隨機事件及其概率

★第一節(jié)隨機事件及其運算★第二節(jié)隨機事件的概率★第三節(jié)條件概率隨機事件及其概率第一章★第四節(jié)事件的獨立性第一章隨機事件及其概率[教學(xué)要求]：1、掌握隨機試驗,樣本空間和隨機事件的概念;熟悉事件之間的關(guān)系與運算；2、正確理解隨機事件的概率定義,熟記概率性質(zhì)；3、熟練掌握古典概型的三類問題：(1).摸球問題；(2).分房問題；(3).隨機取數(shù)問題.4、掌握條件概率和有關(guān)條件概率的三個公式：乘法公式、全概率公式和貝葉斯(逆概率)公式.5、掌握隨機事件和隨機試驗的獨立性概念,并能熟練運用；6、了解事件的互逆,互不相容(互斥)和相互獨立三者之間的關(guān)系.[學(xué)時數(shù)]：10第一節(jié)隨機事件及其運算一、根本概念[隨機試驗]具有以下特性的試驗稱為隨機試驗(記為E)：3、試驗可以在相同條件下重復(fù)進行.1、試驗的可能結(jié)果不止一個,但能事先明確試驗的所有可能的結(jié)果;2、進行某一次試驗之前,不能確定哪個結(jié)果會發(fā)生;不滿足3的試驗稱為不可重復(fù)的隨機試驗;同時滿足1,2,3的稱為可重復(fù)的.[復(fù)合試驗]由一串(簡單)試驗依次各做一次所組成的試驗.記為:[例1.1]:設(shè)有如下試驗:擲一枚硬幣,觀察正(H)反(T)出現(xiàn)的情況;袋中有編號為1,2,…,n的n個球,從中任取一個球,觀察球的編號;一個質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有區(qū)間[0,3)上諸數(shù)字,在桌面上旋轉(zhuǎn)它,當它停下來時,觀察圓周與桌面接著處的刻度;將一枚硬幣連拋三次,觀察正面出現(xiàn)的情況;顯然,上面給出的四個試驗都是隨機試驗,它們均滿足定義,且是復(fù)合試驗.[隨機事件]在一次試驗中,可能發(fā)生也可能不發(fā)生,而在大量的重復(fù)試驗中具有某種統(tǒng)計規(guī)律性的事情稱為隨機事件(簡稱事件),常以大寫字母A,B,C的表示.[必然事件]每次試驗中必然發(fā)生的事情.記為S(或)[不可能事件]每次試驗中必然不發(fā)生的事情.記為注意:〔i〕必然事件與不可能事件本來是描述絕對型現(xiàn)象的,但為了方便,把它們看作特殊的隨機事件;〔ii〕根本領(lǐng)件是最簡單的隨機事件,試驗中的任何事件都是由根本領(lǐng)件組成的.[根本領(lǐng)件]試驗的每一個可能的結(jié)果.(也叫樣本點)記為e.[例1.2]在E1中,A={出現(xiàn)正面}是隨機事件,且是根本領(lǐng)件;在E2中,A1={取的號碼數(shù)小于3}是隨機事件,A2={取的號碼數(shù)大于0}是必然事件,A3={取的號碼數(shù)小于1}是不可能事件,A4={取的號碼是n}是根本領(lǐng)件.[樣本空間]在隨機試驗E中,根本領(lǐng)件(樣本點)的全體所組成的集合稱為樣本空間,記為S(或).[例1.3]求[例1.1]試驗的樣本空間：

E1的樣本空間S1={H,T};E2的樣本空間S2={1,2,…n};E3的樣本空間S3=[0,3);E4的樣本空間S4={(HTT),{THT),(TTH),(HHT),(HTH),(THH),(HHH),(TTT)}解：[例1.4]袋中有5只球.其中有三只紅球,編號為1,2,3;有二只黃球,編號為一,二.現(xiàn)從中任取一只球,E1:觀察顏色;E2:觀察號碼.試分別寫出E1和E2的樣本空間.解:E1的樣本空間S1={紅,黃};E2的樣本空間S2={1,2,3，一,二}.注意:

〔i〕樣本空間是由隨機試驗決定的,不同的試驗具有不同的樣本空間;〔ii〕樣本空間可以是各種對象的集合,即可以是數(shù)集也可以不是數(shù)集.二、事件之間的關(guān)系與運算

設(shè)E是隨機試驗,S是樣本空間,也表示必然事件,Φ表示不可能事件,也表示空集.A,B,Ai(i=1,2,…)是E的事件.1.子事件:假設(shè)A發(fā)生,那么B發(fā)生.稱A是B的子事件.2.相等事件:3.和(并)事件:表示A與B中至少有一個發(fā)生的事件.推廣:

可列個(或有限個)事件中至少有一個發(fā)生的事件稱為這可列個(或有限個)的和事件.記為:4.積〔交〕事件:表示A與B同時發(fā)生的事件.記為:推廣:有限個(或可列個)事件同時發(fā)生的事件稱為有限個(或可列個)事件的積事件.記為:5.差事件:表示A發(fā)生而B不發(fā)生的事件.記為:A-B6.互不相容事件:假設(shè)A與B不能同時發(fā)生,即AB=Φ,那么稱A與B是互不相容事件(或稱為互斥事件).7.對立事件:假設(shè)A與B中有且僅有一個發(fā)生,即A∪B=S且AB=Φ,那么稱A與B是對立事件,或B是A的對立事件,A的對立事件記為(A,B互為對立事件).注意:〔i〕事件是由根本領(lǐng)件組成的,故它是樣本空間的子集,事件之間的關(guān)系與運算完全與集合之間的關(guān)系和運算一致,請見下表:〔ii〕事件運算的性質(zhì)完全相同于集合運算的性質(zhì).[事件運算的規(guī)那么]設(shè)A、B、C為三事件，那么：1.交換律:2.結(jié)合律:3.分配律:設(shè)Ai是有限個或可列個事件,那么:4.(隸莫根定理):特別有:設(shè)A,B為任意二事件,易證:(1).

(2).

(3).

(4).(5).[例1.5]設(shè)A,B,C為三事件,試用事件的運算關(guān)系表示以下事件:(1)A,BC都發(fā)生;(2)A,B,C都不發(fā)生;(3)A,B,C中至少有一個發(fā)生;(4)A,B,C中最多有一個發(fā)生;(5)A,B,C中至少有兩個發(fā)生;(6)A,B,C中最多有兩個發(fā)生.解:(1){A,B,C都發(fā)生}=(2){A,B,C都不發(fā)生}=都發(fā)生}ABC(3){A,B,C中至少有一個發(fā)生}=(4){A,B,C中最多有一個發(fā)生}={A,B,C都不發(fā)生或只有一個發(fā)生}(5){A,B,C中至少有兩個發(fā)生}(6){A,B,C中最多有兩個發(fā)生}注意:〔i〕我們所考慮的事件的運算是對同一個試驗中的事件而言的;〔ii〕事件A不發(fā)生,那么它的對立事件一定發(fā)生;〔iii〕只要事件A包含的根本領(lǐng)件出現(xiàn)，就說A發(fā)生.[例1.6]E:某地區(qū)有100人是1920年出生的，考察到2021年還有幾個人活著.(1)E的樣本空間是什么？(2)設(shè)A={只有5人活著}；B={至少有5人活著};C={最多有4人活著}.那么A與B,A與C,B與C是否互不相容？A,B,C的對立事件是什么？解〔1〕e0={無人活到2021年},e1={有1人活到2021年},e2={有2人活到2021年},…………e100={有100人活到2021年}這就是E的所有可能結(jié)果(根本領(lǐng)件),E的樣本空間有上面101個根本領(lǐng)件構(gòu)成,即:(2)由于:故A與B相容,A與C,B與C都互不相容,且:第二節(jié)隨機事件的概率一、概率的統(tǒng)計定義設(shè)事件A在n次重復(fù)獨立試驗中發(fā)生了rA次,那么比值rA/n叫做n次試驗中A發(fā)生的頻率,記作:W(A)=rA/n由定義知頻率具有如下性質(zhì):1.頻率注意:〔1〕頻率越大,A發(fā)生的可能性越大，并且，頻率具有穩(wěn)定性，即當試驗次數(shù)n充分大時，頻率w(A)在[0,1]上的某一個確定的數(shù)p附近擺動，即以p為“穩(wěn)定中心〞，這時w(A)≈p.〔2〕A發(fā)生的可能性大小稱為A的概率.由頻率的特性知，事件發(fā)生的可能性大小是事件本身所固有，不以人們主觀意志而改變的客觀屬性，于是我們可以借助于頻率來定義概率.2.概率的統(tǒng)計定義定義1隨著試驗次數(shù)n的增大,事件A發(fā)生的頻率w(A)在[0,1]上某一個數(shù)p附近擺動,那么定義事件A的概率為p,記為P(A)=P.3.概率的性質(zhì)設(shè)E為試驗,S為樣本空間,也表示必然事件,Φ表示不可能事件,A,B,Ai(i=1,2,…)表示事件,那么有:(3)假設(shè)Ai(i=1,2,…)是有限個兩兩互不相容事件,那么有:二、古典概率1.古典概型設(shè)E是試驗，S是E的樣本空間，假設(shè)滿足(1)S只含有有限多個樣本點;(有限性)(2)每個根本領(lǐng)件發(fā)生的可能性相等.(等可能性)那么稱E為古典概型或等可能概型.2.概率的古典定義3.古典概率的性質(zhì)三、幾何概型具有以下特點的概率問題稱之為幾何概型:(1)有一個可度量的幾何圖形S,試驗E看成在S中隨機地投擲一點,即S為樣本空間.而事件A就是所投擲的點落在S中的可度量圖形A中.(2)事件A的概率與A的度量L(A)成正比.(其中:L表示測度,即度量,指長度,面積或體積.)幾何概率也滿足非負性,標準性,有限可加性.定義3在幾何概型下,事件A的概率定義為四、概率的公理化定義定義4

設(shè)A是一非空集合,且S={e},F是S的一些子集(不必是全體子集)所組成的集類,如果滿足下面條件:那么稱F為S上的一個σ事件域(σ代數(shù)),稱F中的集A為事件.定義5設(shè)P(*)是事件域F上的實值集函數(shù),對每一事件A賦予一個實數(shù)P(A),假設(shè)P(*)滿足下面三條件:(1).對任意事件A∈F,有0≤P(A).(非負性)(2).P(S)=1.(完備性)(3).

(可列可加性)那么稱P(A)為A的概率.這時稱三元總體(S,F,P)為概率空間.〔ii〕概率的統(tǒng)計定義和公理化定義都未給出計算概率的具體公式,而在實際應(yīng)用中,有些特殊的概率是可以用簡單公式來計算的,如古典概率.注意:〔i〕概率的統(tǒng)計定義直觀,具體,但不夠嚴格,不便于理論研究;公理化定義嚴格,便于理論研究,但比較抽象,對農(nóng)科學(xué)生只需了解此定義.概率的性質(zhì)BA證明:一般加法公式中的求和號“∑〞是對一切滿足1≤i＜j＜t＜…≤n的下標進行的.即積事件中各事件的排列次序是按下標由小到大排列的,這樣,n個事件按下標排列雖有n!種排法,但只取其中一種即A1A2…An.由此可計算出一般加法公式中,含有總項數(shù):注意:例1.8某城市共發(fā)行A,B,C三種報紙.調(diào)查說明居民家庭中訂購C報的占30%.同時訂A,B兩報的占10%,同時訂A,C及B,C兩報的各8%,5%.三報都訂的占3%.今在該城中任找一戶.問該戶(1)只訂A,B兩報;(2)只訂C報的概率各為多少?

1.古典概型是一種非常重要的概率模型,在概率論開展的初期曾經(jīng)是主要的研究對象,今天仍是學(xué)習概率統(tǒng)計的根底.在實際問題中如何判斷一個試驗是否是古典概型呢?有限性往往比較容易判斷,主要是等可能性的問題.在樣本空間中,當沒有理由認為某些根本領(lǐng)件發(fā)生的可能性比另一些根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性大時,我們可以認為每個根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等,即都等于1/n.古典概率的計算按古典概型公式計算出的概率符合概率的統(tǒng)計定義,即是頻率的“穩(wěn)定中心〞;同時P(A)滿足公理化定義的三公理.2.

3.古典概率的計算步驟:(1).弄清隨機試驗是什么?(判斷有限性和等可能性);(2).樣本空間S是怎樣構(gòu)成的?(對于復(fù)雜問題,只要求求出根本領(lǐng)件的個數(shù)n),(3).考察所討論的事件A.(求出A所含的根本領(lǐng)件個數(shù)r);(4).利用公式P(A)=r/n,計算出P(A).一、摸球問題(產(chǎn)品的隨機抽樣問題)[例1.9]袋中有5個紅球,3個黃球,從中一次隨機地摸出兩個球,求摸出的兩球都是紅球的概率.解:E:從(5+3)個球中等可能地任取兩球,觀察顏色.S含有根本領(lǐng)件數(shù)為:設(shè)A={所取二球全紅},那么A含有的根本領(lǐng)件個數(shù)為:[例1.10]袋中有編號為1,2,…,10的十個球,從中一次任意取出三個球,試求取出的三球中恰好是一個編號小于5,一個編號大于5,一個編號等于5的概率.解:E:從10個球中任取三個觀察編號.S含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:設(shè)A={所取三球中,一個小于5,一個大于5,一個等于5}那么A含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:[例1.11]某人有5把鑰匙,其中有2把房門鑰匙,但忘了開房門的是哪二把,只好逐把試開.問此人在三次內(nèi)翻開房門的概率是多少?解:E:從5把鑰匙中任意選三把(每次一把)逐把試開放門(試后不放回).S含有的根本領(lǐng)件總數(shù)為:設(shè)A={三次內(nèi)翻開房門},={三次都打不開房門}那么含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:[例1.12]盒中有6只燈泡,其中有2只次品,4只正品,有放回地從中任取兩次,每次取一只,試求以下事件的概率:A={取到的二只都是次品}B={取到的二只中正、次品各一只}C={取到的二只中至少有一只正品}解:E:從6只燈泡中有放回地抽取2只,觀察正品與次品出現(xiàn)情況.S含有的根本領(lǐng)件總數(shù)為:A含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:設(shè)B1={第一次取正品,第二次取次品}B2={第一次取次品,第二次取正品}B=B1∪B2,顯然B1與B2互不相容[例1.13]將[例1.12]中的有放回地抽取兩次,改為無放回地抽取兩次,其它條件不變,試求A,B,C的概率.解:E:“從6只燈泡中無放回地抽取兩次,每次一只,觀察正品與次品發(fā)生的情況〞.S含有的根本領(lǐng)件總數(shù)為:A含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:B含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:*[例1.14]將[例1.12]中的取法改為一次抽取二只,其它條件不變,試求A,B,C的概率.解:E:“從6只燈泡中,一次取出二只,觀察正品與次品發(fā)生的情況〞.S含有的根本領(lǐng)件總數(shù)為:A含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:B含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:注意:從產(chǎn)品中任抽一件進行檢驗之后放回原產(chǎn)品中,再抽一件進行檢驗,以至進行數(shù)次,這種抽取產(chǎn)品的方式叫有放回抽樣,假設(shè)每次抽取的產(chǎn)品都不放回原產(chǎn)品中,那么叫無放回抽樣.[例1.15]袋中有a個白球,b個黑球,從中任意地連續(xù)一個一個地摸出k+1個球(k+1≤a+b),每次摸出的球不放回袋中,試求最后一次摸到白球的概率.解:S含有的根本領(lǐng)件總數(shù)為:設(shè)A={在摸出的k+1個球的排列中,最后一個是白球},那么A含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:注意:[例1.15]中所求事件的概率與k無關(guān)，即每一次摸到白球的概率是一樣的，這是抽簽問題的模型，即抽簽時各人時機均等，與抽簽的先后順序無關(guān)，所以抽簽不必爭先恐后.二、分房問題(球在盒中的分布問題)[例1.16]將張三,李四,王五3人等可能地分配到三間房中去,試求每個房間恰有一人的概率.解:E:將三人等可能地分配到三間房中去.S含有的根本領(lǐng)件總數(shù)為:設(shè)A={每個房間恰有一人},那么A含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:3!=6[例1.17]將n個人等可能的分配到N(n≤N)間房中的每一間去,試求以下事件的概率:A={某指定的n間房中各有一人};B={恰有n間房各有1人};C={某指定的一間房中恰有m個人(m≤n)}解:E:將n個人等可能地分配到N間房中去那么S含有的根本領(lǐng)件總數(shù)為:A含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:又B含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:C含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:注意:分房問題中的人與房子一般都是有個性的,處理這類問題是將人一個一個地往房間里面分配(看成復(fù)合試驗).處理實際問題時,要分清什么是“人〞,什么是“房〞,不可顛倒.常遇到的分房問題有:n個人的生日問題;n封信裝入n個信封的問題(配對問題).分房問題有時也叫球在盒中的分布問題.[例1.18]某年級有10名大學(xué)生是1986年出生的,試求以下事件的概率:(1).至少有兩人同年同月同日生;(2).至少有一人在十月一日過生日.解:E:考察10人的生日是一年中的哪一天(將10人的生日分配到一年的365天中去).S含有的根本領(lǐng)件總數(shù)為:(1).設(shè)A={至少有二人同年同月同日生};={沒有任何二人的生日是同一天}那么含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:(2).設(shè)B={至少有一人的生日在十月一日};={無一人的生日在十月一日}.含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:[例1.19]號碼是由0,1,2,…9等10個數(shù)字中的任意i個(i=1,2,3,4,5)數(shù)字所排列成的五位數(shù)(包括0排在首位),求號碼由完全不同的數(shù)字組成的概率.故樣本空間S含有的根本領(lǐng)件總數(shù)為:設(shè)A={號碼由5個完全不同的數(shù)字排列而成}那么A含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:解:我們可以把號碼的五個數(shù)看成5個人,而把0,1,2,3,...9等10個數(shù)字看成10間房三、隨機取數(shù)問題[例1.20]在0---9這十個數(shù)字中無重復(fù)地任意取4個數(shù)字,試求所取的4個數(shù)字能組成四位偶數(shù)的概率.解:E:從十個數(shù)字中任取4個進行排列那么S含有的根本領(lǐng)件總數(shù)為:設(shè)A={排成的是四位偶數(shù)},那么A含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:[例1.21]從1,2,3,4,5這五個數(shù)字中等可能地,有放回地連續(xù)抽取3個數(shù)字,試求以下事件的概率:A={三個數(shù)字完全不同};B={三個數(shù)字中不含1和5};C={三個數(shù)字中5恰好出現(xiàn)兩次};D={三個數(shù)字中至少有一次出現(xiàn)5}.解:E:從5個數(shù)字中有放回抽取3個數(shù)字.那么S含有的根本領(lǐng)件總數(shù)為:53考察A:相當于從5個數(shù)字中任意選取3個進行排列,故A含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:A53考察B:三個數(shù)字中不含1和5,只能在2,3,4三個數(shù)字中選取,每次有3種取法,故B含又的根本領(lǐng)件數(shù)為:33考察C:三個數(shù)字中5恰好出現(xiàn)兩次,可以是三次中的任意兩次,出現(xiàn)的方式有種,剩下的一次只能從1,2,3,4中任取一個數(shù)字,有4種取法,故C含有的根本領(lǐng)件數(shù)為:考察:={三個數(shù)字中,5一次也不出現(xiàn)},說明三次抽取都是在1,2,3,4中任取一個數(shù)字,故含有43個根本領(lǐng)件.[例1.22]從1-100的一百個整數(shù)中任取一數(shù),試求取到的整數(shù)能被6或8整除的概率.解:E:從1,2,3,…,100中任取一數(shù).顯然S含有100個根本領(lǐng)件設(shè)A={取到的數(shù)能被6整除}，B={取到的數(shù)能被8整除}，C={取到的數(shù)能被6或8整除}顯然:考察A:設(shè)100個整數(shù)有x個能被6整除,那么6x≤100,故x=16即A含有16個根本領(lǐng)件;考察B:設(shè)100個整數(shù)中有y個能被8整除,那么8y≤100,故y=12即B含有12個根本領(lǐng)件;考察AB:能被6整除又能被8整除的數(shù)就是能被24整除的數(shù),設(shè)共有z個,那么24z≤100,故z=4.即AB含有4個根本領(lǐng)件.[例1.23]一個質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有[0,5)上諸數(shù)字,在桌面上旋轉(zhuǎn)它,求當它停下來時,圓周與桌面接觸處的刻度位于區(qū)間[2,2.5]上的概率.解:S=[0,5),A=[2,2.5],L(S)=5-0=5,L(A)=2.5-2=0.5幾何概率的計算[例1.24](約會問題)甲乙二人相約上午7點到8點之間于某地會面,先到者等候另一人20分鐘,過時就離去.試求兩人能會面的概率.解:設(shè)x,y分別表示甲乙二人到達會面地點的時間,那么能會面的充要條件是:如果把以60為邊長的正方形看成樣本空間S,那么A={兩人能會面}就是不等式所表示的區(qū)域,如右圖所示.yo20606020Axm0第三節(jié)條件概率一、條件概率定義1設(shè)試驗E,S是E的樣本空間,A,B是E的事件,且P(A)>0,那么稱:為事件A已發(fā)生的條件下,B發(fā)生的條件概率.1.條件概率的定義注意:(i)條件概率滿足概率的三公理,具有概率的一般性質(zhì);(ii)對于古典概型,假設(shè)S由n個根本領(lǐng)件組成,A由m個根本領(lǐng)件組成(m>0),AB由k個根本領(lǐng)件組成,那么:這時,把作為條件的事件A=SA看作縮減的樣本空間.(iii)定義可推廣到:2.條件概率的性質(zhì)[例1.26]驗證條件概率滿足概率的三公理.證:

(1)

(2)(3)[例1.27]袋中有16個球,顏色與材料如下表所示:現(xiàn)從中任意摸取一個球,假設(shè)摸到的是紅球,那么這紅球是木質(zhì)球的概率是多少?解1:E:從16個球中人取一個,觀察顏色和材料.那么S含有16個根本領(lǐng)件.設(shè)A={摸到的是紅球},B={摸到的是木質(zhì)球}題中要求的概論率是P(B/A)木質(zhì)球玻璃球紅球2437黃球解2:因為S含有16個根本領(lǐng)件,A含有5個根本領(lǐng)件,AB含有2個根本領(lǐng)件,二、乘法公式設(shè)E是試驗,S是E的樣本空間,A,B,Ai(i=1,2,…,n)是E的事件,且P(A)>0,(或P(B)>0),P(A1A2…An-1)>0,那么有:[例1.28]一批燈泡共100只,次品率為10%.不放回抽取三次,每次一只,求第三次才取得合各格品的概率.解:設(shè)Ai={第i次取得合格品},i=1,2,3.顯然所求的概率是P(第一次取次品且第二次取次品且第三次取合格品)[例1.29]七人抓鬮,其中6張空票,1張戲票.求每個人抓到戲票的概率是多少?解1:設(shè)Ai={第i個人才抓到戲票}Bi={第i次抓到戲票}.i=1,2,…7解2:此題可理解為,一次一次把七張票無放回地取完,那么樣本空間為:最后一人取得戲票為:[例1.30]某人有5把鑰匙,其中有2把房門鑰匙,但忘了開房門的是哪二把,只好逐把試開.問此人在三次內(nèi)翻開房門的概率是多少?三、全概率公式定義2設(shè)E是試驗,S是樣本空間(或必然事件),B,Ai是E的事件(i=1,2,…n),且滿足:(1)(2)四、逆概率公式定理2(貝葉斯公式)在全概率公式的條件下,假設(shè)P(B)>0那么有逆概率公式(簡稱逆概公式):注意:在全概和逆概公式中的Ai是導(dǎo)致試驗結(jié)果的各種原因,P(Ai)(i=1,2,…n)是各種原因發(fā)生的概率,稱為先驗概率,一般是由實際經(jīng)驗給出的.P(Ai/B)稱為后驗概率,它反映了試驗之后各種原因Ai發(fā)生的概率的新結(jié)果,是P(Ai)的修正值.但凡試驗結(jié)果,要找某種原因發(fā)生的可能性,即信息,問信息來自何方的問題,可用逆概公式來解決.[例1.32]設(shè)甲箱中有a個白球,b個紅球,(a>0,b>0),乙箱中有c個白球,d個紅球(c>0,d>0).從甲箱中任取一球放入乙箱中,然后再從乙箱中任取一球,試求從乙箱中取到的球為白球的概率.解1:設(shè)B={從乙箱中取到的球為白球},B是試驗結(jié)果.A1={從甲箱中取出的球為白球}A2={從甲箱中取出的球為紅球}白a,紅b白c,紅dA1=從甲箱中取出白球A2=從甲箱中取出紅球B=從乙箱中取白球解2: 設(shè)A1={從乙箱中取出的球原是甲箱中的}A2={從乙箱中取出的球是原在乙箱中的}顯然[例1.33]某倉庫有同樣規(guī)格的產(chǎn)品6箱,其中有3箱,2箱和1箱依次是由甲,乙,丙三個廠家生產(chǎn)的,且三廠的次品率分別為1/10,1/15,1/20.現(xiàn)從這6箱中任取一箱,再從取得的一箱中任取一件,試求取得的一件是次品的概率.解:設(shè)B={取得的一件是次品}A1={取得的一件是甲廠生產(chǎn)的}A2={取得的一件是乙廠生產(chǎn)的}A3={取得的一件是丙廠生產(chǎn)的}由題意得:在6箱產(chǎn)品中,甲,乙,丙三廠分別占3/6,2/6,1/6,即有:故由全概率公式得:[例1.34]在[例1.33]中,假設(shè)取得的一件是次品,試求所取得的產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的概率.解:A1,A2,A3,B如[例1.33]所設(shè)事件，依題意，結(jié)果B已發(fā)生,要求第三個原因發(fā)生的概率，那么用逆概公式：[例1.35]設(shè)用一種化驗來診斷某種疾病,患該病的人中有90%呈陽性反響,而未患該病的人中有5%呈陽性反響,該人群中有1%的人患這種疾病.假設(shè)某人做這種化驗呈陽性反響,那么他患這種疾病的概率是多少?第四節(jié)事件的獨立性一、事件的獨立性定義1設(shè)Ai(i=1,2,…n)是E的事件,假設(shè)對任意一組數(shù)k1,k2,…ks(2≤s≤n;每組數(shù)k1,k2,…ks取1,2,…n中s個不同的值)有:那么稱事件A1,A2,…An相互獨立.(1)必然事件S與任意事件B相互獨立(2)不可能事件Φ與任意事件B相互獨立顯然注意:〔i〕假設(shè)Ai(i=1,2,…n)中任意多個事件的積事件的概率等于每一個的概率之積,那么稱Ai相互獨立,故定義的等式是一組等式,包含有:個等式.〔ii〕假設(shè)A1,A2,…An中任意兩個事件是相互獨立的,那么稱A1,A2,…An兩兩獨立,相互獨立一定兩