3.4基本不等式(最值問題)市公開課獲獎課件省名師優(yōu)質課賽課一等獎課件

基本不等式1/33ab1、正方形ABCD面積S=＿＿＿＿＿２、四個直角三角形面積和S’

=＿＿３、S與S’有什么樣不等關系？

探究１：S>S′即問：那么它們有相等情況嗎？>(a≠b)2/333/33ADBCEFGHba猜測：普通地，對于任意實數(shù)a、b，我們有當且僅當a=b時，等號成立。ABCDE(FGH)ab>(a≠b)(a＝b)＝4/33思索：你能給出不等式證實嗎？證實：（作差法）5/33主要不等式：普通地，對于任意實數(shù)a、b，總有當且僅當a=b時，等號成立文字敘述為:兩數(shù)平方和大于它們積2倍.適用范圍：a,b∈R問題一6/33問題一替換后得到：即：即：你能用不等式性質直接推導這個不等式嗎？問題二7/33證實：要證只要證①要證①，只要證②要證②，只要證③顯然,③是成立.當且僅當a=b時,③中等號成立.分析法問題二證實不等式：8/33尤其地，若a>0，b>0，則≥通常我們把上式寫作：當且僅當a=b時取等號，這個不等式就叫做基本不等式.基本不等式在數(shù)學中，我們把叫做正數(shù)a，b算術平均數(shù)，叫做正數(shù)a，b幾何平均數(shù)；文字敘述為：兩個正數(shù)算術平均數(shù)大于它們幾何平均數(shù).適用范圍：a>0,b>09/33你能用這個圖得出基本不等式幾何解釋嗎?問題三Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如圖,AB是圓直徑,O為圓心，點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB弦DE,連接AD、BD、OD.②怎樣用a,b表示CD?CD=______①怎樣用a,b表示OD?OD=______10/33你能用這個圖得出基本不等式幾何解釋嗎?問題三②怎樣用a,b表示CD?CD=______①怎樣用a,b表示OD?OD=______③OD與CD大小關系怎樣?OD_____CD＞≥如圖,AB是圓直徑,O為圓心，點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB弦DE,連接AD、BD、OD.幾何意義：半徑大于弦長二分之一ADBEOCab11/33適用范圍文字敘述“=”成立條件a=ba=b兩個正數(shù)算術平均數(shù)大于它們幾何平均數(shù)兩數(shù)平方和大于它們積2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比較：注意從不一樣角度認識基本不等式12/33（1）假如a，b＞0，且ab＝P（定值），那么a+b有最____值______(當且僅當_____時取“=”）.（2）假如a，b＞0，且a＋b＝S

（定值），那么ab有最____值______(當且僅當______時取“=”）.2.利用基本不等式求最值問題：小大利用基本不等式求最值條件：一正、二定、三相等。一．知識關鍵點a=ba=b13/33應用基本不等式求最值條件：

a與b為正實數(shù)若等號成立，a與b必須能夠相等一正二定三相等積定和最小和定積最大（a＞0，b＞0）14/33注意1、兩個不等式適用范圍不一樣;2、普通情況下若“=”存在時，要注明等號成立條件；3、利用主要不等式時，要把一端化為常數(shù)（定值）。一正、二定、三相等15/33（1）把36寫成兩個正數(shù)積，當這兩個正數(shù)取什么值時，它們和最??？（2）把18寫成兩個正數(shù)和，當這兩個正數(shù)取什么值時，它們積最大？ab=36∴當a=b=6時，和a+b最小為12∵∵a+b=18∴當a=b=9時，積ab最大為81不等式是一個基本不等式，它在處理實際問題中有廣泛應用，是處理最大（?。┲祮栴}有力工具?！緫镁毩暋?6/33例題講解結論1：兩個正數(shù)積為定值，則和有最小值17/3318/33二、利用基本不等式求函數(shù)最值19/332、(04重慶）已知則xy最大值是

。練習：1、當x>0時，最小值為

，此時x=

。21

3、若實數(shù)，且，則最小值是（）A、10B、C、D、4、在以下函數(shù)中，最小值為2是（）A、B、C、D、DC20/33例4、求函數(shù)最小值結構積為定值，利用基本不等式求最值思索：求函數(shù)最小值21/33結構和為定值，利用基本不等式求最值例5、已知，求最大值

練習：已知且，則最大值是多少？22/33

例題1

(1)求函數(shù)最小值;(2)已知，求函數(shù)和最大值;23/33思索題1.求函數(shù)

f(x)=x

+

(x＞-1)

最小值.1x+12.若

0<x<,求函數(shù)

y=x(1-2x)

最大值.1224/33題型一分式形函數(shù)最值求法典例剖析25/3326/33配湊系數(shù)分析:

x+(1-2x)

不是

常數(shù).2=1為

解:

∵0<x<,∴1-2x>0.12∴y=x(1-2x)=?2x?(1-2x)12≤

?[]22x+(1-2x)21218=.

當且僅當時,取“=”號.2x=(1-2x),即

x=

14∴當

x=時,

函數(shù)

y=x(1-2x)

最大值是.1418例2.若

0<x<,求函數(shù)

y=x(1-2x)

最大值.1227/33用均值不等式求最值,必須注意“相等”條件.假如取等條件不成立,則不能取到該最值.28/33小結：求最值時注意把握“一正，二定，三相等”已知

x,y

都是正數(shù),P,S

是常數(shù).(1)xy=P

x+y≥2P(當且僅當

x=y時,取“=”號).(2)x+y=S

xy≤S2(當且僅當

x=y時,取“=”號).142.利用基本不等式求最值1.兩個主要不等式29/33

1.已知x>0,y>0,xy=24,求4x+6y最小值，