數(shù)學(xué)建模及典型案例分析課件

3微分方程建模方法當(dāng)事物的某些特性隨時(shí)間或空間而演變時(shí)，我們通常建立微分方程模型來描述它的變化過程，以分析它的變化規(guī)律、預(yù)測它的未來性態(tài)。3微分方程建模方法當(dāng)事物的某些特性隨時(shí)間或空間而演變時(shí)，我微分方程建模思想和方法凈變化率輸入率輸出率守恒原理微分方程建模思想和方法凈變化率輸入率輸出率守恒原理例1死亡時(shí)間的確定在凌晨1時(shí)警察發(fā)現(xiàn)一具尸體，測得尸體溫度是29oC,當(dāng)時(shí)環(huán)境的溫度是21oC.1小時(shí)后尸體溫度下降到27oC,試估計(jì)死者的死亡時(shí)間.例1死亡時(shí)間的確定在凌晨1時(shí)警察發(fā)現(xiàn)一具尸體，測得尸體溫度模型假設(shè)設(shè)環(huán)境的溫度為常數(shù)TE,人體正常溫度為TP.t時(shí)刻尸體的溫度為T(t).t1時(shí)刻測量時(shí)尸體溫度為T1,t2測量溫度為T2.模型假設(shè)根據(jù)熱傳導(dǎo)定律：熱量總是由高溫的物體傳向低溫物體.單位時(shí)間的熱傳導(dǎo)量與溫差成正比.有模型建立根據(jù)熱傳導(dǎo)定律：模型建立令得到微分方程模型令得到微分方程模型模型求解這是一個(gè)比較簡單的微分方程方程模型,可以求得其通解為其中C,k’為參數(shù),可通過測量數(shù)據(jù)確定其值.模型求解這是一個(gè)比較簡單的微分方程方程模型,可以求得其通解由假設(shè)1,3有T(0)=Tp,T(t2)=T2,即解得由假設(shè)1,3有T(0)=Tp,T(t2)=T2,即又由t2=t1+1,有其中TE=21,TP=37,T1=29,T2=27又由t2=t1+1,有TE=21,TP=37,T1=2進(jìn)一步討論如果只測量一次尸體的溫度,你能估計(jì)出死亡的時(shí)間嗎?進(jìn)一步討論如果只測量一次尸體的溫度,你能估計(jì)出死亡的時(shí)間嗎例2湖水污染濃度有一個(gè)小湖,水容量為2000m3,分別有一入水口和出水口,水流量都為0.1m3/s.在上午11:05時(shí),因交通事故一個(gè)盛有毒性化學(xué)物質(zhì)Z的容器傾翻,在入口處注入湖中.于11:35時(shí)事故得到控制,但已有數(shù)量不詳?shù)幕瘜W(xué)物質(zhì)瀉入湖中,初步估計(jì)為5~20m3.建立一個(gè)模型,估計(jì)湖水污染程度隨時(shí)間的變化規(guī)律,并估計(jì)湖水何時(shí)到達(dá)污染高峰;何時(shí)污染程序可降至安全水平(<0.05%)入水口出水口例2湖水污染濃度有一個(gè)小湖,水容量為2000m3,分別假設(shè)湖水中Z的濃度是均勻的,t時(shí)刻為c(t).湖水總?cè)萘繛槌Ａ縑.物質(zhì)Z以均速瀉入湖中,總量為z,所用時(shí)長為T.入口與出口的水流速度均為r.安全水平為Z的濃度小于k.假設(shè)湖水中Z的濃度是均勻的,t時(shí)刻為c(t).根據(jù)以上假設(shè)，有令Δt→0得根據(jù)以上假設(shè)，有求解得到利用初始條件c(0)=0和c(t)的連續(xù)性有求解得到這樣就可以得到物質(zhì)Z在時(shí)刻t的濃度為

c(t)在[0,T]內(nèi)是增函數(shù),在[T,∞)內(nèi)是減函數(shù),且c(t)是連續(xù)的,所以c(t)的最大值為為求何時(shí)能達(dá)到安全水平,當(dāng)t>T時(shí)令c(t)<k,解得這樣就可以得到物質(zhì)Z在時(shí)刻t的濃度為例3池水有一定體積的鹽水，從池的一端注入一定濃度的鹽水。混合的鹽水從另一端流出。試建立數(shù)學(xué)模型來描述池中鹽水濃度的動(dòng)態(tài)過程。例3池水有一定體積的鹽水，從池的一端注入一定濃度的鹽水。模型假設(shè)注入池中的鹽水迅速與池中鹽水均勻地混合，從而改變了池中的鹽水濃度。鹽水注入的速度為r1(t),濃度為p1(t).鹽水流出的速度為r2(t),濃度為p2(t).池中鹽水總體積為V(t),濃度為p(t).其中t為時(shí)間.V0=V(0)，p0=p(0).模型假設(shè)注入池中的鹽水迅速與池中鹽水均勻地混合，從而改變了池模型建立考慮在一段較短時(shí)間Δt內(nèi),池中鹽量的變化，有由積分中值定理，存在ξ∈(t,t+Δt),使得兩邊除以Δt,并令Δt→0,得模型建立考慮在一段較短時(shí)間Δt內(nèi),池中鹽量的變化，下面討論池中鹽水體積的變化。由積分中值定理，存在η∈(t,t+Δt),使得于是有下面討論池中鹽水體積的變化。所以微分方程模型因?yàn)槠渲兴晕⒎址匠棠Ｐ鸵驗(yàn)槠渲腥魊1(t)=r1,r2(t)=r2,p1(t)=p1為常量，則有其中再利用p(0)=p0,解得若r1(t)=r1,r2(t)=r2,p1(t)=p1為常取r1=1,r2=1/2,p0=0,V0=10,p1=5,得到的解的圖像如下取r1=1,r2=1/2,p0=0,V0=10,p1例4最優(yōu)捕魚策略為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源(如漁業(yè)，林業(yè)資源)的開發(fā)必須適度。一種合理、簡化的策略是，在實(shí)現(xiàn)可持續(xù)收獲的前提下，追求最大產(chǎn)量或最佳效益?？紤]對鳀魚的最優(yōu)捕撈策略：假設(shè)這種魚分4個(gè)年齡組，稱為1齡魚，2齡魚，3齡魚，4齡魚。各年齡組每條魚的平均重量分別為5.07，11.55，17.86，22.99(克)，各年齡組的自然死亡率為0.8(/年)，這種魚為季節(jié)性集中產(chǎn)卵繁殖，平均每條4齡魚的產(chǎn)卵量為1.109×105(個(gè))，3齡魚的產(chǎn)卵量為這個(gè)數(shù)的一半，2齡和1齡魚不產(chǎn)卵，產(chǎn)卵和孵化期為每年的最后4個(gè)月，卵孵化并成活為1齡魚，成活率(1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵量n之比)為1.22×1011/(1.22×1011+n)。漁業(yè)管理部門規(guī)定，每年只允許在產(chǎn)卵孵化期前的8個(gè)月進(jìn)行捕撈作業(yè)。如果每年投入的捕撈能力(如漁船數(shù)，下網(wǎng)次數(shù)等)固定不變，這時(shí)單位時(shí)間捕撈量將與各年齡組魚群條數(shù)成正比，比例系數(shù)不妨稱捕撈強(qiáng)度系數(shù)。通常使用13mm網(wǎng)眼的拉網(wǎng)，這種網(wǎng)只能捕撈3齡魚和4齡魚，其兩個(gè)捕撈強(qiáng)度系數(shù)之比為0.42:1。漁業(yè)上稱這種方式為固定努力量捕撈。請建立數(shù)學(xué)模型分析如何實(shí)現(xiàn)可持續(xù)捕撈(即每年開始捕撈時(shí)漁場中各年齡組魚群條數(shù)不變)，并且在此前提下得到最高的年收獲量(捕撈總重量)。例4最優(yōu)捕魚策略為了保護(hù)人類賴以生存的自然環(huán)境，可再生資源假設(shè)魚群總量的增加雖然是離散的,但對大規(guī)模魚群而言,我們可以假設(shè)魚群總量的變化隨時(shí)間是連續(xù)的,設(shè)t時(shí)刻i齡魚的數(shù)目為xi(t),時(shí)間以年為單位.假設(shè)鳀魚每年只在8月份產(chǎn)生卵,12月底孵化完成.每只4齡魚每年的產(chǎn)卵量為N,每只3齡魚每年的產(chǎn)卵量為N/2.卵的成活率(1齡魚條數(shù)與產(chǎn)卵量n之比)為r.

i齡魚到來年分別長一歲成為i+1齡魚,i=1,2,3.

i齡魚的重量為gi.對i齡魚捕撈強(qiáng)度系數(shù)為ki.魚群的自然死亡率為常數(shù)d.4齡魚在年末留存的數(shù)量占全部數(shù)量的比例相對很小，可不予考慮。連續(xù)捕獲使各年齡組的魚群數(shù)量呈周期性變化,周期為1年,可以只考慮魚群數(shù)量在1年內(nèi)的變化情況.假設(shè)魚群總量的增加雖然是離散的,但對大規(guī)模魚群而言,我們模型建立考慮在[t,t+Δt]時(shí)間內(nèi)(未跨年)i齡魚的數(shù)量變化.魚群數(shù)量的變化是由于自然死亡和被捕撈而導(dǎo)致的，所以有令Δt→0,得到模型建立考慮在[t,t+Δt]時(shí)間內(nèi)(未跨年)i齡魚的數(shù)量變模型求解求解得到其中i=1,2,3,4.如何求xi(0)?模型求解求解得到因?yàn)槊磕昴﹊齡魚到下一年初時(shí)會變?yōu)閕+1齡魚，所以即因?yàn)槊磕昴﹊齡魚到下一年初時(shí)會變?yōu)閕+1齡魚，所以又由每年產(chǎn)卵總量又由每年產(chǎn)卵總量又因?yàn)槊磕瓿?齡魚的數(shù)量為其中q=1.22×1011.求解可得又因?yàn)槊磕瓿?齡魚的數(shù)量為于是有于是有捕撈量為再利用k3=0.42k4,捕撈量就是關(guān)于k4的一元函數(shù).通過求其極大值可得到最大捕撈量.當(dāng)N=1.109×105,g3=1