高中數(shù)學第8章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.2一元線性回歸模型及其應用課件新人教版選修3

8.2一元線性回歸模型及其應用課前·基礎認知課堂·重難突破素養(yǎng)·目標定位隨堂訓練素養(yǎng)?目標定位目標素養(yǎng)1.結(jié)合具體實例,了解一元線性回歸模型的含義,了解模型參數(shù)的統(tǒng)計意義,了解最小二乘法的原理,掌握一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘法估計方法,會使用相關的統(tǒng)計軟件.2.針對實際問題,會用一元線性回歸模型進行預測.3.通過學習,提升數(shù)學抽象、數(shù)學運算和數(shù)學建模的核心素養(yǎng).知識概覽課前·基礎認知1.一元線性回歸模型一元線性回歸模型的完整表達式為

其中Y稱為

因變量

或

響應變量

,x稱為自變量或

解釋變量

;a,b為模型的未知參數(shù),e是Y與bx+a之間的

隨機誤差

.2.一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計

(2)對于響應變量Y,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值,通過經(jīng)驗回歸方程得到的

稱為預測值,觀測值減去預測值稱為殘差

.

(4)經(jīng)驗回歸方程的性質(zhì):微訓練(1)若y與x之間的一組數(shù)據(jù)為則y關于x的經(jīng)驗回歸直線一定經(jīng)過的點是

.

答案:(2,4)所以y關于x的經(jīng)驗回歸直線一定經(jīng)過的點是(2,4).(2)若一組觀測值(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)之間滿足yi=bxi+a+ei(i=1,2,…,n),且ei恒為0,則R2為

.

答案:1課堂·重難突破一

線性回歸分析典例剖析1.某種產(chǎn)品的廣告費用支出x(單位:百萬元)與銷售額y(單位:百萬元)之間有如下的對應數(shù)據(jù):(1)畫出散點圖;(2)求經(jīng)驗回歸方程;(3)試預測廣告費用支出為10百萬元時的銷售額.解:(1)散點圖如圖所示:(2)列出下表:(3)根據(jù)(2)中求得的經(jīng)驗回歸方程,當廣告費用支出為10百萬元時,=6.5×10+17.5=82.5(百萬元),即廣告費用支出為10百萬元時,銷售額大約為82.5百萬元.規(guī)律總結(jié)1.求經(jīng)驗回歸方程前必須判斷兩個變量是否線性相關,如果兩個變量本身不具備相關關系,或者它們之間的相關關系不顯著,那么即使求出經(jīng)驗回歸方程也是毫無意義的.學以致用1.下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x(單位:噸)與相應的生產(chǎn)能耗y(單位:噸標準煤)的幾組對照數(shù)據(jù):(1)請畫出散點圖;(2)請根據(jù)表中的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關于x的經(jīng)驗回歸方程;(3)已知該廠技術改造前100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標準煤.試根據(jù)(2)求出的經(jīng)驗回歸方程,預測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術改造前降低多少噸標準煤?(參考數(shù)值:3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5)解:(1)由題設所給數(shù)據(jù),可得散點圖如圖所示.(3)由(2)的經(jīng)驗回歸方程及技術改造前生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗,得降低的生產(chǎn)能耗為90-(0.7×100+0.35)=19.65(噸標準煤).二

殘差分析典例剖析2.已知某種商品的價格x(單位:元)與需求量y(單位:件)之間的關系有如下一組數(shù)據(jù):求y關于x的經(jīng)驗回歸方程,并說明模型擬合效果的好壞.規(guī)律總結(jié)刻畫擬合效果的三個方法(1)殘差圖法:殘差點比較均勻地落在水平帶狀區(qū)域內(nèi)說明選用的模型比較合適.學以致用2.為了研究黏蟲孵化的平均溫度x(單位:℃)與孵化天數(shù)y之間的關系,某課外興趣小組通過試驗得到如下6組數(shù)據(jù):組號123456平均溫度15.316.817.41819.521孵化天數(shù)16.714.813.913.58.46.2他們分別用兩種模型①y=bx+a,②y=cedx進行擬合,得到相應的經(jīng)驗回歸方程并進行殘差分析,得到殘差圖如圖所示:(1)根據(jù)殘差圖,比較模型①,②的擬合效果,應選擇哪個模型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)殘差絕對值大于1的數(shù)據(jù)被認為是異常數(shù)據(jù),需要剔除,剔除后應用最小二乘法并根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程.(系數(shù)精確到0.1)解:(1)根據(jù)題意知,應該選擇模型①.(2)剔除異常數(shù)據(jù),即組號為4的數(shù)據(jù),三

非線性回歸分析典例剖析3.某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費,需了解年宣傳費x(單位:千元)對年銷售量y(單位:t)和年利潤z(單位:千元)的影響.對近8年的年宣傳費xi和年銷售量yi(i=1,2,…,8)的數(shù)據(jù)作了初步處理,得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.(1)根據(jù)散點圖判斷,y=a+bx與y=c+d哪一個適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的經(jīng)驗回歸方程類型?(給出判斷即可,不必說明理由)(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù),建立y關于x的經(jīng)驗回歸方程.(3)已知這種產(chǎn)品的年利潤z與x,y的關系為z=0.2y-x.根據(jù)(2)的結(jié)果回答下列問題:①當年宣傳費x=49時,年銷售量及年利潤的預測值是多少?②當年宣傳費x為何值時,年利潤的預測值最大?解:(1)由散點圖可以判斷,y=c+d適宜作為年銷售量y關于年宣傳費x的經(jīng)驗回歸方程類型.(3)①由(2)知,當x=49時,年銷售量y的預測值

故年宣傳費為46.24(單位:千元)時,年利潤的預測值最大.規(guī)律總結(jié)求非線性經(jīng)驗回歸方程的步驟(1)確定變量,作出散點圖.(2)根據(jù)散點圖,選擇恰當?shù)臄M合函數(shù).(3)變量置換,通過變量置換把非線性經(jīng)驗回歸問題轉(zhuǎn)化為經(jīng)驗回歸問題,并求出經(jīng)驗回歸方程.(4)分析擬合效果,通過計算R2或畫殘差圖來判斷擬合效果.(5)根據(jù)相應的變換,寫出非線性經(jīng)驗回歸方程.學以致用3.若一函數(shù)模型為y=ax2+bx+c(a≠0),將y轉(zhuǎn)化為關于t的線性經(jīng)驗回歸方程,需作變換t=(

)答案:C隨堂訓練1.相關變量x,y的樣本數(shù)據(jù)如表所示.x12345y2021m2627經(jīng)回歸分析可得y與x呈線性相關,并由最小二乘法求得相應的經(jīng)驗回歸方程為

=1.9x+17.9,則表中的m=(

)

A.23.6 B.23 C.24.6 D.24答案:D2.甲、乙、丙、丁四名學生在建立變量x,y的回歸模型時,分別選擇了4種不同模型,計算可得它們的決定系數(shù)R2分別如下表:學生甲乙丙丁R20.980.780.500.85則建立回歸模型擬合效果最好的同學是(

)A.甲

B.乙

C.丙

D.丁答案:A解析:決定系數(shù)R2越大,表示回歸模型的擬合效果越好.元,那么年支出預計不會超過(

)A.10億元

B.9億元

C.10.5億元 D.9.5億元答案:C4.已知某產(chǎn)品的銷售額y(單位:萬元)與廣告費用x(單位:萬元)之間的關系如表:x01234y1015203035若求得其經(jīng)驗回歸方程為,則預計當廣告費用為6萬元時的銷售額為(

)A.42萬元

B.45萬元

C.48萬元

D.51萬元答案:C5.某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品