簡單幾何體的面積與體積

一、選擇題1．一個與球心距離為1的平面截球所得的圓面面積為π，則球的表面積為()A．8eq\r(2)π B．8πC．4eq\r(2)π D．4π[答案]B[解析]球的半徑R＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，∴S＝4πR2＝8π故選B.2．(2022·陜西理，5)某幾何體的三視圖如下圖所示，則它的體積是()A．8－eq\f(2π,3) B．8－eq\f(π,3)C．8－2π D.eq\f(2π,3)[答案]A[解析]本小題考查幾何體的三視圖與體積計算，此幾何體為正方體內(nèi)有一倒置圓錐．∴V＝2×2×2－eq\f(1,3)×π×2＝8－eq\f(2π,3).3．(文)將一個邊長為a的正方體切成27個全等的小正方體，則表面積增加了()A．6a2 B．12a2C．18a2 D．24a2[答案]B[解析]依題意，小正方體的棱長為eq\f(a,3)，所以27個小正方體的表面積總和為27×6×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,3)))2＝18a2，增加了18a2－6a2＝12a2.(理)若一個圓錐的軸截面是等邊三角形，其面積為eq\r(3)，則這個圓錐的全面積為()A．3π B．3eq\r(3)πC．6π D．9π[答案]A[解析]已知正三角形的面積求其邊長，然后利用圓錐的母線，底面半徑與軸截面以及三角形之間的關系，由圓錐的全面積公式可求，如圖，設圓錐軸截面三角形的邊長為a，則eq\f(\r(3),4)a2＝eq\r(3)，∴a2＝4，∴a＝2，∴圓錐的全面積S＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋π·eq\f(a,2)·a＝3π.4．設矩形的邊長分別為a，b(a＞b)，將其按兩種方式卷成高為a和b的圓柱筒，以其為側面的圓柱的體積分別為Va和Vb，則()A．Va＞Vb B．Va＜VbC．Va＝Vb D．Va和Vb的大小不確定[答案]B[解析]由題意，Vb＝π(eq\f(a,2π))2b＝eq\f(1,4π)a2b，Va＝π(eq\f(b,2π))2a＝eq\f(1,4π)b2a，因為a＞b，所以Va＜Vb.5．(2022·新課標文)設長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為()A．3πa2 B．6πa2C．12πa2 D．24πa2[答案]B[解析]本題考查了長方體的外接球的表面積的算法，此題是簡單題，在解決問題時首先考慮借助長方體和球的關系求得球的半徑．由題可知，長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點在同一個球面上，所以球的直徑等于長方體的體對角線的長度，故2R＝eq\r(4a2＋a2＋a2)，解得R＝eq\f(\r(6),2)a，所以球的表面積S＝4πR2＝6πa2，故選B.6．已知三棱錐O—ABC中，OA、OB、OC兩兩垂直，OC＝1，OA＝x，OB＝y(tǒng)，若x＋y＝4，則三棱錐體積的最大值是()\f(1,3) \f(2,3)C．1 \f(4,3)[答案]B[解析]由條件可知V三棱錐O—ABC＝eq\f(1,6)OA·OB·OC＝eq\f(1,6)xy≤eq\f(1,6)(eq\f(x＋y,2))2＝eq\f(2,3)，當x＝y(tǒng)＝2時，取得最大值eq\f(2,3).二、填空題7．(2022·天津文，10)一個幾何體的三視圖如下圖所示(單位：m)，則該幾何體的體積為______m3.[答案]4[解析]本題考查立體幾何中的三視圖．考查同學們識圖的能力，空間想象能力等基本能力．把三視圖轉化為直觀圖是解決問題的關鍵．由三視圖可知，對應的幾何體為上下疊放的兩個直四棱柱，其體積為兩個四棱柱體積之和．V＝V1＋V2＝2＋2＝4.8．(青島二模)若正三棱錐的正視圖與俯視圖如下圖所示(單位：cm)，則它的側視圖的面積為________cm2.[答案]eq\f(3,4)[解析]由該正三棱錐的正視圖和俯視圖可知，其側視圖為一個三角形，它的底邊長等于俯視圖的高即eq\f(\r(3),2)，高等于正視圖的高即eq\r(3)，所以側視圖的面積為S＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)×eq\r(3)＝eq\f(3,4)cm2.三、解答題9．已知四棱柱ABCD—A1B1C1D1的側棱AA1垂直于底面，底面ABCD為直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝AA1＝2，AB＝BC＝1，E，F(xiàn)分別為A1D，CD中點．(1)求證：EF∥平面A1ACC1；(2)求證：CD⊥平面A1ACC1，并求四棱錐D—A1ACC1的體積．[證明](1)連A1C，∵E、F分別為A1D，CD中點，∴EF∥A1C，又∵A1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1∴EF∥平面A1ACC1(2)四邊形ABCD為直角梯形且AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝BC＝1，∴AC＝CD＝eq\r(2)，∴AD2＝AC2＋CD2，∴CD⊥AC，又∵AA1⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥AA1，AA1平面平面A1ACC1，∴CD⊥平面A1ACC1∴CD為四棱錐D—A1ACC1的高，∴V＝eq\f(1,3)SA1ACC1·CD＝eq\f(1,3)·eq\r(2)·2·eq\r(2)＝eq\f(4,3).一、選擇題1．若圓錐軸截面的頂角θ滿足eq\f(π,3)<θ<eq\f(π,2)，則其側面展開圖中心角α滿足()\f(π,4)<α<eq\f(π,3) \f(π,3)<α<eq\f(π,2)\f(π,2)<α<π D．π<α<eq\r(2)π[答案]D[解析]∵θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))∴eq\f(θ,2)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,4)))，∴sinθ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2))).又eq\f(r,l)＝sinθ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，∴其側面展開圖中心角α＝eq\f(r,l)·2π∈(π，eq\r(2)π)．2．(文)某幾何體的三視圖下如下圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積為()A．(16＋π)cm3 B．(16＋3π)cm3C．(20＋4π)cm3 D．(18＋π)cm3[分析]本題考查三視圖、長方體和圓柱體的體積計算，解題的關鍵是根據(jù)三視圖想象出幾何體的直觀圖，再利用體積公式進行求解．[答案]B[解析]由三視圖知，該幾何體的上部分是正四棱柱，下部分是圓柱．正四棱柱的底面邊長為4cm，高為1cm，其體積為16cm3；圓柱的底面半徑為1cm，高為3cm，其體積為3πcm3.所以該幾何體的體積為(16＋3π)cm3.(理)(2022·全國卷Ⅰ理)已知在半徑為2的球面上有A、B、C、D四點，若AB＝CD＝2.則四面體ABCD的體積的最大值為()\f(2\r(3),3) \f(4\r(3),3)C．2eq\r(3) \f(8\r(3),3)[答案]B[解析]過CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD，交AB于P，設點P到CD的距離為h，則有V四面體ABCD＝eq\f(1,3)×2×eq\f(1,2)×2×h＝eq\f(2,3)h，當直徑通過AB與CD的中點時，hmax＝2eq\r(22－12)＝2eq\r(3)，故Vmax＝eq\f(4\r(3),3).二、填空題3．(文)(2022·新課標理，15)已知矩形ABCD的頂點都在半徑為4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2eq\r(3)，則棱錐O－ABCD的體積為________．[答案]8eq\r(3)[解析]本題主要考查球的幾何性質以及錐體的體積公式．依題意，矩形的對角線AC＝4eq\r(3)，∴球心O到平面ABCD的距離為d＝2.∴V棱錐O－ABCD＝eq\f(1,3)×d×|AB|×|BC|＝eq\f(1,3)×2×6×2eq\r(3)＝8eq\r(3).(理)(2022·新課標文，16)已知兩個圓錐有公共底面，且兩圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上．若圓錐底面面積是這個球面面積的eq\f(3,16)，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為________．[答案]eq\f(1,3)[解析]設圓錐底面圓半徑為r，球的半徑為R，則由πr2＝eq\f(3,16)×4πR2，知r2＝eq\f(3,4)R2.根據(jù)球的截面的性質可知兩圓錐的高必過球心O，且兩圓錐的頂點以及圓錐與球的交點是球的大圓上的點，因此PB⊥QB.設PO′＝x，QO′＝y(tǒng)，則x＋y＝2R.①又△PO′B∽△BO′Q，知r2＝O′B2＝xy.即xy＝r2＝eq\f(3,4)R2.②由①②及x>y可得x＝eq\f(3,2)R，y＝eq\f(R,2).則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比為eq\f(1,3).[點評]本小題考查球的表面積公式、球的截面的性質、球的大圓的性質以及平面幾何中的三角形相似等知識，考查利用所學知識綜合分析問題的能力、邏輯推理能力及運算求解能力，求解的關鍵是明確過圓錐與球面交點的母線與圓錐的高構成直角三角形及兩圓錐的高過球心，本題對能力要求較高，難度較大．4．(文)一個幾何體的三視圖如下圖所示，則這個幾何體的體積為_____．[答案]eq\f(10,3)[解析]由三視圖知，該幾何體由一個高為1，底面邊長為2的正四棱錐和一個高為2，底面邊長為1的正四棱柱組成，則體積為2×2×1×eq\f(1,3)＋1×1×2＝eq\f(10,3).(理)(2022·湖北理)圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒最上面的球(如下圖所示)，則球的半徑是________cm.[答案]4[解析]設球的半徑為r，根據(jù)題意可得8πr2＋3×eq\f(4,3)πr3＝6πr3，解得r＝4.三、解答題5．(2022·福建文，20)如下圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點E在線段AD上，且CE∥AB.(1)求證：CE⊥平面PAD；(2)若PA＝AB＝1，AD＝3，CD＝eq\r(2)，∠CDA＝45°，求四棱錐P－ABCD的體積．[解析](1)∵PA⊥底面ABCD，CE平面ABCD∴CE⊥PA，又∵AB⊥AD，CE∥AB.∴CE⊥AD.又∵PA∩AD＝A，∴CE⊥平面PAD.(2)由(1)知CE⊥AD.在Rt△ECD中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1.又∵AB＝CE＝1，AB∥CE，所以四邊形ABCE為矩形．∴S四邊形ABCD＝S矩形ABCE＋S△CDE＝AB·AE＋eq\f(1,2)CE·DE＝1×2＋eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(5,2).又PA⊥底面ABCD，PA＝1所以V四棱錐p－ABCD＝eq\f(1,3)S四邊形ABCD×PA＝eq\f(1,3)×eq\f(5,2)×1＝eq\f(5,6).6．已知球的半徑為R，在球內(nèi)作一個內(nèi)接圓柱，這個圓柱底面半徑與高為何值時，它的側面積最大？側面積的最大值是多少？[解析]作軸截面如下圖，令圓柱的高為h，底面半徑為r，側面積為S，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2＋r2＝R2，即h＝2×eq\r(R2－r2)，∴S＝2πrh＝4πr·eq\r(R2－r2)＝4πeq\r(r2·R2－r2)≤4πeq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(r2＋R2－r2,2)))2)＝2πR2，當且僅當r2＝R2－r2時取等號，此時內(nèi)接圓柱底面半徑為eq\f(\r(2),2)R，高為eq\r(2)R，最大側面積等于2πR2.7．(文)如下圖，已知四棱錐P－ABCD的底面為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足為H，PH為四棱錐的高．(1)證明：平面PAC⊥平面PBD；(2)若AB＝eq\r(6)，∠APB＝∠ADB＝60°，求四棱錐P－ABCD的體積．[解析]本題綜合考查立體幾何的知識，其中主要考查面面垂直的判定定理和棱錐的體積公式，在解決時要仔細審核題意，找準入手點進行解決，題目定位于中低檔題，考查處理立體幾何的常規(guī)方法．(1)因為PH是四棱錐P－ABCD的高，所以AC⊥PH.又AC⊥BD，PH，BD都在平面PBD內(nèi)，且PH∩BD＝H，所以AC⊥平面PBD，故平面PAC⊥平面PBD.(2)因為ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，AB＝eq\r(6)，所以HA＝HB＝eq\r(3).因為∠APB＝∠ADB＝60°，所以PA＝PB＝eq\r(6)，HD＝HC＝1，可得PH＝eq\r(3)，等腰梯形ABCD的面積為S＝eq\f(1,2)AC×BD＝2＋eq\r(3).所以四棱錐的體積為V＝eq\f(1,3)×(2＋eq\r(3))×eq\r(3)＝eq\f(3＋2\r(3),3).(理)如下圖，側棱垂直于底面的三棱柱ABC—A1B1C1的底面ABC位于平行四邊形ACDE中，AE＝2，AC＝AA1＝4，∠E＝60°，點B在線段DE上．(1)當點B在何處時，平面A1BC⊥平面A1ABB1；(2)點B在線段DE上運動的過程中，求三棱柱ABC—A1B1C1全面積最小值．[分析]本題屬于立體幾何探究問題，第(1)問解題思路是逆向的推理問題，從結論下手，尋求解題突破口；第(2)問解決的關鍵是將動點轉化為代數(shù)表