2024屆湘潭市重點中學九年級數(shù)學第一學期期末檢測試題含解析

2024屆湘潭市重點中學九年級數(shù)學第一學期期末檢測試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．矩形不具備的性質是（）A．是軸對稱圖形 B．是中心對稱圖形 C．對角線相等 D．對角線互相垂直2．已知關于軸對稱點為，則點的坐標為()A． B． C． D．3．若3x=2y（xy≠0），則下列比例式成立的是（）A． B． C． D．4．已知點在拋物線上，則點關于拋物線對稱軸的對稱點坐標為（）A． B． C． D．5．下列選項中，y是x的反比例函數(shù)的是（）A． B． C． D．6．如圖，在中．．是的角平分線．若在邊上截取，連接，則圖中等腰三角形共有（）A．3個 B．5個 C．6個 D．2個7．若點A（2，），B（-3，），C（-1，）三點在拋物線的圖象上，則、、的大小關系是（）A．B．C．D．8．將點A(2，1)向右平移2個單位長度得到點A′，則點A′的坐標是（）A．(0，1) B．(2，﹣1) C．(4，1) D．(2，3)9．下列函數(shù)中，是反比例函數(shù)的是（）A． B． C． D．10．如果兩個相似三角形的周長比是1：2，那么它們的面積比是（）A．1：2 B．1：4 C．1： D．：1二、填空題(每小題3分,共24分)11．如圖，在平面直角坐標系中，已知點E（﹣4，2），F(xiàn)（﹣1，﹣1）．以原點O為位似中心，把△EFO擴大到原來的2倍，則點E的對應點E'的坐標為_____．12．如圖，某測量小組為了測量山BC的高度，在地面A處測得山頂B的仰角45°，然后沿著坡度為1：的坡面AD走了200米到D處，此時在D處測得山頂B的仰角為60°，則山高BC＝_____米（結果保留根號）．13．如圖，⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，則∠CAD＝_____．14．在平面直角坐標系中，拋物線y＝x2的圖象如圖所示．已知A點坐標為（1，1），過點A作AA1∥x軸交拋物線于點A1，過點A1作A1A2∥OA交拋物線于點A2，過點A2作A2A3∥x軸交拋物線于點A3，過點A3作A3A4∥OA交拋物線于點A4……，依次進行下去，則點A2019的坐標為_______．15．如圖，一漁船由西往東航行，在A點測得海島C位于北偏東60°的方向，前進20海里到達B點，此時，測得海島C位于北偏東30°的方向，則海島C到航線AB的距離CD等于海里.16．已知某個正六邊形的周長為，則這個正六邊形的邊心距是__________．17．是關于的一元二次方程的一個根，則___________18．如圖，在矩形ABCD中，如果AB＝3，AD＝4，EF是對角線BD的垂直平分線，分別交AD，BC于點EF，則ED的長為____________________________．三、解答題(共66分)19．（10分）在中，，點在邊上運動，連接，以為一邊且在的右側作正方形.（1）如果，如圖①，試判斷線段與之間的位置關系，并證明你的結論；（2）如果，如圖②，（1）中結論是否成立，說明理由.（3）如果，如圖③，且正方形的邊與線段交于點，設，，，請直接寫出線段的長.（用含的式子表示）20．（6分）一只不透明的袋子中裝有3個黑球、2個白球，每個球除顏色外都相同，從中任意摸出2個球．（1）“其中有1個球是黑球”是事件；（2）求2個球顏色相同的概率．21．（6分）（問題呈現(xiàn)）阿基米德折弦定理：如圖1，AB和BC是⊙O的兩條弦（即折線ABC是圓的一條折弦），BC＞AB，點M是的中點，則從M向BC所作垂線的垂足D是折弦ABC的中點，即CD＝DB+BA．下面是運用“截長法”證明CD＝DB+BA的部分證明過程．證明：如圖2，在CD上截取CG＝AB，連接MA、MB、MC和MG．∵M是的中點，∴MA＝MC①又∵∠A＝∠C②∴△MAB≌△MCG③∴MB＝MG又∵MD⊥BC∴BD＝DG∴AB+BD＝CG+DG即CD＝DB+BA根據(jù)證明過程，分別寫出下列步驟的理由：①，②，③；（理解運用）如圖1，AB、BC是⊙O的兩條弦，AB＝4，BC＝6，點M是的中點，MD⊥BC于點D，則BD＝；（變式探究）如圖3，若點M是的中點，（問題呈現(xiàn)）中的其他條件不變，判斷CD、DB、BA之間存在怎樣的數(shù)量關系？并加以證明．（實踐應用）根據(jù)你對阿基米德折弦定理的理解完成下列問題：如圖4，BC是⊙O的直徑，點A圓上一定點，點D圓上一動點，且滿足∠DAC＝45°，若AB＝6，⊙O的半徑為5，求AD長．22．（8分）計算：（1）（2）23．（8分）在2017年“KFC”籃球賽進校園活動中，某校甲、乙兩隊進行決賽，比賽規(guī)則規(guī)定：兩隊之間進行3局比賽，3局比賽必須全部打完，只要贏滿2局的隊為獲勝隊，假如甲、乙兩隊之間每局比賽輸贏的機會相同，且乙隊已經贏得了第1局比賽，那么甲隊獲勝的概率是多少？（請用“畫樹狀圖”或“列表”等方法寫出分析過程）24．（8分）如圖，已知點A（a，3）是一次函數(shù)y1＝x+1與反比例函數(shù)y2＝的圖象的交點．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）在y軸的右側，當y1＞y2時，直接寫出x的取值范圍；（3）求點A與兩坐標軸圍成的矩形OBAC的面積．25．（10分）如圖，AB、CD為⊙O的直徑，弦AE∥CD，連接BE交CD于點F，過點E作直線EP與CD的延長線交于點P，使∠PED＝∠C．（1）求證：PE是⊙O的切線；（2）求證：DE平分∠BEP；（3）若⊙O的半徑為10，CF＝2EF，求BE的長．26．（10分）如圖，已知△ABC內接于⊙O，且AB＝AC，直徑AD交BC于點E，F(xiàn)是OE上的一點，使CF∥BD．（1）求證：BE＝CE；（2）若BC＝8，AD＝10，求四邊形BFCD的面積．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、D【分析】依據(jù)矩形的性質進行判斷即可．【題目詳解】解：矩形不具備的性質是對角線互相垂直，故選：D．【題目點撥】本題考查了矩形的性質，熟練掌握性質是解題的關鍵2、D【分析】利用關于x軸對稱的點坐標的特點即可解答.【題目詳解】解：∵關于軸對稱點為∴的坐標為（-3，-2）故答案為D.【題目點撥】本題考查了關于x軸對稱的點坐標的特點，即識記關于x軸對稱的點坐標的特點是橫坐標不變，縱坐標變?yōu)橄喾磾?shù).3、A【分析】根據(jù)兩內項之積等于兩外項之積對各選項分析判斷即可得解．【題目詳解】A．由得：3x=2y，故本選項比例式成立；B．由得：xy=6，故本選項比例式不成立；C．由得：2x=3y，故本選項比例式不成立；D．由得：2x=3y，故本選項比例式不成立．故選A．【題目點撥】本題考查了比例的性質，主要利用了兩內項之積等于兩外項之積，熟記性質是解題的關鍵．4、A【分析】先將點A代入拋物線的解析式中整理出一個關于a,b的等式，然后利用平方的非負性求出a,b的值，進而可求點A的坐標，然后求出拋物線的對稱軸即可得出答案．【題目詳解】∵點在拋物線上，∴，整理得，，解得，，．拋物線的對稱軸為，∴點關于拋物線對稱軸的對稱點坐標為．故選：A．【題目點撥】本題主要考查完全平方公式的應用、平方的非負性和二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的性質是解題的關鍵．5、C【解題分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義“一般的，如果兩個變量x，y之間的關系可以表示成，其中為常數(shù)，，我們就叫y是x的反比例函數(shù)”判定即可.【題目詳解】A、x的指數(shù)是，不符定義B、x的指數(shù)是1，y與x是成正比例的，不符定義C、可改寫成，符合定義D、當是，函數(shù)為，是常數(shù)函數(shù)，不符定義故選：C.【題目點撥】本題考查了反比例函數(shù)的定義，熟記定義是解題關鍵.6、B【分析】根據(jù)等腰三角形的判定及性質和三角形的內角和定理求出各角的度數(shù)，逐一判斷即可．【題目詳解】解：∵，∴∠ABC=∠ACB=72°，∠A=180°－∠ABC－∠ACB=36°，△ABC為等腰三角形∵是的角平分線∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°∴∠BDC=180°－∠CBD－∠C=72°，∠ABD=∠A∴∠BDC=∠ACB，DA=DB，△DBC為等腰三角形∴BC=BD，△BCD為等腰三角形∵∴∠BED=∠BDE=（180°－∠ABD）=72°，△BEC為等腰三角形∴∠AED=180°－∠BED=108°∴∠EDA=180°－∠AED－∠A=36°∴∠EDA=∠A∴ED=EA，△EDA為等腰三角形共有5個等腰三角形故選B．【題目點撥】此題考查的是等腰三角形的判定及性質和三角形的內角和，掌握等邊對等角、等角對等邊和三角形的內角和定理是解決此題的關鍵．7、C【解題分析】首先求出二次函數(shù)的圖象的對稱軸x==2，且由a=1＞0，可知其開口向上，然后由A（2，）中x=2，知最小，再由B（-3，），C（-1，）都在對稱軸的左側，而在對稱軸的左側，y隨x得增大而減小，所以．總結可得．故選C．點睛：此題主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質，解答此題的關鍵是（1）找到二次函數(shù)的對稱軸；（2）掌握二次函數(shù)的圖象性質．8、C【分析】把點（2，1）的橫坐標加2，縱坐標不變即可得到對應點的坐標．【題目詳解】解：∵將點（2，1）向右平移2個單位長度，∴得到的點的坐標是（2+2，1），即：（4，1），故選：C．【題目點撥】本題主要考查了坐標系中點的平移規(guī)律，平移中點的變化規(guī)律是：橫坐標右移加，左移減；縱坐標上移加，下移減．9、C【解題分析】反比例函數(shù)的形式有：①（k≠0）；②y=kx﹣1（k≠0）兩種形式，據(jù)此解答即可．【題目詳解】A．它是正比例函數(shù)；故本選項錯誤；B．不是反比例函數(shù)；故本選項錯誤；C．符合反比例函數(shù)的定義；故本選項正確；D．它是正比例函數(shù)；故本選項錯誤．故選：C．【題目點撥】本題考查了反比例函數(shù)的定義，重點是將一般式（k≠0）轉化為y=kx﹣1（k≠0）的形式．10、B【分析】直接根據(jù)相似三角形的性質即可得出結論．【題目詳解】解：∵兩個相似三角形的周長比是1：2，∴它們的面積比是：1：1．故選：B．【題目點撥】本題考查相似三角形的性質，掌握相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．二、填空題(每小題3分,共24分)11、（﹣8，4），（8，﹣4）【分析】根據(jù)在平面直角坐標系中，位似變換的性質計算即可．【題目詳解】解：以原點O為位似中心，把△EFO擴大到原來的2倍，點E（﹣4，2），∴點E的對應點E'的坐標為（﹣4×2，2×2）或（4×2，﹣2×2），即（﹣8，4），（8，﹣4），故答案為：（﹣8，4），（8，﹣4）．【題目點撥】本題考查的是位似變換的性質，在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k．12、300+100【分析】作DF⊥AC于F．解直角三角形分別求出BE、EC即可解決問題.【題目詳解】作DF⊥AC于F．∵DF：AF＝1：，AD＝200米，∴tan∠DAF＝，∴∠DAF＝30°，∴DF＝AD＝×200＝100（米），∵∠DEC＝∠BCA＝∠DFC＝90°，∴四邊形DECF是矩形，∴EC＝DF＝100（米），∵∠BAC＝45°，BC⊥AC，∴∠ABC＝45°，∵∠BDE＝60°，DE⊥BC，∴∠DBE＝90°﹣∠BDE＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBE＝45°﹣30°＝15°，∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝45°﹣30°＝15°，∴∠ABD＝∠BAD，∴AD＝BD＝200（米），在Rt△BDE中，sin∠BDE＝，∴BE＝BD?sin∠BDE＝200×＝300（米），∴BC＝BE+EC＝300+100（米）；故答案為：300+100．【題目點撥】本題考查解直角三角形的應用仰角俯角問題，坡度坡角問題等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造直角三角形解決問題13、36°．【分析】由正五邊形的性質得出∠BAE=(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，得出==，由圓周角定理即可得出答案．【題目詳解】∵⊙O是正五邊形ABCDE的外接圓，∴∠BAE=(n﹣2)×180°=(5﹣2)×180°=108°，BC=CD=DE，∴==，∴∠CAD=×108°=36°；故答案為：36°．【題目點撥】本題主要考查了正多邊形和圓的關系，以及圓周角定理的應用；熟練掌握正五邊形的性質和圓周角定理是解題的關鍵．14、(-1010,10102)【分析】根據(jù)二次函數(shù)性質可得出點A1的坐標，求得直線A1A2為y=x+2，聯(lián)立方程求得A2的坐標，即可求得A3的坐標，同理求得A4的坐標，即可求得A5的坐標，根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律，即可找出點A2019的坐標．【題目詳解】∵A點坐標為（1，1），

∴直線OA為y=x，A1（-1，1），

∵A1A2∥OA，

∴直線A1A2為y=x+2，

解得或，

∴A2（2，4），

∴A3（-2，4），

∵A3A4∥OA，

∴直線A3A4為y=x+6，

解得或，

∴A4（3，9），

∴A5（-3，9）

…，

∴A2019（-1010，10102），

故答案為（-1010，10102）．【題目點撥】此題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標特征、一次函數(shù)的圖象以及交點的坐標，根據(jù)坐標的變化找出變化規(guī)律是解題的關鍵．15、10【題目詳解】試題分析：BD設為x，因為C位于北偏東30°，所以∠BCD＝30°在RT△BCD中，BD＝x，CD＝3x又∵∠CAD＝30°，在RT△ADC中，AB＝20，AD＝20＋x，又∵△ADC∽△CDB，所以ADCD即：(3x)2=x(20+x)，求出x＝10，故考點：1、等腰三角形；2、三角函數(shù)16、【分析】首先得出正六邊形的邊長，構建直角三角形，利用直角三角形的邊角關系即可求出.【題目詳解】解：如圖作正六邊形外接圓，連接OA，作OM⊥AB垂足為M,得到∠AOM=30°∵圓內接正六邊形ABCDEF的周長為6∴AB=1則AM=，OA=1因而OM=OA·=正六邊形的邊心距是【題目點撥】此題主要考查了正多邊形和圓，正確掌握正多邊形的性質是解題的關鍵.17、-1【分析】將x=-1代入一元二次方程，即可求得c的值．【題目詳解】解：∵x=-1是關于x的一元二次方程的一個根，

∴，∴c=-1，

故答案：-1．【題目點撥】本題考查了一元二次方程的解的定義，是基礎知識比較簡單．18、【分析】連接EB，構造直角三角形，設AE為，則，利用勾股定理得到有關的一元一次方程，即可求出ED的長．【題目詳解】連接EB，

∵EF垂直平分BD，

∴ED=EB，

設，則，

在Rt△AEB中，

，

即：，

解得：．∴，

故答案為：．【題目點撥】本題考查了矩形的性質，線段的垂直平分線的性質和勾股定理，正確根據(jù)勾股定理列出方程是解題的關鍵．三、解答題(共66分)19、（1）；證明見解析；（2）成立；理由見解析；（3）.【分析】（1）先證明，得到，再根據(jù)角度轉換得到∠BCF=90°即可；（2）過點作交于點，可得，再證明，得，即可證明；（3）過點作交的延長線于點，可求出，則，根據(jù)得出相似比，即可表示出CP.【題目詳解】（1）；證明：∵，，∴，由正方形得，∵，∴，在與中，，∴，∴，∴，即；（2）時，的結論成立；證明：如圖2，過點作交于點，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，，即；（3）過點作交的延長線于點，∵，∴△AQC為等腰直角三角形，∵，∴，∵DC=x，∴，∵四邊形ADEF為正方形，∴∠ADE=90°，∴∠PDC+∠ADQ=90°，∵∠ADQ+∠QAD=90°，∴∠PDC=∠QAD，∴，∴，∴，.【題目點撥】本題考查了全等三角形性質及判定，相似三角形的判定及性質，正方形的性質等，構建全等三角形，相似三角形是解決此題的關鍵．20、（1）隨機（2）【解題分析】試題分析：（1）直接利用隨機事件的定義分析得出答案；（2）利用樹狀圖法畫出圖象，進而利用概率公式求出答案．試題解析：（1）“其中有1個球是黑球”是隨機事件；故答案為隨機；（2）如圖所示：，一共有20種可能，2個球顏色相同的有8種，故2個球顏色相同的概率為：=．考點：列表法與樹狀圖法．21、（問題呈現(xiàn)）相等的弧所對的弦相等；同弧所對的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等；（理解運用）1；（變式探究）DB＝CD+BA；證明見解析；（實踐應用）1或．【分析】（問題呈現(xiàn)）根據(jù)圓的性質即可求解；（理解運用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，即可求解；（變式探究）證明△MAB≌△MGB（SAS），則MA＝MG，MC＝MG，又DM⊥BC，則DC＝DG，即可求解；（實踐應用）已知∠D1AC＝45°，過點D1作D1G1⊥AC于點G1，則CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+2）＝1．如圖∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．【題目詳解】（問題呈現(xiàn)）①相等的弧所對的弦相等②同弧所對的圓周角相等③有兩組邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等故答案為：相等的弧所對的弦相等；同弧所定義的圓周角相等；有兩組邊及其夾角分別對應相等的兩個三角形全等；（理解運用）CD＝DB+BA，即CD＝6﹣CD+AB，即CD＝6﹣CD+4，解得：CD＝5，BD＝BC﹣CD＝6﹣5＝1，故答案為：1；（變式探究）DB＝CD+BA．證明：在DB上截去BG＝BA，連接MA、MB、MC、MG，∵M是弧AC的中點，∴AM＝MC，∠MBA＝∠MBG．又MB＝MB∴△MAB≌△MGB（SAS）∴MA＝MG∴MC＝MG，又DM⊥BC，∴DC＝DG，AB+DC＝BG+DG，即DB＝CD+BA；（實踐應用）如圖，BC是圓的直徑，所以∠BAC＝90°．因為AB＝6，圓的半徑為5，所以AC＝2．已知∠D1AC＝45°，過點D1作D1G1⊥AC于點G1，則CG1′+AB＝AG1，所以AG1＝（6+2）＝1．所以AD1＝1．如圖∠D2AC＝45°，同理易得AD2＝．所以AD的長為1或．【題目點撥】本題考查全等三角形的判定（SAS）與性質、等腰三角形的性質和圓心角、弦、弧，解題的關鍵是掌握全等三角形的判定（SAS）與性質、等腰三角形的性質和圓心角、弦、弧.22、（1）；（2）【分析】（1）分別根據(jù)二次根式的性質、0指數(shù)冪的意義和負整數(shù)指數(shù)冪的運算法則計算各項，再合并即可；（2）根據(jù)分式的乘方和分式的乘除混合運算法則解答即可．【題目詳解】解：（1）原式==；（2）原式．【題目點撥】本題考查了二次根式的性質、0指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪以及分式的乘方和分式的乘除混合運算等知識，屬于基礎題目，熟練掌握上述知識是解題的關鍵．23、【分析】根據(jù)甲隊第1局勝畫出第2局和第3局的樹狀圖，然后根據(jù)概率公式列式計算即可得解．【題目詳解】根據(jù)題意畫出樹狀圖如下：一共有4種情況，確保兩局勝的有1種，所以，P=．考點：列表法與樹狀圖法．24、（1）y2＝；（2）x＞2；（3）點A與兩坐標軸圍成的矩形OBAC的面積是1．【解題分析】（1）將點A的坐標代入一次函數(shù)的解析式，求得a值后代入反比例函數(shù)求得b的值后即可確定反比例函數(shù)的解析式；（2）y1＞y2時y1的圖象位于y2的圖象的上方，據(jù)此求解．（3）根據(jù)反比例函數(shù)k值的幾何意義即可求解．【題目詳解】解：（1）將A（a，3）代入一次函數(shù)y1＝x+1得a+1＝3，解得a＝2，∴A（2，3），將A（2，3）代入反比例函數(shù)得，解得k＝1，∴（2）∵A（2，3），y1＝x+1，∴在y軸的右側，當y1＞y2時，x的取值范圍是x＞2；（3）∵k＝1，∴點A與兩坐標軸圍成的矩形OBAC的面積是1．【題目點撥】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，能正確的確定點A的坐標是解答本題的關鍵，難度不大．25、（1）見解析；（2）見解析；