數(shù)列的概念與簡單表示法2

慈利三中高一數(shù)學(xué)備課組第一次集體備課一、內(nèi)容：2．1數(shù)列的概念與簡單表示法二、教材分析：本節(jié)課是《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學(xué)5》（人教版）第二章數(shù)列第1節(jié)。數(shù)列是高中數(shù)學(xué)重要內(nèi)容之一，它不僅有著廣泛的實際應(yīng)用，而且起著承前啟后的作用。一方面,數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)與函數(shù)思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準備。而2．1數(shù)列的概念與簡單表示法是學(xué)習(xí)數(shù)列的有關(guān)概念,在通過實際問題引入數(shù)列概念后，對數(shù)列的函數(shù)背景進行了分析，指出通項公式實際可看作是數(shù)列的函數(shù)解析式。人們對數(shù)列的研究有的源于現(xiàn)實生產(chǎn)、生活的需要，有的出自對數(shù)的喜愛。教科書從三角形數(shù)、正方形數(shù)入手，指出數(shù)列實際就是按照一定順序排列著的一列數(shù)。隨后，又從函數(shù)的角度，將數(shù)列看成是定義在正整數(shù)集或其有限子集上的函數(shù)。通過數(shù)列的列表、圖象、通項公式的簡單表示法，進一步體會數(shù)列是一種函數(shù)，是刻畫離散過程的一種重要數(shù)學(xué)模型。研究數(shù)列的遞推關(guān)系及與函數(shù)單調(diào)性的區(qū)別,能用通項與遞推公式寫數(shù)列的任意項。三、課時按排：共3課時第一課時：課題：數(shù)列的概念與簡單表示法（一）教學(xué)目標：（1）了解數(shù)列的概念，了解數(shù)列的分類，理解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，會用列表法和圖象法表示數(shù)列；（2）理解數(shù)列通項公式的概念，會根據(jù)通項公式寫出數(shù)列數(shù)列的前幾項，會根據(jù)簡單數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的通項公式．.教學(xué)重點：數(shù)列及其有關(guān)概念，通項公式及其應(yīng)用.教學(xué)難點：根據(jù)一些數(shù)列的前幾項，抽象、歸納出數(shù)列的通項公式.教學(xué)方法：教學(xué)過程：一、導(dǎo)入：1.在必修①課本中，我們在講利用二分法求方程的近似解時，曾跟大家說過這樣一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，即如果將初始量看成“1”，取其一半?！啊保偃∫话脒€?！啊?，……，如此下去，即得到1，，，，……2.生活中的三角形數(shù)、正方形數(shù).閱讀教材28面二、問題探究：1.實例：（1）三角形數(shù)：1，3，6，10，···（2）正方形數(shù)：1，4，9，16，···（2）1，2，3，4……的倒數(shù)排列成的一列數(shù)：（3）-1的1次冪，2次冪，3次冪，……排列成一列數(shù)：-1，1，-1，1，-1，。。。。。（4）無窮多個1排列成的一列數(shù)：1，1，1，1，……2、問題：①這些數(shù)有什么規(guī)律？與它所表示的圖形的序號有什么關(guān)系？②上面各組數(shù)字的順序能否調(diào)換？③上面的例子有什么共同特點？1.都是一列數(shù)；2.都有一定的順序3、活動三、概念形成：（一）數(shù)列的概念：1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列。.問題：（1）“1，2，3，4，5”與“5，4，3，2，1”與“1，3，2，4，5”呢？----------數(shù)列的有序性（2）數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)嗎？（3）數(shù)列與集合有什么區(qū)別？活動:（集合講究：無序性、互異性、確定性，數(shù)列講究：有序性、可重復(fù)性、確定性。）2、項：數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.。排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項（或首項），排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項……排在第位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第項.3、數(shù)列的一般形式可以寫成，簡記為.（二）數(shù)列的分類：1、按項數(shù)分：有窮數(shù)列與無窮數(shù)列，2、按項之間的大小關(guān)系：遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列與擺動數(shù)列.問題：數(shù)列中的數(shù)與它的序號有怎樣的關(guān)系？（三）數(shù)列是特殊函數(shù)序號可以看作自變量，數(shù)列中的數(shù)可以看作隨著變動的量。把數(shù)列看作函數(shù)。即：數(shù)列可看作一個定義域是正整數(shù)集或它的有限子集的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值對應(yīng)的一列函數(shù)值。反過來，對于函數(shù)，如果有意義，可以得到一個數(shù)列：函數(shù)數(shù)列（特殊的函數(shù)）定義域R或R的子集或它的子集解析式圖象點的集合一些離散的點的集合（四）數(shù)列的通項公式如果數(shù)列的第n項與項數(shù)之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。四、概念應(yīng)用例1、寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數(shù)：（1）（2）2，0，2，0．練習(xí)：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1)3,5,7,9,11,……；(2),,,,,……；(3)0,1,0,1,0,1,……；(4)7,7,7,7,7,7,7,7……；(5)2,－6,18,－54,162,…….例2.寫出數(shù)列的一個通項公式，并判斷它的增減性。問題：是不是所有的數(shù)列都存在通項公式？根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出的通項公式是唯一的嗎？例3．根據(jù)下面數(shù)列的通項公式，寫出前五項：（1）（2）五.課堂小結(jié)：數(shù)列及其基本概念，數(shù)列通項公式及其應(yīng)用.六、鞏固練習(xí)：七、課后作業(yè)P33面1、2、3題第二課時：課題：數(shù)列的概念與簡單表示法（二）教學(xué)目標：1．了解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項2．了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項；理解數(shù)列的前n項和與的關(guān)系.3．提高觀察、抽象的能力．教學(xué)重點：根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.教學(xué)難點：理解遞推公式與通項公式的關(guān)系.教學(xué)方法：教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)舊知：1、什么是數(shù)列?2、數(shù)列與函數(shù)有何關(guān)系？表示方法有幾種？（數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，故其表示方法有列表法、圖象法、通項公式法）3、數(shù)列的通項公式反映了數(shù)列的和的對應(yīng)關(guān)系?二、探究新知：問題：圖中的三角形稱為希爾賓斯基（Sierpinski）三角形。在下圖4個三角形中，著色三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前4項，(1)請寫出這個數(shù)列的一個通項公式，并在直角坐標系中畫出它的圖象。(2)除了用通項公式外，還有什么辦法可以確定這些數(shù)列的每一項？三、概念形成1、定義：已知數(shù)列的第一項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式.2、兩個要素：(1)基礎(chǔ)：前一項或幾項。(2)遞推關(guān)系：四、概念應(yīng)用例1.已知數(shù)列的第一項是1,以后的各項由公式給出,寫出這個數(shù)列的前五項．解:．變式：已知，寫出前5項，并猜想．（學(xué)生練教師點評）例2:已知數(shù)列為，試寫出這個數(shù)列的一個遞推公式，再根據(jù)遞推公式寫出它的通項公式.總結(jié):我們可根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出這個數(shù)列的前幾項，繼而結(jié)合前幾項的特征寫出它的一個通項公式，即由遞推公式可到通項公式，也可反過來，由數(shù)列的通項公式寫出它的一個遞推公式.通項公式和遞推公式都有可能不是唯一存在的.例3.已知,求.解法一:---------觀察法解法二:----------------累加法變式：已知，，求.（累積法）五.課堂小結(jié)：1.遞推公式的概念；2.遞推公式與數(shù)列的通項公式的區(qū)別是：(1)通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關(guān)系，而遞推公式反映的是相臨兩項(或n項)之間的關(guān)系.(2)對于通項公式,只要將公式中的n依次取即可得到相應(yīng)的項，而遞推公式則要已知首項（或前n項），才可依次求出其他項.六\課堂練習(xí)練習(xí)：P31面4題、七、課后作業(yè)P33面4、5題第三課時：課題：數(shù)列的概念與簡單表示法（三）教學(xué)目標：進一步理解數(shù)列通項公式和遞推公式，會根據(jù)遞推公式求數(shù)列通項公式；理解數(shù)列前n項的和與的關(guān)系，會根據(jù)求；會用累加、累積等數(shù)列中常用方法。教學(xué)重點：.會根據(jù)求，會用累加、累積等數(shù)列中常用方法。教學(xué)難點：根據(jù)求時n=1是否適合，累加、累積法。教學(xué)方法：教學(xué)過程：復(fù)習(xí)數(shù)列通項公式。數(shù)列遞推公式，已知數(shù)列遞推公式求通項公式方法。練習(xí)數(shù)列1，3，6，10，15，…的遞推公式是()A、n≥⒈B、,n≥⒉C、n≥⒉D、n≥1（2）．在數(shù)列中，，，則的值是（）A．B．C．D．（3）．已知數(shù)列的首項，且滿足，則此數(shù)列的第三項是（）A．B．C．D．（4）在數(shù)列中，，寫出數(shù)列的前項。（5）在數(shù)列中，，，寫出數(shù)列的前項。注：像第（5）小題中的數(shù)列的項的值是呈現(xiàn)周期性變化的，這樣的數(shù)列稱為周期數(shù)列。二、新課（一）、數(shù)列前n項和概念1、定義：數(shù)列的前n項的和記為,即2、通項公式與前n項和的關(guān)系用這種數(shù)列的來確定的方法對于任何數(shù)列都是可行的，而且還要注意不一定滿足由求出的通項表達式，所以最后要驗證首項是否滿足已求出的.（二）知識運用例、