13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題

.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問題——軸對稱在解決“最短路徑問題”的應(yīng)用一、新課導(dǎo)入1.導(dǎo)入課題：屏幕展示教材第85頁問題1的文字和圖標(biāo).2.學(xué)習(xí)目標(biāo)：(1)能利用軸對稱變換解決實(shí)際問題.(2)能利用作圖解決生活中的軸對稱問題.（作圖建模）3.學(xué)習(xí)重、難點(diǎn)：重點(diǎn)：路徑極值問題的轉(zhuǎn)換方法.難點(diǎn)：路徑極值問題的說理證明.二、分層學(xué)習(xí)1.自學(xué)指導(dǎo)：(1)自學(xué)內(nèi)容：教材第85頁的問題1.(2)自學(xué)時(shí)間：8分鐘.(3)自學(xué)方法：經(jīng)歷“作圖——探究——?dú)w納——總結(jié)”過程，體驗(yàn)用軸對稱的性質(zhì)解決生活中的求最短距離問題的實(shí)質(zhì).(4)自學(xué)參考提綱：①軸對稱具有什么性質(zhì)？如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.②思考：問題1中的情境問題可以轉(zhuǎn)化怎樣的幾何問題？試作出幾何圖形來表示.③馬從A到河邊再到B的路徑是一個(gè)折線，求折線的最小值，可聯(lián)想到兩點(diǎn)之間的距離，所以可將三個(gè)點(diǎn)轉(zhuǎn)化到同一直線上.④如圖，AC如何轉(zhuǎn)化使A、C、B在同一直線上呢？作B點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′，連接AB′，交l于點(diǎn)C，則A、C、B′在同一直線上.⑤按“兩點(diǎn)之間線段最短”，A通過怎樣的變換確定的C點(diǎn)保證變換后的A′C=AC，且A′、C、B在同一直線上呢？作A點(diǎn)關(guān)于l的對稱點(diǎn)A′，則A′C=AC，且A′、C、B在同一直線上.2.自學(xué)：認(rèn)真閱讀教材第85頁內(nèi)容，參照自學(xué)參考提綱試著找出解決問題的辦法.3.助學(xué)：(1)師助生：①明了學(xué)情：最短路徑問題是軸對稱知識在生活中的運(yùn)用，尋找解題思路是個(gè)難點(diǎn).②差異指導(dǎo)：先引導(dǎo)學(xué)生回憶“兩點(diǎn)之間，線段最短”的結(jié)論，完成②，然后在②的基礎(chǔ)上尋找解決③的辦法及依據(jù).(2)生助生：學(xué)生之間相互交流幫助.4.強(qiáng)化：(1)指名學(xué)生說明這樣作圖的依據(jù)，重點(diǎn)讓學(xué)生明白此類題的作圖方法.(2)練習(xí)：如圖，A、B是兩個(gè)蓄水池，都在河流a的同側(cè)，為了方便灌溉作物，要在河邊建一個(gè)抽水站，將河水送到A、B兩地，問該站建在河邊什么地方，可使所修的渠道最短，試在圖中確定該點(diǎn)（保留作圖痕跡）.解：如圖：P點(diǎn)即為該點(diǎn).1.自學(xué)指導(dǎo)：(1)自學(xué)內(nèi)容：教材第86頁的問題2.(2)自學(xué)時(shí)間：5分鐘.(3)自學(xué)方法：認(rèn)真閱讀課文，邊看文字，對照圖形，邊體會教材上作圖的方法和依據(jù).(4)自學(xué)參考提綱：①回憶問題1是用什么辦法解決最短路線問題的？作對稱點(diǎn).②問題2中點(diǎn)A、點(diǎn)B在河的兩側(cè)，而河岸存在兩條直線，這個(gè)問題怎么解決？通過圖形變化，轉(zhuǎn)化為求一條直線兩側(cè)的點(diǎn)的最短距離.③由于河寬一定，要求AM+MN+NB最小，實(shí)際上就是要求AM+NB最??？④如何在直線b上確定一點(diǎn)N，使A′N=AM？將AM沿與河岸垂直的方向平移，點(diǎn)M移動(dòng)到點(diǎn)N，點(diǎn)A移動(dòng)到點(diǎn)A′，則A′N=AM.2.自學(xué)：學(xué)生結(jié)合自學(xué)參考提綱研學(xué)課文內(nèi)容.3.助學(xué)：(1)師助生：①明了學(xué)情：問題2較問題1更復(fù)雜，本質(zhì)上是一回事，注意了解學(xué)生的思維障礙.②差異指導(dǎo)：a.先引導(dǎo)學(xué)生回憶“兩點(diǎn)之間，線段最短”的結(jié)論，然后引導(dǎo)學(xué)生思考如何將AM、NB轉(zhuǎn)化到同一直線上.(2)生助生：學(xué)生之間相互交流幫助.4.強(qiáng)化：(1)指名學(xué)生說明這樣作圖的依據(jù)，重點(diǎn)讓學(xué)生說明作圖的思路、依據(jù)及方法.(2)完成教材第93頁15題.解：過A作關(guān)于MN的對稱點(diǎn)A′，過B作關(guān)于l的對稱點(diǎn)B′，連接A′B′交MN于P，交l于Q點(diǎn)，連接AP、BQ.則A→P→Q→B就是所示的最短路徑.(3)教材第87頁“歸納”.三、評價(jià)1.學(xué)生的自我評價(jià)（圍繞三維目標(biāo)）：學(xué)生相互交談自己的學(xué)習(xí)收獲有哪些？困惑在哪里？2.教師對學(xué)生的評價(jià)：(1)表現(xiàn)性評價(jià)：對學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、方法、成果及不足進(jìn)行點(diǎn)評.(2)紙筆評價(jià)：課堂評價(jià)檢測.3.教師的自我評價(jià)（教學(xué)反思）:本課時(shí)教學(xué)時(shí)要盡量創(chuàng)設(shè)與學(xué)生生活環(huán)境、知識背景相關(guān)的教學(xué)情境，以生動(dòng)活潑的形式呈現(xiàn)有關(guān)內(nèi)容，教學(xué)時(shí)，根據(jù)本課內(nèi)容特點(diǎn)，可依據(jù)其學(xué)科知識間聯(lián)系調(diào)動(dòng)課堂氣氛，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣.一、基礎(chǔ)鞏固（每題20分，共60分）1.作圖在直線l上找一點(diǎn)C，使AC+BC最小.解:2.要在燃?xì)夤艿纋上修建一個(gè)泵站，分別向A，B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？試作圖確定泵站并加以說明.解：如圖，P處即為泵站的位置.3.如圖，已知牧馬營地在P處，每天牧馬人要趕著馬群先到河邊飲水，再帶到草地吃草，然后回到營地，請你替牧馬人設(shè)計(jì)出最短的放牧路線.解：如圖AP+AB即為最短的放牧路線.二、綜合應(yīng)用（20分）4.如圖，M、N分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，在邊BC上求作一點(diǎn)P，使△PMN的周長最小.解：如圖:作點(diǎn)M關(guān)于BC的對稱點(diǎn)M′，連接M′N，交BC于點(diǎn)P，則△PMN的周長最小.三、拓展延伸（20分）5.如圖，已知直線MN與MN異側(cè)兩點(diǎn)A、B，在