江蘇省蘇州市張家港市梁豐高級中學(xué)高三數(shù)學(xué)模擬試卷（23）（含解析）新人教A版

PAGEPAGE23江蘇省蘇州市張家港市梁豐高級中學(xué)2023屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷（23）一．填空題：（本大題共14小題，每題5分，計70分）1．復(fù)數(shù)的虛部是__________．2．已知集合M={a，0}，N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}，如果M∩N≠?，那么a=__________．3．已知，，那么=__________．4．設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn．假設(shè)a1=1，a3=4，Sk=63，那么k=__________．5．△ABC中，“A=”是“sinA=”的__________條件（從“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中選出符合題意的一個填空）．6．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，那么以下正確命題的序號是__________．①假設(shè)m∥n，m⊥β，那么n⊥β；②假設(shè)m∥n，m∥β，那么n∥β；③假設(shè)m∥α，m∥β，那么α∥β；④假設(shè)n⊥α，n⊥β，那么α⊥β．7．根據(jù)如下圖的偽代碼，最后輸出的S的值為__________．8．已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，那么的最大值為__________．9．已知Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，假設(shè)向區(qū)域Ω上隨機投擲一點P，那么點P落入?yún)^(qū)域A的概率為__________．10．函數(shù)的局部圖象如下圖，那么將y=f（x）的圖象向右平移單位后，得到的圖象解析式為__________．11．已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，那么x﹣y=__________．12．求“方程（）x+（）x=1的解”有如下解題思路：設(shè)f（x）=（）x+（）x，那么f（x）在R上單調(diào)遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．類比上述解題思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集為__________．13．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn（n∈N*）．假設(shè)S3，S9，S6成等差數(shù)列，那么的值是__________．14．在平面直角坐標系xOy中，已知點A是橢圓上的一個動點，點P在線段OA的延長線上，且，那么點P橫坐標的最大值為__________．二．解答題：（本大題共6小題，計90分）15．已知命題：“?x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命題，（1）求實數(shù)m的取值集合M；（2）設(shè)不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集為N，假設(shè)x∈N是x∈M的必要條件，求a的取值范圍．16．已知函數(shù)f（x）=2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，假設(shè)f（A）=4，b=1，△ABC的面積為，求a的值．17．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC為正三角形，D、E、F分別是BC，PB，CA的中點．（1）證明平面PBF⊥平面PAC；（2）判斷AE是否平行于平面PFD，并說明理由；（3）假設(shè)PC=AB=2，求三棱錐P﹣DEF的體積．18．如下圖，直立在地面上的兩根鋼管AB和CD，AB=10m，CD=3m，現(xiàn)用鋼絲繩對這兩根鋼管進展加固，有兩種方法：（1）如圖（1）設(shè)兩根鋼管相距1m，在AB上取一點E，以C為支點將鋼絲繩拉直并固定在地面的F處，形成一個直線型的加固（圖中虛線所示）．那么BE多長時鋼絲繩最短？（2）如圖（2）設(shè)兩根鋼管相距3m19．設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1、F2，線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．過B1作直線l交橢圓于P、Q兩點．（1）求該橢圓的標準方程；（2）假設(shè)PB2⊥QB2，求直線l的方程；（3）設(shè)直線l與圓O：x2+y2=8相交于M、N兩點，令|MN|的長度為t，假設(shè)t∈[4，]，求△B2PQ的面積S的取值范圍．20．已知數(shù)列{an}滿足an+1+an=4n﹣3（n∈N*）．（1）假設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值；（2）當a1=2時，求數(shù)列{an}的前n項和Sn；（3）假設(shè)對任意n∈N*，都有≥5成立，求a1的取值范圍．三、附加題（共4小題，總分值0分）21．已知矩陣A=，向量=．求向量，使得A2a=b．22．選修4﹣4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是（θ是參數(shù)），假設(shè)以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，取與直角坐標系中相同的單位長度，建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程．23．如圖（1），等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點D在線段AC上，DE⊥AB于E，現(xiàn)將△ADE沿DE折起到△PDE的位置（如圖（2））．（Ⅰ）求證：PB⊥DE；（Ⅱ）假設(shè)PE⊥BE，直線PD與平面PBC所成的角為30°，求PE長．24．附加題：在十字路口的路邊，有人在促銷木糖醇口香糖，只聽喇叭里喊道：木糖醇口香糖，10元錢三瓶，有8種口味供你選擇（其中有一種為草莓口味）．小明一看，只見一大堆瓶裝口香糖堆在一起（假設(shè)各種口味的口香糖均超過3瓶，且每瓶價值均相同）．（1）小明花10元錢買三瓶，請問小明共有多少種選擇的可能性？（2）小明花10元錢買三瓶，售貨員隨便拿三瓶給小明，請列出有小明喜歡的草莓味口香糖瓶數(shù)ξ的分布列，并計算其數(shù)學(xué)期望．江蘇省蘇州市張家港市梁豐高級中學(xué)2023屆高考數(shù)學(xué)模擬試卷（23）一．填空題：（本大題共14小題，每題5分，計70分）1．復(fù)數(shù)的虛部是．考點：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算；復(fù)數(shù)的根本概念．專題：計算題．分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法那么計算即可．解答： 解：==，所以復(fù)數(shù)的虛部是．故答案為：．點評：此題考察復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算、復(fù)數(shù)的根本概念，屬根底題．2．已知集合M={a，0}，N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}，如果M∩N≠?，那么a=1．考點：一元二次不等式的解法．專題：計算題；不等式的解法及應(yīng)用．分析：求解二次不等式化簡集合N，然后由交集的運算可得a的值．解答： 解：由N={x|2x2﹣3x＜0，x∈Z}={x|0＜x＜，x∈Z}={1}，又M={a，0}且M∩N≠?，所以a=1．故答案為1．點評：此題考察了一元二次不等式的解法，考察了交集及其運算，是根底題．3．已知，，那么=﹣．考點：兩角和與差的正切函數(shù)．分析：所求式子利用誘導(dǎo)公式化簡，將sinα算出并求出tanα帶入可求出值．解答： ∵∴sinα==﹣即tanα=∴tan（）==﹣故答案為：﹣點評：考察了兩角和公式的應(yīng)用，屬于根底題．4．設(shè)等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn．假設(shè)a1=1，a3=4，Sk=63，那么k=6．考點：等比數(shù)列的前n項和；等比數(shù)列的通項公式．專題：計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：先由已知的項可求等比數(shù)列的公比，然后代入等比數(shù)列的求和公式即可求解k解答： 解：由等比數(shù)列的通項公式可得，=4又∵an＞0∴q＞0∴q=2∵Sk=63，∴∴2k=64∴k=6故答案為：6點評：此題主要考察了等比數(shù)列的通項公式及求和公式的簡單應(yīng)用，屬于根底試題5．△ABC中，“A=”是“sinA=”的充分不必要條件（從“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”中選出符合題意的一個填空）．考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．專題：三角函數(shù)的求值．分析：根據(jù)A=可以判斷sinA=，得到前者可以推出后者，舉出一個反例來說明后者不一定推出前者，得到前者是后者的充分不必要條件．解答： 解：假設(shè)A=，根據(jù)三角函數(shù)的特殊值知sinA=，即前者可以推出后者，當sinA=，比方sin=，顯然A=，不成立．得到前者不能推出后者，∴綜上可知前者是后者的充分不必要條件，故答案為：充分不必要點評：此題考察充分條件、必要條件與充要條件的定義，正弦函數(shù)的值，此題解題的關(guān)鍵是通過舉反例來說明某個命題不正確，這是一種簡單有效的方法，此題是一個根底題．6．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，那么以下正確命題的序號是①．①假設(shè)m∥n，m⊥β，那么n⊥β；②假設(shè)m∥n，m∥β，那么n∥β；③假設(shè)m∥α，m∥β，那么α∥β；④假設(shè)n⊥α，n⊥β，那么α⊥β．考點：命題的真假判斷與應(yīng)用；平面與平面之間的位置關(guān)系．專題：空間位置關(guān)系與距離．分析：對每一選擇支進展逐一判定，不正確的只需取出反例，正確的證明一下即可．解答： 解：對于①，根據(jù)線面垂直的判定定理，如果兩平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面．可知該命題正確；對于②，根據(jù)線面平行的判定定理可知少條件：“n不在平面β內(nèi)”，故不正確；對于③，假設(shè)m∥α，m∥β，那么α∥β或α與β相交．可知該命題不正確；對于④，根據(jù)面面平行的判定定理可知“α∥β”，故不正確．故答案為：①．點評：此題主要考察了平面與平面之間的位置關(guān)系，以及空間中直線與平面之間的位置關(guān)系，考察空間想象能力和推理論證能力，屬于根底題．7．根據(jù)如下圖的偽代碼，最后輸出的S的值為145．考點：偽代碼．專題：圖表型．分析：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出滿足條件S=1+4+7+10+13+…+28時，S的值．解答： 解：分析程序中各變量、各語句的作用，再根據(jù)流程圖所示的順序，可知：該程序的作用是累加并輸出滿足條件S=1+4+7+10+13+…+28值．∵S=1+4+7+10+13+…+28=145，故輸出的S值為145．故答案為：145．點評：此題考察的知識點是偽代碼，其中根據(jù)已知分析出循環(huán)的循環(huán)變量的初值，終值及步長，是解答的關(guān)鍵．8．已知正方形ABCD的邊長為1，點E是AB邊上的動點，那么的最大值為1．考點：平面向量數(shù)量積的運算．專題：平面向量及應(yīng)用．分析：建系，由向量數(shù)量積的坐標運算公式，可得得=x，結(jié)合點E在線段AB上運動，可得到x的最大值為1，即為所求的最大值．解答： 解：以AB、AD所在直線為x軸、y軸，建立坐標系如圖可得A（0，0），B（1，0），C（1，1），D（0，1）設(shè)E（x，0），其中0≤x≤1∵=（x，﹣1），=（1，0），∴=x?1+（﹣1）?0=x，∵點E是AB邊上的動點，即0≤x≤1，∴x的最大值為1，即的最大值為1故答案為：1點評：此題考察向量數(shù)量積的最大值，建立坐標系是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．9．已知Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，假設(shè)向區(qū)域Ω上隨機投擲一點P，那么點P落入?yún)^(qū)域A的概率為．考點：幾何概型．專題：計算題．分析：根據(jù)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域的原理，分別作出集合Ω和集合A對應(yīng)的平面區(qū)域，得到它們都直角三角形，計算出這兩個直角三角形的面積后，再利用幾何概型的概率公式進展計算即可．解答： 解：區(qū)域Ω={（x，y）|x+y＜6，x＞0，y＞0}，表示的圖形是第一象限位于直線x+y=6的下方局部，如圖的紅色三角形的內(nèi)部，它的面積S=；再觀察集合A={（x，y）|x＜4，y＞0，x﹣2y＞0}，表示的圖形在直線x﹣2y=0下方，直線x=4的左邊并且在x軸的上方，如圖的黃色小三角形內(nèi)部可以計算出它的面積為S1==4根據(jù)幾何概率的公式，得向區(qū)域Ω上隨機投一點P，P落入?yún)^(qū)域A的概率為P=故答案為：點評：此題主要考察了二元一次不等式組表示的平面區(qū)域和幾何概率模型，準確畫作相應(yīng)的平面區(qū)域，熟練地運用面積比求相應(yīng)的概率，是解決此題的關(guān)鍵，屬于中檔題．10．函數(shù)的局部圖象如下圖，那么將y=f（x）的圖象向右平移單位后，得到的圖象解析式為y=sin（2x﹣）．考點：由y=Asin（ωx+φ）的局部圖象確定其解析式．專題：計算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．分析：由圖知，A=1，T=π，可求ω，再由ω+φ=可求得φ，從而可得y=f（x）的解析式，利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換及可求得答案．解答： 解：由圖知，A=1，T=π，∴T=π，ω==2，又×2+φ=+2kπ（k∈Z），∴φ=2kπ+（k∈Z），又|φ|＜，∴φ=；∴y=f（x）的解析式為y=sin（2x+），∴將y=f（x）的圖象向右平移單位后得y=sin[2（x﹣）+]=sin（2x﹣）．故答案為：y=sin（2x﹣）．點評：此題考察y=Asin（ωx+φ）的局部圖象確定函數(shù)解析式，考察函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考察識圖與運算能力，屬于中檔題．11．已知0＜y＜x＜π，且tanxtany=2，，那么x﹣y=．考點：兩角和與差的余弦函數(shù)．專題：計算題；三角函數(shù)的求值．分析：由題意可得cosxcosy=，進而可得cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=，由余弦函數(shù)可知x﹣y的值．解答： 解：由題意可得tanxtany==2，解得cosxcosy=，故cos（x﹣y）=cosxcosy+sinxsiny=故x﹣y=2kπ±，k∈Z，又0＜y＜x＜π，所以0＜x﹣y＜π．所以x﹣y=故答案為：點評：此題考察同角三角函數(shù)的根本關(guān)系，以及兩角和與差的余弦函數(shù)，屬根底題．12．求“方程（）x+（）x=1的解”有如下解題思路：設(shè)f（x）=（）x+（）x，那么f（x）在R上單調(diào)遞減，且f（2）=1，所以原方程有唯一解x=2．類比上述解題思路，方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集為{﹣1，2}．考點：類比推理．專題：規(guī)律型．分析：類比求“方程（）x+（）x=1的解的解題思路，設(shè)f（x）=x3+x，利用導(dǎo)數(shù)研究f（x）在R上單調(diào)遞增，從而根據(jù)原方程可得x2=x+2，解之即得方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集．解答： 解：類比上述解題思路，設(shè)f（x）=x3+x，由于f′（x）=3x2+1≥0，那么f（x）在R上單調(diào)遞增，由x6+x2=（x+2）3+（x+2）即（x2）3+x2=（x+2）3+（x+2），∴x2=x+2，解之得，x=﹣1或x=2．所以方程x6+x2=（x+2）3+（x+2）的解集為{﹣1，2}．故答案為：{﹣1，2}．點評：此題主要考察了類比推理，考察了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．13．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn（n∈N*）．假設(shè)S3，S9，S6成等差數(shù)列，那么的值是．考點：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q、首項是a1，根據(jù)公比q與1的關(guān)系進展分類，由等比數(shù)列的前n項和公式化簡求值，再由等比數(shù)列的通項公式化簡所求的式子即可．解答： 解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q、首項是a1，當q=1時，有S3=3a1、S9=9a1、S6=a1，不滿足S3，S9，S6成等差數(shù)列；當q≠1時，因為S3，S9，S6成等差數(shù)列，所以2×=+，化簡得2q6﹣q3﹣1=0，解得q3=或q3=1（舍去），那么===，故答案為：．點評：此題考察等比數(shù)列的前n項和公式、通項公式，分類討論思想，使用等比數(shù)列的前n項和公式時需要對公比與1的關(guān)系進展討論．14．在平面直角坐標系xOy中，已知點A是橢圓上的一個動點，點P在線段OA的延長線上，且，那么點P橫坐標的最大值為15．考點：橢圓的簡單性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運算．專題：計算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：根據(jù)向量共線定理設(shè)，結(jié)合題意算出．設(shè)A（x，y）、P（m，n），由向量的坐標運算公式，化簡得m=λx=，再利用根本不等式求最值，可得當A點橫坐標為時，P點橫坐標的最大值為15．解答： 解：∵點P在線段OA的延長線上，∴設(shè)（λ＞1），由得，可得．設(shè)A（x，y），P（m，n），那么可得m=λx====，為了研究點P橫坐標m的最大值，根據(jù)A點在橢圓上，設(shè)x∈（0，5），可得≥2=，∴m=≤=15，由此可得：當且僅當，即A點橫坐標x=時，P點橫坐標的最大值為15．故答案為：15點評：此題已知橢圓上的動點滿足的條件，求點P橫坐標的最大值．著重考察了向量的數(shù)量積及其運算性質(zhì)、向量的坐標運算公式、根本不等式與橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．二．解答題：（本大題共6小題，計90分）15．已知命題：“?x∈{x|﹣1＜x＜1}，使等式x2﹣x﹣m=0成立”是真命題，（1）求實數(shù)m的取值集合M；（2）設(shè)不等式（x﹣a）（x+a﹣2）＜0的解集為N，假設(shè)x∈N是x∈M的必要條件，求a的取值范圍．考點：復(fù)合命題的真假；必要條件、充分條件與充要條件的判斷；一元二次不等式的解法．專題：計算題．分析：（1）利用參數(shù)別離法將m用x表示，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求出m的取值范圍，從而可求集合M；（2）假設(shè)x∈N是x∈M的必要條件，那么M?N分類討論①當a＞2﹣a即a＞1時，N={x|2﹣a＜x＜a}，②當a＜2﹣a即a＜1時，N={x|a＜x＜2﹣a}，③當a=2﹣a即a=1時，N=φ三種情況進展求解解答： 解：（1）由x2﹣x﹣m=0可得m=x2﹣x=∵﹣1＜x＜1∴M={m|}（2）假設(shè)x∈N是x∈M的必要條件，那么M?N①當a＞2﹣a即a＞1時，N={x|2﹣a＜x＜a}，那么即②當a＜2﹣a即a＜1時，N={x|a＜x＜2﹣a}，那么即③當a=2﹣a即a=1時，N=φ，此時不滿足條件綜上可得點評：此題主要考察了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域的求解，集合之間包含關(guān)系的應(yīng)用，表達了分類討論思想的應(yīng)用．16．已知函數(shù)f（x）=2．（1）求f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，a，b，c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，假設(shè)f（A）=4，b=1，△ABC的面積為，求a的值．考點：兩角和與差的正弦函數(shù)；誘導(dǎo)公式的作用；三角函數(shù)的周期性及其求法．專題：解三角形．分析：（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式和二倍角公式、兩角和的正弦公式對解析式化簡，再由周期公式求f（x）的最小正周期；（2）把條件代入f（x）的解析式化簡，再由A的范圍和正弦值求A，結(jié)合三角形面積公式條件和余弦定理求出邊a．解答： 解：（1）f（x）=2==sin2x+（1+cos2x）+2=sin2x+cos2x）+3=2sin（2x+）+3∴T==π．（2）由f（A）=4得2sin（2A+）+3=4，∴sin（2A+）=，又∵A為△ABC的內(nèi)角，∴＜2A+＜，∴2A+=，A=．由S△ABC=，得bcsinA=×1×c×=，c=2．由余弦定理得a2=b2+c2﹣2bccosA=1+4﹣2×=3，∴a=．點評：此題考察了三角恒等變換、正弦函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，以及余弦定理的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是正確對解析式進展化簡，屬于中檔題．17．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC為正三角形，D、E、F分別是BC，PB，CA的中點．（1）證明平面PBF⊥平面PAC；（2）判斷AE是否平行于平面PFD，并說明理由；（3）假設(shè)PC=AB=2，求三棱錐P﹣DEF的體積．考點：平面與平面垂直的判定；棱柱、棱錐、棱臺的體積；直線與平面垂直的判定．專題：綜合題．分析：（1）先根據(jù)PC⊥平面ABC，BF?平面ABC得到PC⊥BF；再結(jié)合BF⊥AC即可得到BF⊥平面PAC，進而證明結(jié)論；（2）先假設(shè)AE∥平面PFD，借助于假設(shè)證得平面ABE∥平面PFD，與P∈平面PFD，P∈平面ABE相矛盾，即可說明結(jié)論；（3）直接根據(jù)D，E，F(xiàn)分別為BC，PB，CA的中點，把所求體積進展轉(zhuǎn)化；轉(zhuǎn)化為VP﹣BDF即可求出結(jié)論．解答： 解：（1）∵PC⊥平面ABC，BF?平面ABC．∴PC⊥BF．由條件得BF⊥AC，PC∩AC=C．∴BF⊥平面PAC，BF?平面PBF，∴平面PBF⊥平面PAC．（2）：AE不平行于平面PFD．反證法：假設(shè)AE∥平面PFD，∵AB∥FD，F(xiàn)D?平面PFD．∴AB∥平面PFD．∵AE∩AB=A，∴平面ABE∥平面PFD．∵P∈平面PFD，P∈平面ABE．矛盾．那么假設(shè)不成立，所以：AE不平行于平面PFD（3）∵D，E，F(xiàn)分別為BC，PB，CA的中點．∴VP﹣DEF=VC﹣DEF=VE﹣DFC=VE﹣BDF=VP﹣BDF=××S△BDF?PC=××S△ABC?PC=××××2×2××2=．點評：此題主要考察平面與平面垂直的判定以及棱錐體積的求法．棱錐體積的求法常用轉(zhuǎn)化思想，變?yōu)橐浊蟮膸缀误w的體積，考察計算能力．18．如下圖，直立在地面上的兩根鋼管AB和CD，AB=10m，CD=3m，現(xiàn)用鋼絲繩對這兩根鋼管進展加固，有兩種方法：（1）如圖（1）設(shè)兩根鋼管相距1m，在AB上取一點E，以C為支點將鋼絲繩拉直并固定在地面的F處，形成一個直線型的加固（圖中虛線所示）．那么BE多長時鋼絲繩最短？（2）如圖（2）設(shè)兩根鋼管相距3m考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；根據(jù)實際問題選擇函數(shù)類型．專題：應(yīng)用題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：設(shè)鋼絲繩長為ym，∠CFD=θ，（1）（其中0＜θ＜θ0，tanθ0=7），求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值；（2）（其中0＜θ＜θ0，），求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)的正負確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求最值．解答： 解：（1）設(shè)鋼絲繩長為ym，∠CFD=θ，那么（其中0＜θ＜θ0，tanθ0=7），，易知為（0，θ0）上的增函數(shù)，且當tanθ=時，y′=0；故在（0，θ0）上先減后增，故當時，即時，ymin=8；（2）設(shè)鋼絲繩長為ym，∠CFD=θ，那么（其中0＜θ＜θ0，），，令y'=0得sinθ=cosθ，當時，即時，；答：按方法（1），米時，鋼絲繩最短；按方法（2），米時，鋼絲繩最短．點評：此題考察了函數(shù)在實際問題中的應(yīng)用，同時考察了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．19．設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1、F2，線段OF1、OF2的中點分別為B1、B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．過B1作直線l交橢圓于P、Q兩點．（1）求該橢圓的標準方程；（2）假設(shè)PB2⊥QB2，求直線l的方程；（3）設(shè)直線l與圓O：x2+y2=8相交于M、N兩點，令|MN|的長度為t，假設(shè)t∈[4，]，求△B2PQ的面積S的取值范圍．考點：直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標準方程．專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題．分析：（1）設(shè)所求橢圓的標準方程為，右焦點為F2（c，0）．已知△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90°，可得c=2b，在Rt△AB1B2中，，從而a2=b2+c2=20．即可得到橢圓的方程．（2）由（1）得B1（﹣2，0），可設(shè)直線l的方程為x=my﹣2，代入橢圓的方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用PB2⊥QB2，?，即可得到m．（3）當斜率不存在時，直線l：x=﹣2，此時|MN|=4，，當斜率存在時，設(shè)直線l：y=k（x+2），利用點到直線的距離公式可得圓心O到直線l的距離，可得t=，得k的取值范圍；把直線l的方程代入橢圓的方程點到根與系數(shù)的關(guān)系，代入|B1B2|×|y1﹣y2|，再通過換元，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出S的取值范圍．解答： 解：（1）設(shè)所求橢圓的標準方程為，右焦點為F2（c，0）．因△AB1B2是直角三角形，又|AB1|=|AB2|，故∠B1AB2=90°，得c=2b，在Rt△AB1B2中，，從而a2=b2+c2=20．因此所求橢圓的標準方程為：．（2）由（1）得B1（﹣2，0），可設(shè)直線l的方程為x=my﹣2，代入橢圓的方程．化為（5+m2）y2﹣4my﹣16=0．設(shè)P（x1，y1）、Q（x2，y2），那么，，又，B2P⊥B2Q，所以=（m2+1）y1y2﹣4m（y1+y2）+16===0，∴m2=4，解得m=±2；所以滿足條件的直線有兩條，其方程分別為：x+2y+2=0和x﹣2y+2=0．（3）當斜率不存在時，直線l：x=﹣2，此時|MN|=4，，當斜率存在時，設(shè)直線l：y=k（x+2），那么圓心O到直線l的距離，因此t=，得，聯(lián)立方程組：得（1+5k2）y2﹣4ky﹣16k2=0，由韋達定理知，，所以，因此．設(shè)，所以，所以，綜上所述：△B2PQ的面積．點評：此題綜合考察了橢圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計算公式、點到直線的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性等根底知識與根本技能，考察了推理能力、計算能力．20．已知數(shù)列{an}滿足an+1+an=4n﹣3（n∈N*）．（1）假設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值；（2）當a1=2時，求數(shù)列{an}的前n項和Sn；（3）假設(shè)對任意n∈N*，都有≥5成立，求a1的取值范圍．考點：數(shù)列與不等式的綜合；等差數(shù)列的通項公式；等差數(shù)列的前n項和．專題：綜合題；壓軸題．分析：（1）由等差數(shù)列的定義，假設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，那么an=a1+（n﹣1）d，an+1=a1+nd．結(jié)合an+1+an=4n﹣3，得即可解得首項a1的值；（2）由an+1+an=4n﹣3（n∈N*），用n+1代n得an+2+an+1=4n+1（n∈N*）．兩式相減，得an+2﹣an=4．從而得出數(shù)列{a2n﹣1}是首項為a1，公差為4的等差數(shù)列．進一步得到數(shù)列{a2n}是首項為a2，公差為4的等差數(shù)列．下面對n進展分類討論：①當n為奇數(shù)時，②當n為偶數(shù)時，分別求和即可；（3）由（2）知，an=（k∈Z）．①當n為奇數(shù)時，②當n為偶數(shù)時，分別解得a1的取值范圍，最后綜上所述，即可得到a1的取值范圍．解答： 解：（1）假設(shè)數(shù)列{an}是等差數(shù)列，那么an=a1+（n﹣1）d，an+1=a1+nd．由an+1+an=4n﹣3，得（a1+nd）+[a1+（n﹣1）d]=4n﹣3，即2d=4，2a1﹣d=﹣3，解得d=2，a1=．（2）由an+1+an=4n﹣3（n∈N*），得an+2+an+1=4n+1（n∈N*）．兩式相減，得an+2﹣an=4．所以數(shù)列{a2n﹣1}是首項為a1，公差為4的等差數(shù)列．數(shù)列{a2n}是首項為a2，公差為4的等差數(shù)列．由a2+a1=1，a1=2，得a2=﹣1．所以an=（k∈Z）．①當n為奇數(shù)時，an=2n，an+1=2n﹣3．Sn=a1+a2+a3+…+an=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣2+an﹣1）+an=1+9+…+（4n﹣11）+2n=+2n=．②當n為偶數(shù)時，Sn=a1+a2+a3+…+an=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）═1+9+…+（4n﹣7）=．所以Sn=（k∈Z）．（3）由（2）知，an=（k∈Z）．①當n為奇數(shù)時，an=2n﹣2+a1，an+1=2n﹣1﹣a1．由≥5，得a12﹣a1≥﹣4n2+16n﹣10．令f（n）=﹣4n2+16n﹣10=﹣4（n﹣2）2+6．當n=1或n=3時，f（n）max=2，所以a12﹣a1≥2．解得a1≥2或a1≤﹣1．②當n為偶數(shù)時，an=2n﹣3﹣a1，an+1=2n+a1．由≥5，得a12+3a1≥﹣4n2+16n﹣12．令g（n）=﹣4n2+16n﹣12=﹣4（n﹣2）2+4．當n=2時，g（n）max=4，所以a12+3a1≥4．解得a1≥1或a1≤﹣4．綜上所述，a1的取值范圍是（﹣∞，﹣4]∪[2，+∞）．點評：本小題主要考察等差數(shù)列的通項公式、等差數(shù)列的前n項和、不等式的解法、數(shù)列與不等式的綜合等根底知識，考察運算求解能力，考察化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于壓軸題．三、附加題（共4小題，總分值0分）21．已知矩陣A=，向量=．求向量，使得A2a=b．考點：矩陣與向量乘法的意義．專題：計算題；矩陣和變換．分析：先計算A2==，再利用矩陣的乘法求向量．解答： 解：∵矩陣A=，∴A2==，設(shè)=，由A2=得=，即，解得，所以=．點評：此題考察矩陣與向量乘法的意義，考察學(xué)生的計算能力，比擬根底．22．選修4﹣4：坐標系與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是（θ是參數(shù)），假設(shè)以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸，取與直角坐標系中相同的單位長度，建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程．考點：簡單曲線的極坐標方程；圓的參數(shù)方程．專題：計算題．分析：先求出曲線C的普通方程，再利用x=ρcosθ，y=ρsinθ代換求得極坐標方程．解答： 解：由得，兩式平方后相加得x2+（y﹣1）2=1，…∴曲線C是以（0，1）為圓心，半徑等于的圓．令x=ρcosθ，y=ρsinθ，代入并整理得ρ=2sinθ．即曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ．…點評：此題主要考察極坐標方程、參數(shù)方程及直角坐標方程的轉(zhuǎn)化．普通方程化為極坐標方程關(guān)鍵是利用公式x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ=．23．如圖（1），等腰直角三角形ABC的底邊AB=4，點D在線段AC上，DE⊥AB