2021高考數(shù)學(xué)人教版一輪復(fù)習(xí)多維層次練：第四章+第7節(jié)+解三角形的綜合應(yīng)用+Word版含解析

/多維層次練27[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．若點(diǎn)A在點(diǎn)C的北偏東30°，點(diǎn)B在點(diǎn)C的南偏東60°，且AC＝BC，則點(diǎn)A在點(diǎn)B的()A．北偏東15° B．北偏西15°C．北偏東10° D．北偏西10°解析：如圖所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC，所以∠CBA＝45°，而β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以點(diǎn)A在點(diǎn)B的北偏西15°.答案：B2．如圖所示，為了測(cè)量某湖泊兩側(cè)A，B間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與A，B不共線的一點(diǎn)C(△ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別記為a，b，c)，然后給出了三種測(cè)量方案：①測(cè)量A，C，b；②測(cè)量a，b，C；③測(cè)量A，B，a.則一定能確定A，B間的距離的所有方案的序號(hào)為()A．①② B．②③C．①③ D．①②③解析：對(duì)于①③可以利用正弦定理確定唯一的A，B兩點(diǎn)間的距離，對(duì)于②直接利用余弦定理即可確定A，B兩點(diǎn)間的距離．答案：D3．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時(shí)40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，30分鐘后到達(dá)B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點(diǎn)間的距離是()A．10eq\r(2)海里 B．10eq\r(3)海里C．20eq\r(3)海里 D．20eq\r(2)海里解析：如圖所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°，根據(jù)正弦定理得eq\f(BC,sin30°)＝eq\f(AB,sin45°)，解得BC＝10eq\r(2)(海里)．答案：A4．如圖，兩座相距60m的建筑物AB，CD的高度分別為20m，50m，BD為水平面，則從建筑物AB的頂端A看建筑物CD的張角為()A．30° B．45°C．60° D．75°解析：依題意可得AD＝20eq\r(10)m，AC＝30eq\r(5)m，又CD＝50m，所以在△ACD中，由余弦定理得cos∠CAD＝eq\f(AC2＋AD2－CD2,2AC·AD)＝eq\f(（30\r(5)）2＋（20\r(10)）2－502,2×30\r(5)×20\r(10))＝eq\f(6000,6000\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又0°＜∠CAD＜180°，所以∠CAD＝45°，所以從頂端A看建筑物CD的張角為45°.答案：B5．某氣象儀器研究所按以下方案測(cè)試一種“彈射型”氣象觀測(cè)儀器的垂直彈射高度：在C處(點(diǎn)C在水平地面下方，O為CH與水平地面ABO的交點(diǎn))進(jìn)行該儀器的垂直彈射，水平地面上兩個(gè)觀察點(diǎn)A，B兩地相距100m，∠BAC＝60°，其中A到C的距離比B到C的距離遠(yuǎn)40m．A地測(cè)得該儀器在C處的俯角為∠OAC＝15°，A地測(cè)得最高點(diǎn)H的仰角為∠HAO＝30°，則該儀器的垂直彈射高度CH為()A．210(eq\r(6)＋eq\r(2))m B．140eq\r(6)mC．210eq\r(2)m D．20(eq\r(6)－eq\r(2))m解析：由題意，設(shè)AC＝xm，則BC＝(x－40)m，在△ABC內(nèi)，由余弦定理得，BC2＝BA2＋CA2－2BA·CA·cos∠BAC，即(x－40)2＝x2＋10000－100x，解得x＝420.在△ACH中，AC＝420m，∠CAH＝30°＋15°＝45°，∠CHA＝90°－30°＝60°，由正弦定理，eq\f(CH,sin∠CAH)＝eq\f(AC,sin∠AHC)，可得CH＝AC·eq\f(sin∠CAH,sin∠AHC)＝140eq\r(6)(m)．答案：B6．在△ABC中，角A，B，C成等差數(shù)列，且對(duì)邊分別為a，b，c，若eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝20，b＝7，則△ABC的內(nèi)切圓的半徑為()A.eq\r(3) B.eq\f(7\r(3),3)C．2 D．3解析：因?yàn)榻茿，B，C成等差數(shù)列，所以2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，所以B＝eq\f(π,3).因?yàn)閑q\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝accosB＝20，所以ac＝40.所以S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝10eq\r(3).由余弦定理得cosB＝eq\f(（a＋c）2－2ac－b2,2ac)＝eq\f(（a＋c）2－80－49,80)＝eq\f(1,2)，所以a＋c＝13，設(shè)△ABC的內(nèi)切圓的半徑為r，則S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r＝10r，所以10eq\r(3)＝10r，解得r＝eq\r(3).答案：A7．江岸邊有一炮臺(tái)高30m，江中有兩艘船，船與炮臺(tái)底部在同一水平面上，由炮臺(tái)頂部測(cè)得俯角分別為45°和60°，而且兩艘船與炮臺(tái)底部連線成30°角，則兩艘船相距________m.解析：由題意畫(huà)示意圖，如圖所示，OM＝AOtan45°＝30(m)，ON＝AOtan30°＝eq\f(\r(3),3)×30＝10eq\r(3)(m)，在△MON中，由余弦定理得MN＝eq\r(900＋300－2×30×10\r(3)×\f(\r(3),2))＝eq\r(300)＝10eq\r(3)(m)．答案：10eq\r(3)8．一船向正北航行，看見(jiàn)正西方向相距10海里的兩個(gè)燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見(jiàn)一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船行駛的速度是每小時(shí)________海里．解析：如圖所示，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10，在Rt△ABC中，得AB＝5，于是這艘船的速度是eq\f(5,0.5)＝10(海里/時(shí))．答案：109．(2020·福州模擬)如圖所示，在△ABC中，已知點(diǎn)D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，則BD的長(zhǎng)為_(kāi)_______．解析：因?yàn)閟in∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，且AD⊥AC，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋∠BAD))＝eq\f(2\r(2),3)，所以cos∠BAD＝eq\f(2\r(2),3)，在△BAD中，由余弦定理，得BD＝eq\r(AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD)＝eq\r(（3\r(2)）2＋32－2×3\r(2)×3×\f(2\r(2),3))＝eq\r(3).答案：eq\r(3)10．如圖所示，航空測(cè)量組的飛機(jī)航線和山頂在同一鉛直平面內(nèi)，已知飛機(jī)的飛行高度為10000m，速度為50m/s，某一時(shí)刻飛機(jī)看山頂?shù)母┙菫?5°，經(jīng)過(guò)420s后看山頂?shù)母┙菫?5°，則山頂?shù)暮０胃叨葹槎嗌倜祝?取eq\r(2)＝1.4，eq\r(3)＝1.7)解：如圖，作CD垂直于直線AB于點(diǎn)D，因?yàn)椤螦＝15°，∠DBC＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，由正弦定理得，eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AB,sin∠ACB)，AB＝50×420＝21000.所以BC＝eq\f(21000,\f(1,2))×sin15°＝10500(eq\r(6)－eq\r(2))．因?yàn)镃D⊥AD，所以CD＝BC·sin∠DBC＝10500×(eq\r(6)－eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝10500×(eq\r(3)－1)＝7350.故山頂?shù)暮０胃叨葹閔＝10000－7350＝2650m.[B級(jí)能力提升]11．(2020·廣州模擬)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，已知eq\f(b,c)cosC＋eq\f(b,a)cosA＝1，則cosB的取值范圍為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析：因?yàn)閑q\f(b,c)cosC＋eq\f(b,a)cosA＝1，所以由余弦定理可得eq\f(b,c)·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋eq\f(b,a)·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝1，化簡(jiǎn)可得b2＝ac，則cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋c2－ac,2ac)≥eq\f(2ac－ac,2ac)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時(shí)，取“＝”．所以eq\f(1,2)≤cosB<1.答案：D12．如圖所示，據(jù)氣象部門(mén)預(yù)報(bào)，在距離某碼頭南偏東45°方向600km處的熱帶風(fēng)暴中心正以20km/h的速度向正北方向移動(dòng)，距風(fēng)暴中心450km以內(nèi)的地區(qū)都將受到影響，則該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為_(kāi)_______h.解析：記現(xiàn)在熱帶風(fēng)暴中心的位置為點(diǎn)A，t小時(shí)后熱帶風(fēng)暴中心到達(dá)B點(diǎn)位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°，根據(jù)余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×600×20t×eq\f(\r(2),2)，令OB2≤4502，即4t2－120eq\r(2)t＋1575≤0，解得eq\f(30\r(2)－15,2)≤t≤eq\f(30\r(2)＋15,2)，所以該碼頭將受到熱帶風(fēng)暴影響的時(shí)間為eq\f(30\r(2)＋15,2)－eq\f(30\r(2)－15,2)＝15(h)．答案：1513.如圖所示，在四邊形ABCD中，∠DAB＝eq\f(π,3)，AD∶AB＝2∶3，BD＝eq\r(7)，AB⊥BC.(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD＝eq\f(2π,3)，求CD的長(zhǎng)．解：(1)因?yàn)锳D∶AB＝2∶3，所以可設(shè)AD＝2k，AB＝3k.又BD＝eq\r(7)，∠DAB＝eq\f(π,3)，在△ABD中，由余弦定理得(eq\r(7))2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2kcoseq\f(π,3)，解得k＝1，所以AD＝2，AB＝3，sin∠ABD＝eq\f(ADsin∠DAB,BD)＝eq\f(2×\f(\r(3),2),\r(7))＝eq\f(\r(21),7).(2)因?yàn)锳B⊥BC，所以cos∠DBC＝sin∠ABD＝eq\f(\r(21),7)，所以sin∠DBC＝eq\f(2\r(7),7)，所以eq\f(BD,sin∠BCD)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，所以CD＝eq\f(BDsin∠DBC,sin∠BCD)＝eq\f(\r(7)×\f(2\r(7),7),\f(\r(3),2))＝eq\f(4\r(3),3).[C級(jí)素養(yǎng)升華]14.如圖所示，在水平地面上有兩座直立的相距60m的鐵塔AA1和BB1.已知從塔AA1的底部看塔BB1頂部的仰角是從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的2倍，從兩塔底連線中點(diǎn)C分別看兩塔頂部的仰角互為余角，則從塔BB1的底部看塔AA1頂部的仰角的正切值為_(kāi)__