn)上述兩個(gè)等式，得a1d=d2及a1d=－5d,故d=0，沖突。因此，不存在滿(mǎn)意題設(shè)的項(xiàng)數(shù)為5的等差數(shù)列。綜上可知，n只能為4.

（2）假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d′的n項(xiàng)等差數(shù)列b1,b1+d′,……，b1+(n-1)d′(b1d′≠0)，其中三項(xiàng)b1+m1d′,b1+m2d′,b1+m3d′成等比數(shù)列，這里0≤m1.

（1）當(dāng)12pp-32log>時(shí).()11

1113,,3,,xp

pxxpbfxxap--?∈?=?∈??，()2323log222log223,,3

,,xppxxpbfxxap-+-+?∈?=?∈??

當(dāng)1,xpb∈，()

()

213log2102331,ppfxfx--=故()()2fxfx==23log2

3

px-+

由于()()fafb=，所以231

log23

3pabp-+-=，所以123log2,bppa-=-+即

123log2abpp+=++

當(dāng)21,xpp∈時(shí)，令()()12fxfx=，則231log233xppx

-+-=，所以123log2

2

ppx+-=

，

當(dāng)1232log2,

2ppxp+-??∈????

時(shí)，()()12fxfx≥，所以()()2fxfx==23log2

3xp-+1231log2,2ppxp+-??

∈????

時(shí)，()()12fxfx≤，所以()()1fxfx==13px-

()fx在區(qū)間,ab上的單調(diào)增區(qū)間的長(zhǎng)度和12312log2

2

ppbpp+--+

-

=123log2222

ppabba

bb+++--

=-=

（2）當(dāng)21pp-32log>時(shí).()11

1113,,3,,xp

pxxpbfxxap--?∈?=?∈??，()2323log222log223,,3,,xppxxpbfxxap-+-+?∈?=?∈??

當(dāng)2,xpb∈，

()

()

213log2102331,ppfxfx--=>=由于()()120,0fxfx>>，所以()()12fxfx>，故()()2fxfx==23log2

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當(dāng)1,xap