2015年上海市靜安區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷

2015年上海市靜安區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷一.選擇題（本大題滿分4×6=24分）1．（4分）（2015?靜安區(qū)一模）如果把Rt△ABC的三邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大2倍，那么銳角A的四個(gè)三角比的值（）A．都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍 B．都縮小到原來(lái)的C．都沒(méi)有變化 D．都不能確定2．（4分）（2015?青浦區(qū)一模）將拋物線y=（x﹣1）2向左平移2個(gè)單位，所得拋物線的表達(dá)式為（）A．y=（x+1）2 B．y=（x﹣3）2 C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣23．（4分）（2015?魏縣二模）一個(gè)小球被拋出后，如果距離地面的高度h（米）和運(yùn)行時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式為h=﹣5t2+10t+1，那么小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面的高度是（）A．1米 B．3米 C．5米 D．6米4．（4分）（2015?鄂城區(qū)模擬）如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的長(zhǎng)等于（）A．2 B．4 C． D．5．（4分）（2015?靜安區(qū)一模）已知在△ABC中，AB=AC=m，∠B=α，那么邊BC的長(zhǎng)等于（）A．2m?sinα B．2m?cosα C．2m?tanα D．2m?cotα6．（4分）（2015?青浦區(qū)一模）如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面積分別記作S1、S2、S3、S4，那么下列結(jié)論中，不正確的是（）A．S1=S3 B．S2=2S4 C．S2=2S1 D．S1?S3=S2?S4二.填空題（本大題滿分4×12=48分）7．（4分）（2015?靜安區(qū)一模）已知=，那么=．8．（4分）（2015?靜安區(qū)一模）計(jì)算：=．9．（4分）（2002?福州）已知線段a=4cm，b=9cm，則線段a，b的比例中項(xiàng)為cm．10．（4分）（2015?靜安區(qū)一模）二次函數(shù)y=﹣2x2﹣5x+3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為．11．（4分）（2015?靜安區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，cosA=，那么AC=．12．（4分）（2015?青浦區(qū)一模）如圖，已知D，E分別是△ABC的邊BC和AC上的點(diǎn)，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD應(yīng)等于．13．（4分）（2015?青浦區(qū)一模）如果拋物線y=（a+3）x2﹣5不經(jīng)過(guò)第一象限，那么a的取值范圍是．14．（4分）（2015?青浦區(qū)一模）已知點(diǎn)G是面積為27cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面積等于．15．（4分）（2015?靜安區(qū)一模）如圖，當(dāng)小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米時(shí)，小杰實(shí)際上升高度AC=米．（可以用根號(hào)表示）16．（4分）（2015?青浦區(qū)一模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），對(duì)稱軸為直線x=﹣1，由此可知這個(gè)二次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)除點(diǎn)（1，3）外的另一點(diǎn)，這點(diǎn)的坐標(biāo)是．17．（4分）（2015?尤溪縣校級(jí)質(zhì)檢）已知不等臂蹺蹺板AB長(zhǎng)為3米，當(dāng)AB的一端點(diǎn)A碰到地面時(shí)（如圖1），AB與地面的夾角為30°；當(dāng)AB的另一端點(diǎn)B碰到地面時(shí)（如圖2），AB與地面的夾角的正弦值為，那么蹺蹺板AB的支撐點(diǎn)O到地面的距離OH=米．18．（4分）（2015?青浦區(qū)一模）把一個(gè)三角形繞其中一個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)并放大或縮小（這個(gè)頂點(diǎn)不變），我們把這樣的三角形運(yùn)動(dòng)稱為三角形的T﹣?zhàn)儞Q，這個(gè)頂點(diǎn)稱為T(mén)﹣?zhàn)儞Q中心，旋轉(zhuǎn)角稱為T(mén)﹣?zhàn)儞Q角，三角形與原三角形的對(duì)應(yīng)邊之比稱為T(mén)﹣?zhàn)儞Q比；已知△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)A（0，﹣1），B（﹣，2），C（0，2），將△ABC進(jìn)行T﹣?zhàn)儞Q，T﹣?zhàn)儞Q中心為點(diǎn)A，T﹣?zhàn)儞Q角為60°，T﹣?zhàn)儞Q比為，那么經(jīng)過(guò)T﹣?zhàn)儞Q后點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為．三.解答題（本大題滿分10+10+10+10+12+12+14=78分）19．（10分）（2015?靜安區(qū)一模）已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線y=x2+bx+6經(jīng)過(guò)x軸上兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C；（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）求△ABC的面積．20．（10分）（2015?靜安區(qū)一模）如圖，已知在△ABC中，AD是邊BC上的中線，設(shè)=，=；（1）求（用向量，的式子表示）；（2）如果點(diǎn)E在中線AD上，求作在，方向上的分向量；（不要求寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）．21．（10分）（2015?大慶模擬）如圖，某幢大樓的外墻邊上豎直安裝著一根旗桿CD，小明在離旗桿下方大樓底部E點(diǎn)24米的點(diǎn)A處放置一臺(tái)測(cè)角儀，測(cè)角儀的高度AB為1.5米，并在點(diǎn)B處測(cè)得旗桿下端C的仰角為40°，上端D的仰角為45°，求旗桿CD的長(zhǎng)度；（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）22．（10分）（2015?靜安區(qū)一模）用含30°、45°、60°這三個(gè)特殊角的四個(gè)三角比及其組合可以表示某些實(shí)數(shù)，如：可表示為=sin30°=cos60°=tan45°?sin30°=…；仿照上述材料，完成下列問(wèn)題：（1）用含30°、45°、60°這三個(gè)特殊角的三角比或其組合表示，即填空：===…；（2）用含30°、45°、60°這三個(gè)特殊角的三角比，結(jié)合加、減、乘、除四種運(yùn)算，設(shè)計(jì)一個(gè)等式，要求：等式中須含有這三個(gè)特殊角的三角比，上述四種運(yùn)算都至少出現(xiàn)一次，且這個(gè)等式的結(jié)果等于1，即填空：1=．23．（12分）（2015?青浦區(qū)一模）已知如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，DE∥BC，交邊AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F，使EF=DE，聯(lián)結(jié)BF，交邊AC于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)CF（1）求證：=；（2）如果CF2=FG?FB，求證：CG?CE=BC?DE．24．（12分）（2015?青浦區(qū)一模）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣3）和點(diǎn)（﹣1，5）；（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）將這個(gè)二次函數(shù)的圖象向上平移，交y軸于點(diǎn)C，其縱坐標(biāo)為m，請(qǐng)用m的代數(shù)式表示平移后函數(shù)圖象頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．25．（14分）（2015?青浦區(qū)一模）已知在矩形ABCD中，P是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BP、CP，過(guò)點(diǎn)B作射線交線段CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交邊AD于點(diǎn)M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；（2）當(dāng)AP=4時(shí)，求∠EBP的正切值；（3）如果△EBC是以∠EBC為底角的等腰三角形，求AP的長(zhǎng)．

2015年上海市靜安區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷參考答案與試題解析一.選擇題（本大題滿分4×6=24分）1．（4分）（2015?靜安區(qū)一模）如果把Rt△ABC的三邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大2倍，那么銳角A的四個(gè)三角比的值（）A．都擴(kuò)大到原來(lái)的2倍 B．都縮小到原來(lái)的C．都沒(méi)有變化 D．都不能確定【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義．【分析】根據(jù)三角形三邊擴(kuò)大相同的倍數(shù)，可得邊的比不變，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，可得答案．【解答】解：如果把Rt△ABC的三邊長(zhǎng)度都擴(kuò)大2倍，銳角A不變，銳角三角函數(shù)值不變，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)，注意銳角不變，銳角三角函數(shù)值不變．2．（4分）（2015?青浦區(qū)一模）將拋物線y=（x﹣1）2向左平移2個(gè)單位，所得拋物線的表達(dá)式為（）A．y=（x+1）2 B．y=（x﹣3）2 C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與幾何變換．【專題】幾何變換．【分析】先根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得到拋物線y=（x﹣1）2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），再利用點(diǎn)平移的規(guī)律得到點(diǎn)（1，0）平移后對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0），然后根據(jù)頂點(diǎn)式寫(xiě)出平移后拋物線的表達(dá)式．【解答】解：拋物線y=（x﹣1）2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)（1，0）向左平移2個(gè)單位得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣1，0），所以平移后拋物線的表達(dá)式為y=（x+1）2．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象與幾何變換：由于拋物線平移后的形狀不變，故a不變，所以求平移后的拋物線解析式通常可利用兩種方法：一是求出原拋物線上任意兩點(diǎn)平移后的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出解析式；二是只考慮平移后的頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出解析式．3．（4分）（2015?魏縣二模）一個(gè)小球被拋出后，如果距離地面的高度h（米）和運(yùn)行時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式為h=﹣5t2+10t+1，那么小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面的高度是（）A．1米 B．3米 C．5米 D．6米【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用．【分析】直接利用配方法求出二次函數(shù)最值進(jìn)而求出答案．【解答】解：h=﹣5t2+10t+1=﹣5（t2﹣2t）+1=﹣5（t﹣1）2+6，故小球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)距離地面的高度是：6m．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，正確利用配方法求出是解題關(guān)鍵．4．（4分）（2015?鄂城區(qū)模擬）如圖，已知AB∥CD∥EF，AD：AF=3：5，BE=12，那么CE的長(zhǎng)等于（）A．2 B．4 C． D．【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)平行線分線段成比例得到=，即=，可計(jì)算出BC，然后利用CE=BE﹣BC進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴=，即=，∴BC=，∴CE=BE﹣BC=12﹣=．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．5．（4分）（2015?靜安區(qū)一模）已知在△ABC中，AB=AC=m，∠B=α，那么邊BC的長(zhǎng)等于（）A．2m?sinα B．2m?cosα C．2m?tanα D．2m?cotα【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D，構(gòu)建直角△ABD，通過(guò)解該直角三角形得到BD的長(zhǎng)度，然后利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)來(lái)求BC的長(zhǎng)度．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．∵AB=m，∠B=α，∴cosα==，則BD=m?cosα．又∵AB=AC，∴BC=2BD=2m?cosα．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義，正確區(qū)分正弦余弦三角函數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．6．（4分）（2015?青浦區(qū)一模）如圖，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，如果對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，△AOB、△BOC、△COD、△DOA的面積分別記作S1、S2、S3、S4，那么下列結(jié)論中，不正確的是（）A．S1=S3 B．S2=2S4 C．S2=2S1 D．S1?S3=S2?S4【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【分析】證三角形相似，再根據(jù)三角形的面積公式和相似三角形的面積比等于相似比的平方，以及三角形的面積公式即可得出結(jié)論．【解答】解：A、∵△ABD和△ACD同底、同高，則S△ABD=S△ACD，∴S1=S3，故命題正確；B、∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，又∵BC=2AD，∴=（）2=，則S2=2S4正確．故命題錯(cuò)誤；C、作MN⊥BC于點(diǎn)N，交AD于點(diǎn)M．∵△AOD∽△COB，又∵BC=2AD，∴==，即=，∴=，則設(shè)S△OBC=2x，則S△ABC=3x，則S△AOB=x，即S2=2S1，故命題正確；D、設(shè)AD=y，則BC=2y，設(shè)OM=z，則ON=2z，則S2=×2y×2z=2yz，S4=×y×z=yz，S△ABC=BC?MN=×2y?3z=3yz，則S1=S3=3yz﹣2yz=yz，則S1?S3=y2z2，S2?S4=y2z2，故S1?S3=S2?S4正確．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形面的比等于相似比的平方，高線的比等于相似比，正確表示出S1、S2、S3、S4，是解決本題的關(guān)鍵．二.填空題（本大題滿分4×12=48分）7．（4分）（2015?靜安區(qū)一模）已知=，那么=．【考點(diǎn)】比例的性質(zhì)．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)，可用y表示x，根據(jù)分式的性質(zhì)，可得答案．【解答】解：由比例的性質(zhì)，得x=．當(dāng)x=時(shí)，===，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，利用比例的性質(zhì)用y表示x是解題關(guān)鍵．8．（4分）（2015?靜安區(qū)一模）計(jì)算：=．【考點(diǎn)】*平面向量．【專題】計(jì)算題．【分析】先去括號(hào)，然后直接進(jìn)行向量的加減運(yùn)算即可．【解答】解：原式=﹣+﹣=﹣﹣．故答案為：﹣﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題，掌握平面向量的運(yùn)算是關(guān)鍵．9．（4分）（2002?福州）已知線段a=4cm，b=9cm，則線段a，b的比例中項(xiàng)為6cm．【考點(diǎn)】比例線段．【專題】應(yīng)用題．【分析】根據(jù)比例中項(xiàng)的定義，列出比例式即可得出中項(xiàng)，注意線段不能為負(fù)．【解答】解：根據(jù)比例中項(xiàng)的概念結(jié)合比例的基本性質(zhì)，得：比例中項(xiàng)的平方等于兩條線段的乘積．設(shè)它們的比例中項(xiàng)是x，則x2=4×9，x=±6，（線段是正數(shù)，負(fù)值舍去），故填6．【點(diǎn)評(píng)】理解比例中項(xiàng)的概念，這里注意線段不能是負(fù)數(shù)．10．（4分）（2015?靜安區(qū)一模）二次函數(shù)y=﹣2x2﹣5x+3的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【專題】計(jì)算題．【分析】根據(jù)y軸上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到二次函數(shù)y=﹣2x2﹣5x+3的圖象與y軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，然后計(jì)算自變量為0時(shí)的函數(shù)值即可得到交點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：當(dāng)x=0時(shí)，y=﹣2x2﹣5x+3=3，所以拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3）．故答案為（0，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．11．（4分）（2015?靜安區(qū)一模）在Rt△ABC中，∠C=90°，如果AB=6，cosA=，那么AC=4．【考點(diǎn)】解直角三角形．【專題】計(jì)算題．【分析】利用銳角三角函數(shù)定義表示出cosA，把AB的長(zhǎng)代入求出AC的長(zhǎng)即可．【解答】解：如圖所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=6，cosA=，∴cosA==，則AC=AB=×6=4，故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)定義是解本題的關(guān)鍵．12．（4分）（2015?青浦區(qū)一模）如圖，已知D，E分別是△ABC的邊BC和AC上的點(diǎn)，AE=2，CE=3，要使DE∥AB，那么BC：CD應(yīng)等于．【考點(diǎn)】平行線分線段成比例．【專題】計(jì)算題．【分析】直接根據(jù)平行線分線段成比例進(jìn)行計(jì)算．【解答】解：∵DE∥AB，∴====．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例．13．（4分）（2015?青浦區(qū)一模）如果拋物線y=（a+3）x2﹣5不經(jīng)過(guò)第一象限，那么a的取值范圍是a＜﹣3．【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)拋物線y=（a+3）x2﹣5不經(jīng)過(guò)第一象限可以確定不等式的開(kāi)口方向，從而確定a的取值范圍．【解答】解：∵拋物線y=（a+3）x2﹣5不經(jīng)過(guò)第一象限，∴a+3＜0，解得：a＜﹣3，故答案為：a＜﹣3．【點(diǎn)評(píng)】考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線的開(kāi)口方向，與y軸的交點(diǎn)，對(duì)稱軸判斷拋物線經(jīng)過(guò)的象限．14．（4分）（2015?青浦區(qū)一模）已知點(diǎn)G是面積為27cm2的△ABC的重心，那么△AGC的面積等于9cm2．【考點(diǎn)】三角形的重心．【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，由三角形重心的性質(zhì)得出AG：GD=2：1，利用比例的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式得到S△AGC=S△ABC，然后代入數(shù)值計(jì)算即可．【解答】解：如圖，∵點(diǎn)G是△ABC的重心，連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，∴AG：GD=2：1，∴S△AGC=2S△CGD，S△AGC=S△ACD，∵D為BC中點(diǎn)，∴S△ACD=S△ABC，∴S△AGC=×S△ABC=S△ABC=×27=9（cm2）．故答案為：9cm2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的重心的性質(zhì)：三角形的重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍．根據(jù)題意得出S△AGC=S△ABC是解題的關(guān)鍵．15．（4分）（2015?靜安區(qū)一模）如圖，當(dāng)小杰沿坡度i=1：5的坡面由B到A行走了26米時(shí)，小杰實(shí)際上升高度AC=米．（可以用根號(hào)表示）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問(wèn)題．【專題】數(shù)形結(jié)合．【分析】由坡度易得AC與BC的比為1：5，設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，利用勾股定理可得AC的長(zhǎng)度．【解答】解：∵坡度i=1：5，∴AC與BC的比為1：5，設(shè)AC為x，則BC為5x，∴x2+（5x）2=262，∵x＞0，∴x=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形及勾股定理；理解坡度的意義是解決本題的關(guān)鍵．16．（4分）（2015?青浦區(qū)一模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，3），對(duì)稱軸為直線x=﹣1，由此可知這個(gè)二次函數(shù)的圖象一定經(jīng)過(guò)除點(diǎn)（1，3）外的另一點(diǎn)，這點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣3，3）．【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．【專題】計(jì)算題．【分析】先確定點(diǎn)（1，3）關(guān)于直線x=﹣1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，3），然后根據(jù)拋物線的對(duì)稱性求解．【解答】解：點(diǎn)（1，3）關(guān)于直線x=﹣1的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣3，3），所以這個(gè)二次函數(shù)的圖象一定點(diǎn)（﹣3，3）．故答案為（﹣3，3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式．也考查了拋物線的對(duì)稱性．17．（4分）（2015?尤溪縣校級(jí)質(zhì)檢）已知不等臂蹺蹺板AB長(zhǎng)為3米，當(dāng)AB的一端點(diǎn)A碰到地面時(shí)（如圖1），AB與地面的夾角為30°；當(dāng)AB的另一端點(diǎn)B碰到地面時(shí)（如圖2），AB與地面的夾角的正弦值為，那么蹺蹺板AB的支撐點(diǎn)O到地面的距離OH=米．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【分析】利用銳角三角函數(shù)關(guān)系以及特殊角的三角函數(shù)關(guān)系表示出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而求出即可．【解答】解：設(shè)OH=x，∵當(dāng)AB的一端點(diǎn)A碰到地面時(shí)，AB與地面的夾角為30°，∴AO=2xm，∵當(dāng)AB的另一端點(diǎn)B碰到地面時(shí)，AB與地面的夾角的正弦值為，∴BO=3xm，則AO+BO=2x+3x=3m，解得；x=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確用未知數(shù)表示出AB的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．18．（4分）（2015?青浦區(qū)一模）把一個(gè)三角形繞其中一個(gè)頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)并放大或縮?。ㄟ@個(gè)頂點(diǎn)不變），我們把這樣的三角形運(yùn)動(dòng)稱為三角形的T﹣?zhàn)儞Q，這個(gè)頂點(diǎn)稱為T(mén)﹣?zhàn)儞Q中心，旋轉(zhuǎn)角稱為T(mén)﹣?zhàn)儞Q角，三角形與原三角形的對(duì)應(yīng)邊之比稱為T(mén)﹣?zhàn)儞Q比；已知△ABC在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)A（0，﹣1），B（﹣，2），C（0，2），將△ABC進(jìn)行T﹣?zhàn)儞Q，T﹣?zhàn)儞Q中心為點(diǎn)A，T﹣?zhàn)儞Q角為60°，T﹣?zhàn)儞Q比為，那么經(jīng)過(guò)T﹣?zhàn)儞Q后點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，0）．【考點(diǎn)】坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)．【專題】新定義．【分析】根據(jù)題意判斷△ABC為直角三角形，得到∠BAC=30°，根據(jù)T﹣?zhàn)儞Q角為60°，得到經(jīng)過(guò)T﹣?zhàn)儞Q后點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸上，計(jì)算得到答案．【解答】解：∵B（﹣，2），C（0，2），∴△ABC為直角三角形，∠BAC=30°，繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，B′A⊥y軸，則點(diǎn)C′在x軸上，T﹣?zhàn)儞Q比為，AC=3，∴AC′=2，OC′=，∴經(jīng)過(guò)T﹣?zhàn)儞Q后點(diǎn)C所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣，0）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是坐標(biāo)與圖形變化，理解新定義和旋轉(zhuǎn)的概念是解題的關(guān)鍵，注意旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角在旋轉(zhuǎn)中的應(yīng)用．三.解答題（本大題滿分10+10+10+10+12+12+14=78分）19．（10分）（2015?靜安區(qū)一模）已知在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，拋物線y=x2+bx+6經(jīng)過(guò)x軸上兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），與y軸相交于點(diǎn)C；（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）求△ABC的面積．【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．【分析】（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0）代入拋物線y=x2+bx+6，即可得出拋物線的表達(dá)式y(tǒng)=x2﹣5x+6；（2）先求出A（2，0），B（3，0），C（0，6），再利用三角形面積公式求解即可．【解答】解：（1）把點(diǎn)B的坐標(biāo)（3，0）代入拋物線y=x2+bx+6得0=9+3b+6，解得b=﹣5，所以拋物線的表達(dá)式y(tǒng)=x2﹣5x+6；（2）∵拋物線的表達(dá)式y(tǒng)=x2﹣5x+6；∴A（2，0），B（3，0），C（0，6），∴S△ABC=×1×6=3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵是正確的設(shè)出拋物線的解析式．20．（10分）（2015?靜安區(qū)一模）如圖，已知在△ABC中，AD是邊BC上的中線，設(shè)=，=；（1）求（用向量，的式子表示）；（2）如果點(diǎn)E在中線AD上，求作在，方向上的分向量；（不要求寫(xiě)作法，但要保留作圖痕跡，并指出所作圖中表示結(jié)論的分向量）．【考點(diǎn)】*平面向量．【分析】（1）由AD是邊BC上的中線，=，可求得，然后由三角形法則，求得；（2）利用平行四邊形法則，即可求得在，方向上的分向量．【解答】解：（1）∵AD是邊BC上的中線，=，∴==，∴=﹣=﹣；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)E作EM∥BC，EN∥AB，則、分別是在，方向上的分向量．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平面向量的知識(shí)．此題難度不大，注意掌握三角形法則與平行四邊形法則的應(yīng)用，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．21．（10分）（2015?大慶模擬）如圖，某幢大樓的外墻邊上豎直安裝著一根旗桿CD，小明在離旗桿下方大樓底部E點(diǎn)24米的點(diǎn)A處放置一臺(tái)測(cè)角儀，測(cè)角儀的高度AB為1.5米，并在點(diǎn)B處測(cè)得旗桿下端C的仰角為40°，上端D的仰角為45°，求旗桿CD的長(zhǎng)度；（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題．【分析】過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DE于點(diǎn)F，可得四邊形ABFE為矩形，先在△BCF中求出CF的長(zhǎng)度，然后在△BDF中求出DF的長(zhǎng)度，最后DF﹣CF可求得CD的長(zhǎng)度．【解答】解：過(guò)點(diǎn)B作BF⊥DE于點(diǎn)F，則四邊形ABFE為矩形，在△BCF中，∵∠CBF=40°，∠CFB=90°，BF=AE=24m，∴=tan40°，∴CF=0.84×24≈20.16（m），在△BDF中，∵∠DBF=45°，∴DF=24m，則CD=DF﹣CF=24﹣20.16=3.84≈3.8（m）．故旗桿CD的長(zhǎng)為3.8m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)解直角三角形．22．（10分）（2015?靜安區(qū)一模）用含30°、45°、60°這三個(gè)特殊角的四個(gè)三角比及其組合可以表示某些實(shí)數(shù)，如：可表示為=sin30°=cos60°=tan45°?sin30°=…；仿照上述材料，完成下列問(wèn)題：（1）用含30°、45°、60°這三個(gè)特殊角的三角比或其組合表示，即填空：=sin60°=cos30°=tan45°?sin60°=…；（2）用含30°、45°、60°這三個(gè)特殊角的三角比，結(jié)合加、減、乘、除四種運(yùn)算，設(shè)計(jì)一個(gè)等式，要求：等式中須含有這三個(gè)特殊角的三角比，上述四種運(yùn)算都至少出現(xiàn)一次，且這個(gè)等式的結(jié)果等于1，即填空：1=（sin30°+cos60°）?tan45°÷cot45°．【考點(diǎn)】特殊角的三角函數(shù)值．【分析】（1）根據(jù)30°、45°、60°這三個(gè)特殊角的三角比進(jìn)行填空；（2）因?yàn)樵摰仁降囊笫牵旱仁街许毢羞@三個(gè)特殊角的三角比，上述四種運(yùn)算都至少出現(xiàn)一次，且這個(gè)等式的結(jié)果等于1，所以首先考慮到tan45°=cot45°=1．【解答】解：（1）∵sin60°=cos30°=，tan45°=1，∴=sin60°=cos30°=tan45°?sin60°=…；故答案是：=sin60°；cos30°；tan45°?sin60°；（2）∵=sin30°=cos60°，tan45°=cot45°=1．∴該等式可以是1=（sin30°+cos60°）?tan45°÷cot45°．故答案是：（sin30°+cos60°）?tan45°÷cot45°（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了特殊角的三角函數(shù)值．解決此類題目的關(guān)鍵是熟記特殊角的三角函數(shù)值．23．（12分）（2015?青浦區(qū)一模）已知如圖，D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，DE∥BC，交邊AC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F，使EF=DE，聯(lián)結(jié)BF，交邊AC于點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)CF（1）求證：=；（2）如果CF2=FG?FB，求證：CG?CE=BC?DE．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】（1）首先證明△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，以及DE=EF即可證得；（2）首先證明△CFG∽△BFC，證得=，∠FCE=∠CBF，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證明∠FEG=∠CEF，即可證得△EFG∽△ECF，則==，即可證得=，則所證結(jié)論即可得到．【解答】證明：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，△EFG∽△CBG，∴=，=，又∵DE=EF，∴=，∴=；（2）∵CF2=FG?FB，∴=，又∵∠CFG=∠CFB，∴△CFG∽△BFC，∴=，∠FCE=∠CBF，又∵DF∥BC，∴∠EFG=∠CBF，∴∠FCE=∠EFG，又∵∠FEG=∠CEF，∴△EFG∽△ECF，∴==，∴=，即CG?CE=BC?DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確理解相似三角形的判定方法，證明∠FEG=∠CEF，證得△EFG∽△ECF是解決本題的關(guān)鍵．24．（12分）（2015?青浦區(qū)一模）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣3）和點(diǎn)（﹣1，5）；（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）將這個(gè)二次函數(shù)的圖象向上平移，交y軸于點(diǎn)C，其縱坐標(biāo)為m，請(qǐng)用m的代數(shù)式表示平移后函數(shù)圖象頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）在第（2）小題的條件下，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，3），CM平分∠PCO，求m的值．【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；（2）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象的平移，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得答案．【解答】解：（1）由二次函數(shù)y=ax2+bx的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，﹣3）和點(diǎn)（﹣1，5），得，解得．二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=x2﹣4x；（2）y=x2﹣4x的頂點(diǎn)M坐標(biāo)（2，﹣4），這個(gè)二次函數(shù)的圖象向上平移，交y軸于點(diǎn)C，其縱坐標(biāo)為m，頂點(diǎn)M坐標(biāo)向上平移m，即M（2，m﹣4）；（3）由待定系數(shù)法，得CP的解析式為y=x+m，如圖：作MG⊥PC于G，設(shè)G（a，a+m）．由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，DM=MG．在Rt△DCM和Rt△GCM中，Rt△DCM≌Rt△GCM（HL）．CG=DC=4，MG=DM=2，，化簡(jiǎn)，得8m=36，解得m=．【點(diǎn)評(píng)】本題考察了二次函數(shù)綜合題，（1）利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，（2）利用了二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，圖象的平移方法；（3）利用了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)．25．（14分）（2015?青浦區(qū)一模）已知在矩形ABCD中，P是邊AD上的一動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BP、CP，過(guò)點(diǎn)B作射線交線段CP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交邊AD于點(diǎn)M，且使得∠ABE=∠CBP，如果AB=2，BC=5，AP=x，PM=y；（1）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫(xiě)出它的定義域；（2）當(dāng)AP=4時(shí)，求∠EBP的正切值；（3）如果△EB