江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校高考數(shù)學(xué)第二次聯(lián)考試卷（理科）

2021年江西省重點(diǎn)中學(xué)盟校高考數(shù)學(xué)第二次聯(lián)考試卷（理科）一、選擇題（共12小題）.1．已知集合M＝{x|x≤}，N＝{x|x2≤1}，則（?RM）∩N＝（）A．（，1） B．（，1] C．[，1] D．[，1）2．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為q，若a5＝4（a4﹣a3），則q＝（）A．4 B．3 C．2 D．13．i為虛數(shù)單位，z1＝sin+icos，z2＝cos+isin，則|z1z2|＝（）A．1 B．2 C． D．4．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?β，α∩β＝b，則“a⊥α”是“a⊥b”（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件5．設(shè)，是兩個不共線的平面向量，若＝3﹣2，＝+k，且與共線，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．﹣ B． C．﹣ D．6．設(shè)a＝4，b＝（）﹣，c＝ln7，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b7．在（x﹣）6的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．15 B．﹣15 C．20 D．﹣208．如圖所示的程序框圖，若輸入正整數(shù)n＝5，那么輸出的結(jié)果S＝（）A．13 B．25 C．46 D．849．已知雙曲線﹣＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1作斜率為的直線l交雙曲線右支于點(diǎn)P，若線段PF1的長度正好等于雙曲線的焦距，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2﹣ D．2+10．“一三五七八十臘，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月會變化．”月是歷法中的一種時(shí)間單位，傳統(tǒng)上都是以月相變化的周期作為一個月的長度．在舊石器時(shí)代的早期，人類就已經(jīng)會依據(jù)月相來計(jì)算日子．而星期的概念起源于巴比倫，羅馬皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天為一周，這個制度一直沿用至今，若某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一樣多，則該月3日可能是星期（）A．一或三． B．二或三 C．二或五 D．四或六11．已知函數(shù)f（x）＝，則f（x）在（0，10）上的零點(diǎn)個數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．912．在四面體ABCD中，AB＝2，CD＝4，AC＝AD＝BC＝BD＝4．則四面體ABCD的外接球的表面積為（）A．84π B．96π C．100π D．112π二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．若x，y滿足約束條件，則z＝x+2y的最大值為．14．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，an+12＝Sn+1+Sn+2，則++?+＝．15．已知函數(shù)f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若f（x）在（0，）上恰有2個極值點(diǎn)，則ω的取值范圍為．16．已知拋物線y2＝4x，斜率小于0的直線l交拋物線于A（1，2）、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)Q作與y軸垂直的直線l，交拋物線于點(diǎn)C，若點(diǎn)P滿足2＝，則直線OP的斜率的最大值為．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17題～第21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足（bcosC+ccosB）sinB+bcosA＝0．（1）求A；（2）若c＝2，a＝2，角B的角平分線交邊AC于點(diǎn)D，求BD的長．18．如圖①，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，D為AC上一點(diǎn)，AD＝3，現(xiàn)將△ABC沿BD翻折至圖②所示，使得平面ABD⊥平面BCD．（1）若點(diǎn)E在BC上，滿足DE⊥AB．求證：DE⊥平面ABD；（2）求二面角D﹣AC﹣B的余弦值．19．2021年中國共產(chǎn)黨迎來了建黨100周年，為了銘記建黨歷史、緬懷革命先烈、增強(qiáng)愛國主義情懷，某校組織了黨史知識競賽活動，共有200名同學(xué)參賽，為了解競賽成績的分布情況，將200名同學(xué)的競賽成績按[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]分成7組，繪制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這200名同學(xué)競賽成績的中位數(shù)及競賽成績不低于80分的同學(xué)人數(shù)；（2）現(xiàn)從競賽成績不低于80分的同學(xué)中，采用分層抽樣的方法抽取9人，再從9人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中競賽成績不低于90分的同學(xué)人數(shù)為X，求P（X＝2）；（3）學(xué)校決定對競賽成績不低于80分的同學(xué)中以抽獎的方式進(jìn)行獎勵，其中競賽成績不低于90分的同學(xué)有兩次抽獎機(jī)會，低于90分不低于80分的同學(xué)只有一次抽獎機(jī)會，獎品為黨史書籍，每次抽獎的獎品數(shù)量（單位：本）及對應(yīng)的概率如表：獎品數(shù)量（單位：本）24概率現(xiàn)在從競賽成績不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)選一名同學(xué)，記其獲獎書籍的數(shù)量為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．20．設(shè)橢圓C：+＝1（a＞b＞0），0為原點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)D（0，2），橢圓C的離心率為，且∠OAB＝∠ODA．（1）求橢圓C的方程；（2）不與x軸平行的直線1與橢圓C交于不同點(diǎn)P、Q，已知點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱點(diǎn)為點(diǎn)M，點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)N，且D、M、N三點(diǎn)共線，求證：直線l過定點(diǎn)．21．設(shè)函數(shù)f（x）＝ex+tx2+s（x≥0）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y＝（e﹣1）x﹣．（1）求t，s的值，并證明：f（x）≥x；（2）若?x＞0，a＞﹣1，不等式＞恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．（二）選考題：共10分.請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一一個題目計(jì)分，作答時(shí)，請用2B鉛筆在答題卡.上將所選題號后的方框涂黑.[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線1的極坐標(biāo)方程為2ρcos（θ+）+1＝0．（1）求曲線C的普通方程和l的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)P（0，），直線1交曲線C于M，N兩點(diǎn)，求+的值．[選修45：不等式選講]23．已知函數(shù)f（x）＝|x|，函數(shù)g（x）＝f（x﹣1）﹣f（x﹣a），a＞0．（1）求不等式f（x2﹣1）﹣f（x﹣1）≥x+3的解集；（2）若函數(shù)g（x）的最小值為﹣1，且正實(shí)數(shù)m，n滿足m+n＝a，求+的最大值．參考答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知集合M＝{x|x≤}，N＝{x|x2≤1}，則（?RM）∩N＝（）A．（，1） B．（，1] C．[，1] D．[，1）解：∵集合M＝{x|x≤}，N＝{x|x2≤1}，∴?RM＝（，+∞），N＝[﹣1，1]，則（?RM）∩N＝（，1]．故選：B．2．已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，公比為q，若a5＝4（a4﹣a3），則q＝（）A．4 B．3 C．2 D．1解：由題意，得＝4（﹣），解得q＝2．故選：C．3．i為虛數(shù)單位，z1＝sin+icos，z2＝cos+isin，則|z1z2|＝（）A．1 B．2 C． D．解：∵z1＝sin+icos，z2＝cos+isin，∴，，則|z1z2|＝|z1||z2|＝1×1＝1．故選：A．4．已知a，b是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，且a?β，α∩β＝b，則“a⊥α”是“a⊥b”（）A．充要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件解：①若a⊥α，α∩β＝b，則b?α，∴a⊥b，∴充分性成立，②若a⊥b，則a與α不一定垂直，∴a⊥α是a⊥b的充分不必要條件，故選：B．5．設(shè)，是兩個不共線的平面向量，若＝3﹣2，＝+k，且與共線，則實(shí)數(shù)k的值為（）A．﹣ B． C．﹣ D．解：因?yàn)椋?﹣2，＝+k，且與共線，所以＝，解得k＝﹣，所以實(shí)數(shù)k的值為﹣．故選：C．6．設(shè)a＝4，b＝（）﹣，c＝ln7，則（）A．a(chǎn)＞b＞c B．a(chǎn)＞c＞b C．b＞a＞c D．c＞a＞b解：a＝4＝2，b＝（）﹣＝2，所以a＞b＞2，而c＝ln7＜lne2＝2，所以a＞b＞c．故選：A．7．在（x﹣）6的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)和為0，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為（）A．15 B．﹣15 C．20 D．﹣20解：在（x﹣）6的展開式中，令x＝1，可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為（1﹣aπ）6＝0，∴a＝．則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為?（﹣aπ）3＝﹣20，故選：D．8．如圖所示的程序框圖，若輸入正整數(shù)n＝5，那么輸出的結(jié)果S＝（）A．13 B．25 C．46 D．84解：模擬程序的運(yùn)行，可得S＝2，k＝2，不滿足k＞5；S＝6，k＝3，不滿足k＞5；S＝13，k＝4，不滿足k＞5；S＝25，k＝5，不滿足k＞5；S＝46，k＝6，此時(shí)，滿足k＞5，退出循環(huán)，輸出S的值為46．故選：C．9．已知雙曲線﹣＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1作斜率為的直線l交雙曲線右支于點(diǎn)P，若線段PF1的長度正好等于雙曲線的焦距，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C．2﹣ D．2+解：雙曲線﹣＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1作斜率為的直線l，可得tan∠PF1F2＝，cos∠PFF1F2＝＝，解得e＝2+．故選：D．10．“一三五七八十臘，三十一天永不差；四六九冬三十整，唯有二月會變化．”月是歷法中的一種時(shí)間單位，傳統(tǒng)上都是以月相變化的周期作為一個月的長度．在舊石器時(shí)代的早期，人類就已經(jīng)會依據(jù)月相來計(jì)算日子．而星期的概念起源于巴比倫，羅馬皇帝君士坦丁大帝在公元321年宣布7天為一周，這個制度一直沿用至今，若某年某月星期一比星期三多一天，星期二和星期天一樣多，則該月3日可能是星期（）A．一或三． B．二或三 C．二或五 D．四或六解：若這個月為31天，則該月1日為星期天，符合題意，此時(shí)3日為星期二；若這個月為29天，則該月1日為星期一，符合題意，此時(shí)3日為星期三．故選：B．11．已知函數(shù)f（x）＝，則f（x）在（0，10）上的零點(diǎn)個數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9解：函數(shù)y＝|lnx|與y＝sinx的圖象在（0，1）和[1，3]內(nèi)各有一個交點(diǎn)，根據(jù)周期性可知，在（0，10）內(nèi)共有7個交點(diǎn)，即函數(shù)f（x）在（0，10）上有7個零點(diǎn)．故選：B．12．在四面體ABCD中，AB＝2，CD＝4，AC＝AD＝BC＝BD＝4．則四面體ABCD的外接球的表面積為（）A．84π B．96π C．100π D．112π解：如圖，取CD的中點(diǎn)E，分別延長AE、BE至O2，O1，使得BE＝EO1，AE＝EO2，分別過O1、O2作平面BCD、平面ACD的垂線，交于點(diǎn)O，則O為該四面體的外接球的球心，∵BC＝BD＝4，CD＝，∴BE＝，cos∠CBD＝，sin，則，得EO1＝2．同理可求得AE＝EO2＝2，在△AEB中，由余弦定理求得，故可得，則外接球的半徑．∴該四面體外接球的表面積為4πR2＝112π．故選：D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13．若x，y滿足約束條件，則z＝x+2y的最大值為．解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得A（），由z＝x+2y，得y＝，由圖可知，當(dāng)直線y＝﹣過A時(shí)，直線在y軸上的截距最大，z有最大值為．故答案為：．14．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，an+12＝Sn+1+Sn+2，則++?+＝．解：由a1＝2，an+12＝Sn+1+Sn+2，可得當(dāng)n＝1時(shí)，，解得a2＝﹣2（舍去）或a2＝3；當(dāng)n≥2時(shí)，an2＝Sn+Sn﹣1+2，兩式聯(lián)立可得，即an+1﹣an＝1，驗(yàn)證n＝1時(shí)滿足，故{an}是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，則an＝2+1×（n﹣1）＝n+1．∴，++?+＝＝．故答案為：．15．已知函數(shù)f（x）＝sinωx+cosωx（ω＞0），若f（x）在（0，）上恰有2個極值點(diǎn)，則ω的取值范圍為（，]．解：∵函數(shù)f（x）＝sinωx+cosωx＝2sin（ωx+）（ω＞0），f（x）在（0，）上恰有2個極值點(diǎn)，ωx+∈（，+），∴＜+≤，求得＜ω≤，則ω的取值范圍為（，]，故答案為：（，]．16．已知拋物線y2＝4x，斜率小于0的直線l交拋物線于A（1，2）、B兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)Q作與y軸垂直的直線l，交拋物線于點(diǎn)C，若點(diǎn)P滿足2＝，則直線OP的斜率的最大值為．解：設(shè)直線l為y﹣2＝k（x﹣1），聯(lián)立得，整理得ky2﹣4y+8﹣4k＝0，則2+yB＝，∴yB＝，xB＝，∵Q為AB的中點(diǎn)，∴xQ＝＝，yQ＝＝＝y(tǒng)C＝y(tǒng)P，∴xC＝，∵2＝，∴xP＝3xC﹣2xQ＝，∴kOP＝＝＝，∵k＜0，∴﹣2k﹣≥2，當(dāng)且僅當(dāng)﹣2k＝﹣時(shí)取等號，∴kOP的最大值為＝．故答案為：．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.第17題～第21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．已知△ABC的三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足（bcosC+ccosB）sinB+bcosA＝0．（1）求A；（2）若c＝2，a＝2，角B的角平分線交邊AC于點(diǎn)D，求BD的長．解：（1）由正弦定理及（bcosC+ccosB）sinB+bcosA＝0．得（sinBcosC+sinCcosB）sinB+sinBcosA＝0．因?yàn)閟inB＞0，所以sin（B+C）+，即sinA＝﹣cosA，所以tanA＝﹣，由A為三角形內(nèi)角得A＝；（2）由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，所以12＝b2+4+2b，解得b＝2或b＝﹣4（舍），△ABD中，BD為∠ABC的平分線，∠ABD＝，則∠ADB＝，由正弦定理得，所以BD＝．18．如圖①，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，D為AC上一點(diǎn)，AD＝3，現(xiàn)將△ABC沿BD翻折至圖②所示，使得平面ABD⊥平面BCD．（1）若點(diǎn)E在BC上，滿足DE⊥AB．求證：DE⊥平面ABD；（2）求二面角D﹣AC﹣B的余弦值．【解答】（1）證明：取BD中點(diǎn)O，因?yàn)锳B＝AD＝3，所以O(shè)A⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，所以O(shè)A⊥平面BCD，因?yàn)镈E?平面BCD，所以DE⊥OA，因?yàn)镈E⊥AB，AB∩OA＝A，AB?平面ABD，OA?平面ABD，所以DE⊥平面ABD；（2）解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，過C作CF⊥x軸于F，DC＝AC﹣AD＝2，∠CDF＝ADB＝30°，AB＝AD＝3，OA＝，OB＝OD＝，DF＝2?cos30°＝，CF＝2?sin30°＝1，＝（﹣，1，﹣），＝（，0，﹣），＝（﹣，0，﹣），設(shè)平面ACB與平面ACD的法向量分別為＝（x，y，z）與＝（u，v，w），，令x＝1，＝（1，4，），，令u＝2，＝（1，，﹣），由圖知二面角D﹣AC﹣B為鈍角，所以二面角D﹣AC﹣B的余弦值為﹣＝﹣＝﹣．19．2021年中國共產(chǎn)黨迎來了建黨100周年，為了銘記建黨歷史、緬懷革命先烈、增強(qiáng)愛國主義情懷，某校組織了黨史知識競賽活動，共有200名同學(xué)參賽，為了解競賽成績的分布情況，將200名同學(xué)的競賽成績按[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80）、[80，90）、[90，100]分成7組，繪制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求這200名同學(xué)競賽成績的中位數(shù)及競賽成績不低于80分的同學(xué)人數(shù)；（2）現(xiàn)從競賽成績不低于80分的同學(xué)中，采用分層抽樣的方法抽取9人，再從9人中隨機(jī)抽取3人，記這3人中競賽成績不低于90分的同學(xué)人數(shù)為X，求P（X＝2）；（3）學(xué)校決定對競賽成績不低于80分的同學(xué)中以抽獎的方式進(jìn)行獎勵，其中競賽成績不低于90分的同學(xué)有兩次抽獎機(jī)會，低于90分不低于80分的同學(xué)只有一次抽獎機(jī)會，獎品為黨史書籍，每次抽獎的獎品數(shù)量（單位：本）及對應(yīng)的概率如表：獎品數(shù)量（單位：本）24概率現(xiàn)在從競賽成績不低于80分的同學(xué)中隨機(jī)選一名同學(xué)，記其獲獎書籍的數(shù)量為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）因?yàn)?.025+0.15+0.20＝0.375，0.025+0.15+0.20+0.25＝0.625，設(shè)這200名同學(xué)競賽成績的中位數(shù)為x，則0.025+0.15+0.20+0.025（x﹣60）＝0.5，解得x＝65，競賽成績不低于80分的學(xué)生人數(shù)為200×（0.10+0.05）＝30．（2）由題意可知，抽取的9人中，競賽成績不低于90分的學(xué)生人數(shù)為3，所以P（X＝2）＝；（3）設(shè)這名同學(xué)獲得數(shù)量為ξ，則ξ的可能取值為2，4，6，8，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝4）＝，P（ξ＝6）＝，P（ξ＝8）＝，ξ2468PE（ξ）＝2×+4×+6×+8×＝．20．設(shè)橢圓C：+＝1（a＞b＞0），0為原點(diǎn)，橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)D（0，2），橢圓C的離心率為，且∠OAB＝∠ODA．（1）求橢圓C的方程；（2）不與x軸平行的直線1與橢圓C交于不同點(diǎn)P、Q，已知點(diǎn)P關(guān)于x軸對稱點(diǎn)為點(diǎn)M，點(diǎn)Q關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)N，且D、M、N三點(diǎn)共線，求證：直線l過定點(diǎn)．【解答】（1）解：由題意可得：，又∵∠OAB＝∠ODA，∴tan∠OAB＝tan∠ODA，∴，∴a2＝2b，∴2b2＝2b，∴，故橢圓的方程為．（2）證明：由題意，可設(shè)直線l：x＝my+n，P（x1，y1），Q（x2，y2），M（x1，?y1），N（?x2，?y2），聯(lián)立方程，得（m2+2）y2+2mny+n2?2＝0，∴．△＝4m2n2?4（m2+2）（n2?2）＞0，即m2+2＞n2．，∵D，M，N三點(diǎn)共線，∴，∴x1（?y2?2）＝x2（y1+2），∴（my1+n）（?y2?2）＝（my2+n）（y1+2），∴2my1y2+（2m+n）（y1+y2）+4n＝0，∴，∴m＝2n，直線l過定點(diǎn)．21．設(shè)函數(shù)f（x）＝ex+tx2+s（x≥0）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y＝（e﹣1）x﹣．（1）求t，s的值，并證明：f（x）≥x；（2）若?x＞0，a＞﹣1，不等式＞恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解：（1）證明：函數(shù)f（x）＝ex+tx2+s，則f'（x）＝ex+2tx，因?yàn)閒（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為y＝（e﹣1）x﹣，則有，即，解得，則，令g（x）＝f（x）﹣x＝，則g'（x）＝ex﹣x﹣1，令h（x）＝g'（x）＝ex﹣x﹣1，則h'（x）＝ex﹣1≥0，則h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，所以h（x）≥h（0）＝0，所以g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則g（x）＞g（0）＝0，所以f（x）≥x；（2）由a＞﹣1，可得對x＞0恒成立，令F（x）＝ln（x+1）（ex﹣1）﹣x2，由（1）可知，（當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號），則當(dāng)x＞0時(shí)，F(xiàn)（x）＞，令，則，故μ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則μ（x）＞μ（0）＝0，所以