【名師一號】（學(xué)習(xí)方略）高中數(shù)學(xué) 第四章 圓與方程單元測試題 新人教A版必修2

PAGEPAGE1【名師一號】（學(xué)習(xí)方略）高中數(shù)學(xué)第四章圓與方程單元測試題新人教A版必修2(時(shí)間：120分鐘總分：150分)一、選擇題(本大題共12小題，每題5分，共60分．在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的)1．已知兩圓的方程是x2＋y2＝1和x2＋y2－6x－8y＋9＝0，那么這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是()A．相離 B．相交C．外切 D．內(nèi)切解析將圓x2＋y2－6x－8y＋9＝0，化為標(biāo)準(zhǔn)方程得(x－3)2＋(y－4)2＝16.∴兩圓的圓心距eq\r(0－32＋0－42)＝5，又r1＋r2＝5，∴兩圓外切．答案C2．過點(diǎn)(2,1)的直線中，被圓x2＋y2－2x＋4y＝0截得的最長弦所在的直線方程為()A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋1＝0解析依題意知所求直線通過圓心(1，－2)，由直線的兩點(diǎn)式方程，得eq\f(y＋2,1＋2)＝eq\f(x－1,2－1)，即3x－y－5＝0.答案A3．假設(shè)直線(1＋a)x＋y＋1＝0與圓x2＋y2－2x＝0相切，那么a的值為()A．1，－1 B．2，－2C．1 D．－1解析圓x2＋y2－2x＝0的圓心C(1,0)，半徑為1，依題意得eq\f(|1＋a＋0＋1|,\r(1＋a2＋1))＝1，即|a＋2|＝eq\r(a＋12＋1)，平方整理得a＝－1.答案D4．經(jīng)過圓x2＋y2＝10上一點(diǎn)M(2，eq\r(6))的切線方程是()A．x＋eq\r(6)y－10＝0 B.eq\r(6)x－2y＋10＝0C．x－eq\r(6)y＋10＝0 D．2x＋eq\r(6)y－10＝0解析∵點(diǎn)M(2，eq\r(6))在圓x2＋y2＝10上，kOM＝eq\f(\r(6),2)，∴過點(diǎn)M的切線的斜率為k＝－eq\f(\r(6),3).故切線方程為y－eq\r(6)＝－eq\f(\r(6),3)(x－2)．即2x＋eq\r(6)y－10＝0.答案D5．垂直于直線y＝x＋1且與圓x2＋y2＝1相切于第一象限的直線方程是()A．x＋y－eq\r(2)＝0 B．x＋y＋1＝0C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋eq\r(2)＝0解析由題意可設(shè)所求的直線方程為y＝－x＋k，那么由eq\f(|k|,\r(2))＝1，得k＝±eq\r(2).由切點(diǎn)在第一象限知，k＝eq\r(2).故所求的直線方程y＝－x＋eq\r(2)，即x＋y－eq\r(2)＝0.答案A6．關(guān)于空間直角坐標(biāo)系O－xyz中的一點(diǎn)P(1,2,3)有以下說法：①點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為eq\r(13)；②OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1，\f(3,2)))；③與點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－2，－3)；④與點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2，－3)；⑤與點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)平面xOy對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,2，－3)．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．2 B．3C．4 D．5解析點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為eq\r(12＋22＋32)＝eq\r(14)，故①錯(cuò)；②正確；點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，－2，－3)，故③錯(cuò)；點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為(－1，－2，－3)，故④錯(cuò)；⑤正確．答案A7．已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1處，那么直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是()A．相切 B．相交C．相離 D．不確定解析∵點(diǎn)M(a，b)在圓x2＋y2＝1外，∴a2＋b2>1，又圓心(0,0)到直線ax＋by＝1的距離d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))<1＝r，∴直線與圓相交．答案B8．與圓O1：x2＋y2＋4x－4y＋7＝0和圓O2：x2＋y2－4x－10y＋13＝0都相切的直線條數(shù)是()A．4 B．3C．2 D．1解析兩圓的方程配方得，O1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1，O2：(x－2)2＋(y－5)2＝16，圓心O1(－2,2)，O2(2,5)，半徑r1＝1，r2＝4，∴|O1O2|＝eq\r(2＋22＋5－22)＝5，r1＋r2＝5.∴|O1O2|＝r1＋r2，∴兩圓外切，故有3條公切線．答案B9．直線l將圓x2＋y2－2x－4y＝0平分，且與直線x＋2y＝0垂直，那么直線l的方程是()A．2x－y＝0 B．2x－y－2＝0C．x＋2y－3＝0 D．x－2y＋3＝0解析依題意知直線l過圓心(1,2)，斜率k＝2，∴l(xiāng)的方程為y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.答案A10．圓x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2＋4m＋1＝0的圓心在直線A．9π B．πC．2π D．由m的值而定解析∵x2＋y2－(4m＋2)x－2my＋4m2∴[x－(2m＋1)]2＋(y－m)2＝m2∴圓心(2m＋1，m)，半徑r＝|m依題意知2m＋1＋m－4＝0，∴m∴圓的面積S＝π×12＝π.答案B11．當(dāng)點(diǎn)P在圓x2＋y2＝1上變動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)Q(3,0)的連結(jié)線段PQ的中點(diǎn)的軌跡方程是()A．(x＋3)2＋y2＝4 B．(x－3)2＋y2＝1C．(2x－3)2＋4y2＝1 D．(2x＋3)2＋4y2＝1解析設(shè)P(x1，y1)，Q(3,0)，設(shè)線段PQ中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，那么x＝eq\f(x1＋3,2)，y＝eq\f(y1,2)，∴x1＝2x－3，y1＝2y.又點(diǎn)P(x1，y1)在圓x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.故線段PQ中點(diǎn)的軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1.答案C12．曲線y＝1＋eq\r(4－x2)與直線y＝k(x－2)＋4有兩個(gè)交點(diǎn)，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是()A．(0，eq\f(5,12)) B．(eq\f(5,12)，＋∞)C．(eq\f(1,3)，eq\f(3,4)] D．(eq\f(5,12)，eq\f(3,4)]解析如下圖，曲線y＝1＋eq\r(4－x2)變形為x2＋(y－1)2＝4(y≥1)，直線y＝k(x－2)＋4過定點(diǎn)(2,4)，當(dāng)直線l與半圓相切時(shí)，有eq\f(|－2k＋4－1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(5,12).當(dāng)直線l過點(diǎn)(－2,1)時(shí)，k＝eq\f(3,4).因此，k的取值范圍是eq\f(5,12)<k≤eq\f(3,4).答案D二、填空題(本大題共4小題，每題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)13．圓x2＋y2＝1上的點(diǎn)到直線3x＋4y－25＝0的距離最小值為____________．解析圓心(0,0)到直線3x＋4y－25＝0的距離為5，∴所求的最小值為4.答案414．圓心為(1,1)且與直線x＋y＝4相切的圓的方程是________．解析r＝eq\f(|1＋1－4|,\r(2))＝eq\r(2)，所以圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝2.答案(x－1)2＋(y－1)2＝215．方程x2＋y2＋2ax－2ay＝0表示的圓，①關(guān)于直線y＝x對稱；②關(guān)于直線x＋y＝0對稱；③其圓心在x軸上，且過原點(diǎn)；④其圓心在y軸上，且過原點(diǎn)，其中表達(dá)正確的選項(xiàng)是__________．解析已知方程配方，得(x＋a)2＋(y－a)2＝2a2(a≠0)，圓心坐標(biāo)為(－a，a)，它在直線x＋y＝0上，∴已知圓關(guān)于直線x＋y＝0對稱．故②答案②16．直線x－2y－3＝0與圓(x－2)2＋(y＋3)2＝9相交于A，B兩點(diǎn)，那么△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積為________．解析圓心坐標(biāo)(2，－3)，半徑r＝3，圓心到直線x－2y－3＝0的距離d＝eq\r(5)，弦長|AB|＝2eq\r(r2－d2)＝4.又原點(diǎn)(0,0)到AB所在直線的距離h＝eq\f(3,\r(5))，所以△AOB的面積為S＝eq\f(1,2)×4×eq\f(3,\r(5))＝eq\f(6\r(5),5).答案eq\f(6\r(5),5)三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17．(10分)自A(4,0)引圓x2＋y2＝4的割線ABC，求弦BC中點(diǎn)P的軌跡方程．解解法1：連接OP，那么OP⊥BC，設(shè)P(x，y)，當(dāng)x≠0時(shí)，kOP·kAP＝－1，即eq\f(y,x)·eq\f(y,x－4)＝－1.即x2＋y2－4x＝0.①當(dāng)x＝0時(shí)，P點(diǎn)坐標(biāo)為(0,0)是方程①的解，∴BC中點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2－4x＝0(在已知圓內(nèi))．解法2：由解法1知OP⊥AP，取OA中點(diǎn)M，那么M(2,0)，|PM|＝eq\f(1,2)|OA|＝2，由圓的定義，知P點(diǎn)軌跡方程是以M(2,0)為圓心，2為半徑的圓．故所求的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝4(在已知圓內(nèi))．18．(12分)已知圓M：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－1＝0與圓N：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)平分圓N的圓周，求圓M的圓心坐標(biāo)．解由圓M與圓N的方程易知兩圓的圓心分別為M(m，－2)，N(－1，－1)．兩圓的方程相減得直線AB的方程為2(m＋1)x－2y－m2－1＝0.∵A，B兩點(diǎn)平分圓N的圓周，∴AB為圓N的直徑，∴AB過點(diǎn)N(－1，－1)．∴2(m＋1)×(－1)－2×(－1)－m2－1＝0.解得m＝－1.故圓M的圓心M(－1，－2)．19．(12分)點(diǎn)M在圓心為C1的方程x2＋y2＋6x－2y＋1＝0上，點(diǎn)N在圓心為C2的方程x2＋y2＋2x＋4y＋1＝0上，求|MN|的最大值．解把圓的方程都化成標(biāo)準(zhǔn)形式，得(x＋3)2＋(y－1)2＝9，(x＋1)2＋(y＋2)2＝4.如下圖，C1的坐標(biāo)是(－3,1)，半徑長是3；C2的坐標(biāo)是(－1，－2)，半徑長是2.所以，|C1C2|＝eq\r(－3＋12＋1＋22)＝eq\r(13).因此，|MN|的最大值是eq\r(13)＋5.20．(12分)已知圓C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0，從圓C外一點(diǎn)P向圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．解如圖：PM為圓C的切線，那么CM⊥PM，∴△PMC為直角三角形，∴|PM|2＝|PC|2－|MC|2.設(shè)P(x，y)，C(－1,2)，|MC|＝eq\r(2).∵|PM|＝|PO|，∴x2＋y2＝(x＋1)2＋(y－2)2－2.化簡得點(diǎn)P的軌跡方程為2x－4y＋3＝0.求|PM|的最小值，即求|PO|的最小值，即求原點(diǎn)O到直線2x－4y＋3＝0的距離，代入點(diǎn)到直線的距離公式可求得|PM|最小值為eq\f(3\r(5),10).21．(12分)已知圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及點(diǎn)Q(－2，3)，(1)假設(shè)點(diǎn)P(m，m＋1)在圓C上，求PQ的斜率；(2)假設(shè)點(diǎn)M是圓C上任意一點(diǎn)，求|MQ|的最大值、最小值；(3)假設(shè)N(a，b)滿足關(guān)系：a2＋b2－4a－14b＋45＝0，求出t＝eq\f(b－3,a＋2)的最大值．解圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0可化為(x－2)2＋(y－7)2＝8.(1)點(diǎn)P(m，m＋1)在圓C上，所以m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，解得m故點(diǎn)P(4,5)．所以PQ的斜率是kPQ＝eq\f(5－3,4＋2)＝eq\f(1,3)；(2)如圖，點(diǎn)M是圓C上任意一點(diǎn)，Q(－2,3)在圓外，所以|MQ|的最大值、最小值分別是|QC|＋r，|QC|－r.易求|QC|＝4eq\r(2)，r＝2eq\r(2)，所以|MQ|max＝6eq\r(2)，|MQ|min＝2eq\r(2).(3)點(diǎn)N在圓C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上，t＝eq\f(b－3,a＋2)表示的是定點(diǎn)Q(－2,3)與圓上的動(dòng)點(diǎn)N連線l的斜率．設(shè)l的方程為y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.當(dāng)直線和圓相切時(shí)，d＝r，即eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(k2＋1))＝2eq\r(2)，解得k＝2±eq\r(3).所以t＝eq\f(b－3,a＋2)的最大值為2＋eq\r(3).22．(12分)已知曲線C：x2＋y2＋2kx＋(4k＋10)y＋10k＋20＝0，其中k≠－1.(1)求證：曲線C表示圓，并且這些圓心都在同一條直線上；(2)證明曲線C過定點(diǎn)；(3)假設(shè)曲線C與x軸相切，求k的值．解(1)證明：原方程可化為(x＋k)2＋(y＋2k＋5)2＝5(k＋1)2.∵k≠－1，∴5(k＋1)2>0.故方程表示圓心為(－k，－2k－5)，半徑為eq\r(5)|k＋1|的圓．設(shè)圓心的坐標(biāo)為(x，y)，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－k，,y＝－2k－5.))消去k，得2x－y－5＝0.∴這些圓的圓心都在