湖北省孝感市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期9月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（Word版含答案）

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數(shù)學(xué)

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.

1．已知集合，則（）

A．B．C．D．

2．定義行列式，若行列式，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）

A．B．

C．D．

3．十六世紀(jì)中葉，英國(guó)數(shù)學(xué)家雷科德在《礪智石》一書(shū)中首先把“”作為等號(hào)使用，后來(lái)英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特首次使用“”和“”符號(hào)，并逐步被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn)．若，則下列命題正確的是（）

A．若，則B．若，則

C．若，則D．若，則

4．已知關(guān)于x的方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.若滿足，則實(shí)數(shù)k的取值為（）

A．或6B．6C．D．

5．“”是“不等式對(duì)任意的恒成立”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

6．關(guān)于實(shí)數(shù)的一元二次不等式的解集為，則不等式的解集為（）

A．B．

C．D．

7．已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)與，其中，方程的兩根為，則下列判斷正確的是（）

A．B．

C．D．

8．已知，，，則的最小值為（）

A．4B．

C．D．

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．

9．圖中陰影部分用集合符號(hào)可以表示為（）

A．B．

C．D．

10．下列結(jié)論正確的是（）

A．“”是“”的充分不必要條件

B．“”是“”的必要不充分條件

C．“，有”的否定是“，使”

D．“是方程的實(shí)數(shù)根”的充要條件是“”

11．已知，，下列命題中正確的是（）

A．若，則

B．若，則

C．若，則

D．若，則

12．設(shè)為兩個(gè)正數(shù)，定義的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，則有：，這是我們熟知的基本不等式.上個(gè)世紀(jì)五十年代，米國(guó)數(shù)學(xué)家D.H.Lehmer提出了“Lehmer均值”，即，其中為有理數(shù).下列關(guān)系正確的是（）

A．B．

C．D．

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13．設(shè)集合，，已知且，則的取值集合為．

14．已知，則“”是“”的條件（從“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“不充分不必要”中選擇一個(gè)作答）．

15．已知集合有整數(shù)解，非空集合滿足條件：（1），（2）若，則，則所有這樣的集合的個(gè)數(shù)為．

16．若不等式對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x、y成立，則k的取值范圍為．

四、解答題：本大題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.

17．設(shè)，解關(guān)于的不等式：．

18．已知非空集合，．

（1）若，求；

（2）若“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

19．已知關(guān)于的一元二次方程.

（1）若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求的取值范圍；

（2）若方程兩根之差的絕對(duì)值為，試求的值；

（3）若方程兩不等實(shí)根都小于5，試求的取值范圍.

20．科技創(chuàng)新是企業(yè)發(fā)展的源動(dòng)力，是一個(gè)企業(yè)能夠?qū)崿F(xiàn)健康持續(xù)發(fā)展的重要基礎(chǔ)．某科技企業(yè)最新研發(fā)了一款大型電子設(shè)備，并投入生產(chǎn)應(yīng)用．經(jīng)調(diào)研，該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備獲得的月利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）與投入的月研發(fā)經(jīng)費(fèi)（，單位：萬(wàn)元）有關(guān)：當(dāng)投入的月研發(fā)經(jīng)費(fèi)不高于36萬(wàn)元時(shí)，；當(dāng)投入月研發(fā)經(jīng)費(fèi)高于36萬(wàn)元時(shí)，．對(duì)于企業(yè)而言，研發(fā)利潤(rùn)率，是優(yōu)化企業(yè)管理的重要依據(jù)之一，越大，研發(fā)利潤(rùn)率越高，反之越?。?/p>

（1）求該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備的研發(fā)利潤(rùn)率的最大值以及相應(yīng)月研發(fā)經(jīng)費(fèi)的值；

（2）若該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備的研發(fā)利潤(rùn)率不低于190%，求月研發(fā)經(jīng)費(fèi)的取值范圍．

21．設(shè)A是正整數(shù)集的非空子集，稱(chēng)集合，且為集合A的生成集．

（1）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出集合A的生成集B；

（2）若A是由5個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值；

（3）判斷是否存在4個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集，并說(shuō)明理由．

22．（1）已知求函數(shù)最小值，并求出最小值時(shí)的值；

（2）問(wèn)題：正數(shù)滿足，求的最小值.其中一種解法是：，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，即且時(shí)取等號(hào).學(xué)習(xí)上述解法并解決下列問(wèn)題：

若實(shí)數(shù)滿足，試比較和的大小，并指明等號(hào)成立的條件；

（3）利用（2）的結(jié)論，求的最小值，并求出使得最小的的值.孝感市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期9月調(diào)研考試

數(shù)學(xué)參考答案

題號(hào)123456789101112

答案CABCADCDADACDACDAC

13.14.充要15.3116.

7．C【詳解】由題意可知方程的兩根為，

即的兩根為，則可轉(zhuǎn)化為圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)問(wèn)題，兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，

當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)的圖象如圖示：

函數(shù)與拋物線的交點(diǎn)如圖示，則；

當(dāng)時(shí)，不妨設(shè)的圖象如圖示：

函數(shù)與拋物線的交點(diǎn)如圖示，則；

綜合上述，可知，

故選：C

8．D【詳解】因?yàn)?，，?/p>

所以原式，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故選：D.

11．ACD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以A正確，

對(duì)于B，因?yàn)?，所以?/p>

所以

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號(hào)，所以B錯(cuò)誤，

對(duì)于C，由，，，由柯西不等式得

，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以C正確，

對(duì)于D，由，得，

化簡(jiǎn)得，所以，因?yàn)?，，所以?/p>

所以，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，所以D正確，故選：ACD

12．AC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；

對(duì)于B選項(xiàng)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C選項(xiàng)，，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；

對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由C可知，，故D錯(cuò)誤.故選：AC.

15．【詳解】因?yàn)榈恼麛?shù)解只能是36的約數(shù)，

當(dāng)方程的解為，36時(shí)，；當(dāng)方程的解為，18時(shí)，；

當(dāng)方程的解為，12時(shí)，；當(dāng)方程的解為，9時(shí)，；

當(dāng)方程的解為，6時(shí)，；當(dāng)方程的解為1，時(shí)，；

當(dāng)方程的解為2，時(shí)，；當(dāng)方程的解為，時(shí)，；

當(dāng)方程的解為，時(shí)，；

故集合

由非空集合滿足條件：（1），（2）若，則，

即集合中互為相反數(shù)的兩個(gè)元素同屬于集合或同不屬于集合，

得這樣的集合共有個(gè)，

故答案為：.

16．【詳解】易知，，．

令，分式上下同除y，則，則即可，

令，則．可轉(zhuǎn)化為：，

于是，．∴，即時(shí)，不等式恒成立（當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）．

故答案為：

17．【詳解】解：由可得.

（1）當(dāng)時(shí)，原不等式即為，解得；

（2）當(dāng)時(shí)，解方程可得或.

①當(dāng)時(shí)，，解原不等式可得或

②當(dāng)時(shí)，則，解原不等式可得；

③當(dāng)時(shí)，原不等式即為，解得；

④當(dāng)時(shí)，，解原不等式可得.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為；

當(dāng)時(shí)，原不等式的解集為.

18．(1)(2)

【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，

則或,；

（2）是非空集合，“”是“”的充分不必要條件，則是Q的真子集，

所以且與不同時(shí)成立，解得，

故a的取值范圍是.

19．(1)或；(2)或；(3)或.

【詳解】（1）由題設(shè)，所以或.

（2）若方程兩根為，則，且，，

所以，即，

所以或，經(jīng)檢驗(yàn)滿足，故或.

（3）若，則，可得或.

20．（1）30萬(wàn)元，最大值200%；（2）.

【詳解】（1）由已知，當(dāng)時(shí)，．

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)；

當(dāng)時(shí)，．

因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以．

因?yàn)?，所以?dāng)月研發(fā)經(jīng)費(fèi)為30萬(wàn)元時(shí)，研發(fā)利潤(rùn)率取得最大值200%．

（2）若該企業(yè)生產(chǎn)此設(shè)備的研發(fā)利潤(rùn)率不低于190%，

由（1）可知，此時(shí)月研發(fā)經(jīng)費(fèi)．

于是，令，整理得，解得．

因此，當(dāng)研發(fā)利潤(rùn)率不小于190%時(shí)，月研發(fā)經(jīng)費(fèi)的取值范圍是．

21．(1)；(2)4；(3)不存在，理由見(jiàn)解析.

【詳解】（1）因?yàn)?，所以，所以?/p>

（2）設(shè)，不妨設(shè)，

因?yàn)?，所以中元素個(gè)數(shù)大于等于4個(gè)，

又，則，此時(shí)中元素個(gè)數(shù)等于4個(gè)，

所以生成集B中元素個(gè)數(shù)的最小值為4；

（3）不存在，理由如下：

假設(shè)存在4個(gè)正整數(shù)構(gòu)成的集合，使其生成集，

不妨設(shè)，則集合A的生成集由組成，

又，所以，

若，又，則，故，

若，又，則，故，

所以，又，則，而，

所以不成立，

所以假設(shè)不成立，故不存在4個(gè)正整數(shù)構(gòu)成