2023新教材高中數(shù)學(xué)第4章指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)第2課時(shí)指數(shù)冪及其運(yùn)算教師用書新人教A版必修第一冊(cè)

第2課時(shí)指數(shù)冪及其運(yùn)算1．理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，并能對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值．(重點(diǎn))1．通過(guò)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)的推導(dǎo)，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．2．借助指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)代數(shù)式化簡(jiǎn)或求值，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．國(guó)家統(tǒng)計(jì)局有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，我國(guó)科研和開發(fā)機(jī)構(gòu)基礎(chǔ)研究經(jīng)費(fèi)支出近些年呈爆炸式增長(zhǎng)：2013年為221.59億元，2014年、2015年、2016年的年增長(zhǎng)率分別為16.84%，14.06%，14.26%．你能根據(jù)這三個(gè)年增長(zhǎng)率的數(shù)據(jù)，算出年平均增長(zhǎng)率，并以2013年的經(jīng)費(fèi)支出為基礎(chǔ)，預(yù)測(cè)2017年及以后各年的經(jīng)費(fèi)支出嗎？知識(shí)點(diǎn)1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：aeq\s\up10(eq\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：aeq\s\up10(－eq\f(m,n))＝eq\f(1,aeq\s\up10(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義1．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)0的任何指數(shù)冪都等于0． ()(2)5eq\s\up10(eq\f(2,3))＝eq\r(53)． ()(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式可以相互轉(zhuǎn)化，如eq\r(4,a2)＝aeq\s\up10(eq\f(1,2))． ()(4)aeq\s\up10(eq\f(m,n))可以理解為eq\f(m,n)個(gè)a相乘． ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．將下列根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：(1)eq\r(3,16)＝________；(2)eq\r(5,x2)＝________；(3)eq\r(6,m－5)＝________(m≥0)．[答案](1)16eq\s\up10(eq\f(1,3))(2)xeq\s\up10(eq\f(2,5))(3)meq\s\up10(－eq\f(5,6))知識(shí)點(diǎn)2有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．下列運(yùn)算結(jié)果中，正確的是()A．a(chǎn)2a3＝a5 B．(－a2)3＝(－a3)2C．(eq\r(a)－1)0＝1 D．(－a2)3＝a6A[a2a3＝a2＋3＝a5；(－a2)3＝－a6≠(－a3)2＝a6；(eq\r(a)－1)0＝1，若成立，需要滿足a≠1，故選A．]知識(shí)點(diǎn)3無(wú)理數(shù)指數(shù)冪一般地，無(wú)理數(shù)指數(shù)冪aα(a>0，α是無(wú)理數(shù))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)同樣適用于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪．4．思考辨析(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)5eq\s\up10(eq\r(3))是一個(gè)確定的實(shí)數(shù)． ()(2)指數(shù)冪aα的指數(shù)α只能取無(wú)理數(shù)． ()(3)(2eq\s\up10(eq\r(3)))eq\s\up10(eq\r(3))＝8． ()[答案](1)√(2)×(3)√類型1根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化【例1】(對(duì)接教材P106例題)將下列根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式：(1)eq\r(a\r(a))(a>0)；(2)eq\f(1,\r(3,x\r(5,x2)2))；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(4,beq\s\up10(－\f(2,3)))))eq\s\up10(－eq\f(2,3))(b>0)．[解](1)原式＝eq\r(a·aeq\s\up10(\f(1,2)))＝eq\r(aeq\s\up10(\f(3,2)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(aeq\s\up10(\f(3,2))))eq\s\up10(eq\f(1,2))＝aeq\s\up10(eq\f(3,4))．(2)原式＝eq\f(1,\r(3,x·xeq\s\up10(\f(2,5))2))＝eq\f(1,\r(3,x·xeq\s\up10(\f(4,5))))＝eq\f(1,\r(3,xeq\s\up10(\f(9,5))))＝eq\f(1,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up10(\f(9,5))))eq\s\up10(\f(1,3)))＝eq\f(1,xeq\s\up10(\f(3,5)))＝xeq\s\up10(－eq\f(3,5))．(3)原式＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(beq\s\up10(－\f(2,3))))eq\s\up12(\f(1,4))))eq\s\up12(－eq\f(2,3))＝beq\s\up10(－eq\f(2,3))×eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))＝beq\s\up10(eq\f(1,9))．根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的規(guī)律(1)根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．(2)在具體計(jì)算時(shí)，通常會(huì)把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．[跟進(jìn)訓(xùn)練]1．將下列根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪進(jìn)行互化：(1)a3·eq\r(3,a2)；(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))(a>0，b>0)．[解](1)a3·eq\r(3,a2)＝a3·aeq\s\up10(eq\f(2,3))＝aeq\s\up10(3＋eq\f(2,3))＝aeq\s\up10(eq\f(11,3))．(2)eq\r(a－4b2\r(3,ab2))＝eq\r(a－4b2·ab2eq\s\up10(\f(1,3)))＝eq\r(a－4b2aeq\s\up10(\f(1,3))beq\s\up10(\f(2,3)))＝eq\r(aeq\s\up10(－\f(11,3))beq\s\up10(\f(8,3)))＝aeq\s\up10(－eq\f(11,6))beq\s\up10(eq\f(4,3))．類型2利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值【例2】計(jì)算下列各式(式中字母均是正數(shù))：(1)(2aeq\s\up10(eq\f(2,3))beq\s\up10(eq\f(1,2)))(－6aeq\s\up10(eq\f(1,2))beq\s\up10(eq\f(1,3)))÷(－3aeq\s\up10(eq\f(1,6))beq\s\up10(eq\f(5,6)))；(2)(meq\s\up10(eq\f(1,4))neq\s\up10(－eq\f(3,8)))8；(3)(eq\r(3,a2)－eq\r(a3))÷eq\r(4,a2)．[解](1)(2aeq\s\up10(eq\f(2,3))beq\s\up10(eq\f(1,2)))(－6aeq\s\up10(eq\f(1,2))beq\s\up10(eq\f(1,3)))÷(－3aeq\s\up10(eq\f(1,6))beq\s\up10(eq\f(5,6)))＝[2×(－6)÷(－3)]aeq\s\up10(eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)－eq\f(1,6))beq\s\up10(eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(5,6))＝4ab0＝4a．(2)(meq\s\up10(eq\f(1,4))neq\s\up10(－eq\f(3,8)))8＝(meq\s\up10(eq\f(1,4)))8(neq\s\up10(－eq\f(3,8)))8＝m2n－3＝eq\f(m2,n3)．(3)(eq\r(3,a2)－eq\r(a3))÷eq\r(4,a2)＝(aeq\s\up10(eq\f(2,3))－aeq\s\up10(eq\f(3,2)))÷aeq\s\up10(eq\f(1,2))＝aeq\s\up10(eq\f(2,3))÷aeq\s\up10(eq\f(1,2))－aeq\s\up10(eq\f(3,2))÷aeq\s\up10(eq\f(1,2))＝aeq\s\up10(eq\f(2,3)－eq\f(1,2))－aeq\s\up10(eq\f(3,2)－eq\f(1,2))＝aeq\s\up10(eq\f(1,6))－a＝eq\r(6,a)－a．指數(shù)冪運(yùn)算的常用技巧(1)有括號(hào)先算括號(hào)里的，無(wú)括號(hào)先進(jìn)行指數(shù)運(yùn)算．(2)負(fù)指數(shù)冪化為正指數(shù)冪的倒數(shù)．(3)底數(shù)是小數(shù)，先要化成分?jǐn)?shù)；底數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要先化成假分?jǐn)?shù)，然后要盡可能用冪的形式表示，便于用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．[跟進(jìn)訓(xùn)練]2．化簡(jiǎn)求值：(1)0.027eq\s\up10(eq\f(1,3))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6\f(1,4)))eq\s\up10(eq\f(1,2))＋256eq\s\up10(eq\f(3,4))＋(2eq\r(2))eq\s\up10(eq\f(2,3))－3－1＋π0；(2)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；(3)2eq\r(3,a)÷4eq\r(6,ab)×3eq\r(b3)．[解](1)原式＝(0.33)eq\s\up10(eq\f(1,3))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))eq\s\up12(2)))eq\s\up12(eq\f(1,2))＋(44)eq\s\up10(eq\f(3,4))＋(2eq\s\up10(eq\f(3,2)))eq\s\up10(eq\f(2,3))－eq\f(1,3)＋1＝0.3－eq\f(5,2)＋43＋2－eq\f(1,3)＋1＝64eq\f(7,15)．(2)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－eq\f(1,3)a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－eq\f(1,3)ac－1＝－eq\f(a,3c)．(3)原式＝2aeq\s\up10(eq\f(1,3))÷(4aeq\s\up10(eq\f(1,6))beq\s\up10(eq\f(1,6)))·(3beq\s\up10(eq\f(3,2)))＝eq\f(1,2)aeq\s\up10(eq\f(1,3)－eq\f(1,6))beq\s\up10(－eq\f(1,6))·3beq\s\up10(eq\f(3,2))＝eq\f(3,2)aeq\s\up10(eq\f(1,6))beq\s\up10(eq\f(4,3))．類型3條件求值問(wèn)題【例3】已知aeq\s\up10(eq\f(1,2))＋aeq\s\up10(－eq\f(1,2))＝4，求下列各式的值：(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2．代數(shù)式“aeq\s\up10(eq\f(1,2))＋aeq\s\up10(－eq\f(1,2))”與“a＋a－1，a2＋a－2”間存在怎樣的關(guān)系，如何實(shí)現(xiàn)他們間的轉(zhuǎn)化與化歸？[解](1)將aeq\s\up10(eq\f(1,2))＋aeq\s\up10(－eq\f(1,2))＝4兩邊平方，得a＋a－1＋2＝16，故a＋a－1＝14．(2)將a＋a－1＝14兩邊平方，得a2＋a－2＋2＝196，故a2＋a－2＝194．[母題探究]1．在本例條件不變的條件下，求a－a－1的值．[解]令a－a－1＝t，則兩邊平方得a2＋a－2＝t2＋2，∴t2＋2＝194，即t2＝192，∴t＝±8eq\r(3)，即a－a－1＝±8eq\r(3)．2．在本例條件不變的條件下，求a2－a－2的值．[解]由上題可知，a2－a－2＝(a－a－1)(a＋a－1)＝±8eq\r(3)×14＝±112eq\r(3)．解決條件求值的思路(1)在利用條件等式求值時(shí)，往往先將所求式子進(jìn)行有目的地變形，或先對(duì)條件式加以變形，溝通所求式子與條件等式的聯(lián)系，以便用整體代入法求值．(2)在利用整體代入的方法求值時(shí)，要注意完全平方公式的應(yīng)用．[跟進(jìn)訓(xùn)練]3．已知aeq\s\up10(eq\f(1,2))－aeq\s\up10(－eq\f(1,2))＝m，求a＋a－1及a2＋a－2的值．[解]∵aeq\s\up10(eq\f(1,2))－aeq\s\up10(－eq\f(1,2))＝m，∴(aeq\s\up10(eq\f(1,2))－aeq\s\up10(－eq\f(1,2)))2＝a＋a－1－2＝m2，即a＋a－1＝m2＋2．∴a2＋a－2＝(a＋a－1)2－2＝(m2＋2)2－2＝m4＋4m2＋2．1．把根式aeq\r(a)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是()A．(－a)eq\s\up10(eq\f(3,2)) B．－(－a)eq\s\up10(eq\f(3,2))C．－aeq\s\up10(eq\f(3,2)) D．a(chǎn)eq\s\up10(eq\f(3,2))D[由題意可知a≥0，故排除A、B、C選項(xiàng)，故選D．]2．(多選)下列各式既符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，值又相等的是()A．(－1)eq\s\up10(eq\f(1,3))和(－1)eq\s\up10(eq\f(2,6)) B．3eq\s\up10(eq\f(4,3))和eq\f(1,3eq\s\up10(－\f(4,3)))C．2eq\s\up10(eq\f(1,2))和4eq\s\up10(eq\f(1,4)) D．4eq\s\up10(－eq\f(3,2))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－3)BC[A不符合題意，(－1)eq\s\up10(eq\f(1,3))和(－1)eq\s\up10(eq\f(2,6))均符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，但(－1)eq\s\up10(eq\f(1,3))＝eq\r(3,－1)＝－1，(－1)eq\s\up10(eq\f(2,6))＝eq\r(6,－12)＝1；B符合題意，eq\f(1,3eq\s\up10(－\f(4,3)))＝3eq\s\up10(eq\f(4,3))；C符合題意，4eq\s\up10(eq\f(1,4))＝eq\r(4,22)＝2eq\s\up10(eq\f(1,2))；D不符合題意，4eq\s\up10(－eq\f(3,2))和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－3)均符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，但4eq\s\up10(－eq\f(3,2))＝eq\f(1,4eq\s\up10(\f(3,2)))＝eq\f(1,8)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(－3)＝23＝8．故選BC．]3．已知xeq\s\up10(eq\f(1,2))＋xeq\s\up10(－eq\f(1,2))＝5，則eq\f(x2＋1,x)的值為()A．5B．23C．25D．27B[∵xeq\s\up10(eq\f(1,2))＋xeq\s\up10(－eq\f(1,2))＝5，∴x＋x－1＝23，即eq\f(x2＋1,x)＝23．故選B．]4．若10x＝3，10y＝4，則102x－y＝_____