新教材高中人教B版數(shù)學(xué)選擇性學(xué)案第3章3-1-3第2課時(shí)組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

第2課時(shí)組合數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用學(xué)習(xí)任務(wù)核心素養(yǎng)1．理解組合數(shù)的性質(zhì)，并會(huì)運(yùn)用組合的概念，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．(重點(diǎn))2．能解決簡(jiǎn)單的排列、組合的綜合問題．(難點(diǎn))通過組合解決實(shí)際問題，提升數(shù)學(xué)建模、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)．某國(guó)際會(huì)議中心有A、B、C、D和E共5種不同功能的會(huì)議室，且每種功能的會(huì)議室又有大、中、小和特小4種型號(hào)，總共20個(gè)會(huì)議室．現(xiàn)在有一個(gè)國(guó)際學(xué)術(shù)會(huì)議需要選擇3種不同功能的6個(gè)會(huì)議室，并且每種功能的會(huì)議室選2個(gè)型號(hào)．問題：會(huì)議中心的工作人員安排會(huì)議的方法有多少種？[提示]先從5種不同功能的會(huì)議室中選3個(gè)，有Ceq\o\al(3,5)種方法，再分別從每種具有同一功能的4種型號(hào)的會(huì)議室中選2個(gè)，分別有Ceq\o\al(2,4)種方法，故會(huì)議中心的工作人員有Ceq\o\al(3,5)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(C\o\al(2,4)))3＝2160種安排會(huì)議室的方法．知識(shí)點(diǎn)組合數(shù)的性質(zhì)1．Ceq\o\al(m,n)＝eq\o(C\o\al(n－m,n))；2．Ceq\o\al(m＋1,n)＋Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)．拓展：(1)性質(zhì)1反映了組合數(shù)的對(duì)稱性．其組合意義是從n個(gè)不同的對(duì)象中任取m個(gè)對(duì)象的組合與任取(n－m)個(gè)對(duì)象的組合是一一對(duì)應(yīng)的．從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象后，就剩下(n－m)個(gè)對(duì)象，因此從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的方法，與從n個(gè)不同對(duì)象中取出(n－m)個(gè)對(duì)象的方法是一一對(duì)應(yīng)的，二者的取法是一樣多的，反過來也一樣．因此從n個(gè)不同對(duì)象中取出m個(gè)對(duì)象的組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)等于從n個(gè)不同對(duì)象中取出(n－m)個(gè)對(duì)象的組合數(shù)Ceq\o\al(n－m,n)，也就是Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)．(2)性質(zhì)2的正用、逆用及變形使用：正用時(shí)是“合二為一”，逆用時(shí)則是將組合數(shù)Ceq\o\al(m＋1,n＋1)拆為兩個(gè)；性質(zhì)2還可變形為Ceq\o\al(m＋1,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)－Ceq\o\al(m,n)，在一些題目中可簡(jiǎn)化求和．1．若Ceq\o\al(x,6)＝Ceq\o\al(2,6)，則x的值為()A．2B．4C．0D．2或4D[由Ceq\o\al(x,6)＝Ceq\o\al(2,6)可知x＝2或x＝6－2＝4．故選D．]2．Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,8)的值為________．84[Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(6,8)＝Ceq\o\al(6,9)＝eq\f(9！,6！×3！)＝eq\f(9×8×7,3×2×1)＝84．]類型1組合數(shù)的性質(zhì)【例1】計(jì)算：(1)Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(98,100)·Ceq\o\al(7,7)；(2)Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(3,5)＋Ceq\o\al(4,5)＋Ceq\o\al(5,5)；(3)Ceq\o\al(n,n＋1)·Ceq\o\al(n－1,n)(n＞0，n∈N＋)．[解](1)原式＝Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(2,100)×1＝eq\f(8×7×6,3×2×1)＋eq\f(100×99,2×1)＝56＋4950＝5006．(2)原式＝2(Ceq\o\al(0,5)＋Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5))＝2(Ceq\o\al(1,6)＋Ceq\o\al(2,5))＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6＋\f(5×4,2×1)))＝32．(3)原式＝Ceq\o\al(1,n＋1)·Ceq\o\al(1,n)＝(n＋1)n＝n2＋n．性質(zhì)“Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)”的意義及作用eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．(1)化簡(jiǎn)：Ceq\o\al(9,m)－Ceq\o\al(9,m＋1)＋Ceq\o\al(8,m)＝________；(2)已知Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，求n的值．(1)0[原式＝(Ceq\o\al(9,m)＋Ceq\o\al(8,m))－Ceq\o\al(9,m＋1)＝Ceq\o\al(9,m＋1)－Ceq\o\al(9,m＋1)＝0．](2)[解]根據(jù)題意，Ceq\o\al(7,n＋1)－Ceq\o\al(7,n)＝Ceq\o\al(8,n)，變形可得Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(8,n)＋Ceq\o\al(7,n)，由組合數(shù)的性質(zhì)，可得Ceq\o\al(7,n＋1)＝Ceq\o\al(8,n＋1)，故8＋7＝n＋1，解得n＝14．類型2有限制條件的組合問題【例2】高二(1)班共有35名同學(xué)，其中男生20名，女生15名，今從中選出3名同學(xué)參加活動(dòng)．(1)其中某一女生必須在內(nèi)，不同的選法有多少種？(2)其中某一女生不能在內(nèi)，不同的選法有多少種？(3)恰有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？(4)至少有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？(5)至多有2名女生在內(nèi)，不同的選法有多少種？[思路點(diǎn)撥]可從整體上分析，進(jìn)行合理分類，弄清關(guān)鍵詞“恰有”“至少”“至多”等字眼，使用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決．[解](1)從余下的34名學(xué)生中選取2名，有Ceq\o\al(2,34)＝561(種)．∴不同的選法有561種．(2)從34名可選學(xué)生中選取3名，有Ceq\o\al(3,34)＝5984種．或者Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(2,34)＝Ceq\o\al(3,34)＝5984種．∴不同的選法有5984種．(3)從20名男生中選取1名，從15名女生中選取2名，有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＝2100種．∴不同的選法有2100種．(4)選取2名女生有Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)種，選取3名女生有Ceq\o\al(3,15)種，共有選取方法N＝Ceq\o\al(1,20)Ceq\o\al(2,15)＋Ceq\o\al(3,15)＝2100＋455＝2555種．∴不同的選法有2555種．(5)選取3名的總數(shù)有Ceq\o\al(3,35)，至多有2名女生在內(nèi)的選取方式共有N＝Ceq\o\al(3,35)－Ceq\o\al(3,15)＝6545－455＝6090種．∴不同的選法有6090種．常見的限制條件及解題方法1．特殊元素：若要選取的元素中有特殊元素，則要以有無特殊元素，特殊元素的多少作為分類依據(jù)．2．含有“至多”“至少”等限制語(yǔ)句：要分清限制語(yǔ)句中所包含的情況，可以此作為分類依據(jù)，或采用間接法求解．3．分類討論思想：解題的過程中要善于利用分類討論思想，將復(fù)雜問題分類表達(dá)，逐類求解．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．“抗擊疫情，眾志成城”，某醫(yī)院從10名醫(yī)療專家中抽調(diào)6名奔赴抗擊疫情前線，其中這10名醫(yī)療專家中有4名是內(nèi)科專家．問：(1)抽調(diào)的6名專家中恰有2名是內(nèi)科專家的抽調(diào)方法有多少種？(2)至少有2名內(nèi)科專家的抽調(diào)方法有多少種？(3)至多有2名內(nèi)科專家的抽調(diào)方法有多少種？[解](1)分步：首先從4名內(nèi)科專家中任選2名，有Ceq\o\al(2,4)種選法，再?gòu)某齼?nèi)科專家的6人中選取4人，有Ceq\o\al(4,6)種選法，所以共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝90(種)抽調(diào)方法．(2)“至少”的含義是不低于，有兩種解答方法．法一：按選取的內(nèi)科專家的人數(shù)分類：①選2名內(nèi)科專家，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)種選法；②選3名內(nèi)科專家，共有Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)種選法；③選4名內(nèi)科專家，共有Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)種選法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＋Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(3,6)＋Ceq\o\al(4,4)·Ceq\o\al(2,6)＝185(種)抽調(diào)方法．法二：不考慮是否有內(nèi)科專家，共有Ceq\o\al(6,10)種選法，考慮選取1名內(nèi)科專家參加，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)種選法；沒有內(nèi)科專家參加，有Ceq\o\al(6,6)種選法，所以共有：Ceq\o\al(6,10)－Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)－Ceq\o\al(6,6)＝185(種)抽調(diào)方法．(3)“至多2名”包括“沒有”“有1名”“有2名”三種情況，分類解答．①?zèng)]有內(nèi)科專家參加，有Ceq\o\al(6,6)種選法；②有1名內(nèi)科專家參加，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)種選法；③有2名內(nèi)科專家參加，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)種選法．所以共有Ceq\o\al(6,6)＋Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(5,6)＋Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(4,6)＝115(種)抽調(diào)方法．類型3分組分配問題1．把3個(gè)蘋果平均分成三堆共有幾種分法？為什么？[提示]共1種分法．因?yàn)槿褵o差異．2．若把3個(gè)不同的蘋果分給三個(gè)人，共有幾種方法？[提示]共有Aeq\o\al(3,3)＝3×2×1＝6種分法．【例3】(對(duì)接教材P20例5)6本不同的書，按下列要求各有多少種不同的選法：(1)分給甲、乙、丙三人，每人兩本；(2)分為三份，每份兩本；(3)分為三份，一份一本，一份兩本，一份三本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人一本，一人兩本，一人三本；(5)分給甲、乙、丙三人，每人至少一本．[思路點(diǎn)撥](1)是平均分組問題，與順序無關(guān)，相當(dāng)于6本不同的書平均分給甲、乙、丙三人，可以理解為一個(gè)人一個(gè)人地來取，(2)是“均勻分組問題”，(3)是分組問題，分三步進(jìn)行，(4)分組后再分配，(5)明確“至少一本”包括“2、2、2型”“1、2、3型”“1、1、4型”．[解](1)根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得到：Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種．(2)分給甲、乙、丙三人，每人兩本有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種方法，這個(gè)過程可以分兩步完成：第一步分為三份，每份兩本，設(shè)有x種方法；第二步再將這三份分給甲、乙、丙三名同學(xué)有Aeq\o\al(3,3)種方法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝xAeq\o\al(3,3)，所以x＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15．因此分為三份，每份兩本一共有15種方法．(3)這是“不均勻分組”問題，一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)＝60種方法．(4)在(3)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以一共有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360種方法．(5)可以分為三類情況：①“2、2、2型”即(1)中的分配情況，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)＝90種方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情況，有Ceq\o\al(1,6)Ceq\o\al(2,)5Ceq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝360種方法；③“1、1、4型”，有Ceq\o\al(4,6)Aeq\o\al(3,3)＝90種方法．所以一共有90＋360＋90＝540種方法．(變條件)9本不同的書，在下列條件下各有多少種不同的分配方法？(1)分給甲、乙、丙三人，每人3本；(2)分為三組，每組3本；(3)分為三組，一組2本，一組3本，一組4本；(4)分給甲、乙、丙三人，一人2本，一人3本，一人4本；(5)分為三組，一組5本，另外兩組每組2本；[解](1)這是均勻編號(hào)分組問題．第一步：從9本書中選3本給甲，有Ceq\o\al(3,9)種選法．第二步：再?gòu)钠溆嗟?本書中選3本給乙，有Ceq\o\al(3,6)種選法．第三步：從余下的3本書中選3本給丙，有Ceq\o\al(3,3)種選法．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同的分配方法共有Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)＝1680(種)．(2)這是均勻不編號(hào)分組問題．先將9本書平均放入1號(hào)箱，2號(hào)箱，3號(hào)箱．先放1號(hào)箱，有Ceq\o\al(3,9)種放法；再放2號(hào)箱，有Ceq\o\al(3,6)種放法；最后把剩下的3本放入3號(hào)箱，有Ceq\o\al(3,3)種放法．因此共有Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)種放法．由于這3個(gè)箱子現(xiàn)在是有序的，而裝的書本數(shù)是一樣的，因此會(huì)出現(xiàn)重復(fù)的分法，應(yīng)用縮倍法，重復(fù)的是3個(gè)箱子的排列順序，應(yīng)除以箱子的全排列數(shù)，即Ceq\o\al(3,9)Ceq\o\al(3,6)Ceq\o\al(3,3)÷Aeq\o\al(3,3)＝280．故共有280種不同的分配方法．(3)這是非均勻不編號(hào)分組問題．同(2)中思路，第一步共Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(4,4)種放法．由于這次不是平均分配，每個(gè)箱子里裝的書都不同，因此不會(huì)出現(xiàn)重復(fù)的分法，因此共有1260種不同的分配方法．(4)這是非均勻編號(hào)問題．在(3)的基礎(chǔ)上再進(jìn)行全排列，所以不同的分配方法共有Ceq\o\al(2,9)Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(3,3)＝7560(種)．(5)這是部分均勻不編號(hào)分組問題．同(2)中思路，第一步共Ceq\o\al(5,9)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)種放法．這次同樣不是平均分配，但恰有2個(gè)箱子裝的書本數(shù)一樣，因此是“局部平均”，也會(huì)出現(xiàn)重復(fù)的分法，重復(fù)的是同樣裝著2本書的2個(gè)箱子的排列順序，因此應(yīng)除以這2個(gè)箱子的全排列數(shù)，即Ceq\o\al(5,9)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)÷Aeq\o\al(2,2)＝378．故共有378種不同的分配方法．分組問題屬于“組合”問題，常見的分組問題有三種1．完全均勻分組，每組的元素個(gè)數(shù)均相等．2．部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)，有n組均勻，最后必須除以n?。?．完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])3．將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官，每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名，則不同的分配方案有________種(用數(shù)字作答)．36[分兩步完成：第一步，將4名大學(xué)生按2,1,1分成三組，其分法有eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(1,2)·C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))種；第二步，將分好的三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，其分法有Aeq\o\al(3,3)種．所以滿足條件的分配方案有eq\f(C\o\al(2,4)·C\o\al(1,2)·C\o\al(1,1),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝36(種)．]1．某研究性學(xué)習(xí)小組有4名男生和4名女生，一次問卷調(diào)查活動(dòng)需要挑選3名同學(xué)參加，其中至少一名女生，則不同的選法有()A．120種B．84種C．52種D．48種C[間接法：Ceq\o\al(3,8)－Ceq\o\al(3,4)＝52種．]2．5個(gè)代表分4張同樣的參觀券，每人最多分一張，且全部分完，那么分法一共有()A．Aeq\o\al(4,5)種B．45種C．54種D．Ceq\o\al(4,5)種D[由于4張同樣的參觀券分給5個(gè)代表，每人最多分一張，從5個(gè)代表中選4個(gè)即可滿足，故有Ceq\o\al(4,5)種．]3．某校在某次考試后選取了6名教師參加閱卷，試卷共4道解答題，要求將這6名教師分成4組，每組閱一道解答題，其中2組各有2名教師，另外2組各有1名教師，則不同的分配方案的種數(shù)是()A．216B．420C．720D．1080D[6人按2,2,1,1分成4組共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2)A\o\al(2,2))種不同的分組方案，所以共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(1,2),A\o\al(2,2)A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(4,4)＝eq\f(15×6×2,2×2)×24＝1080種分配方案．]4．方程Ceq\o\al(x,14)＝Ceq\o\al(2x－4,14)的解為________．4或6[由題意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2x－4，,2x－4≤14，,x≤14))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝14－2x－4，,2x－4≤14，,x≤14，))解得x＝4或6．]5．Ceq\o\al(0,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)的值等于________．7315[原式＝Ceq\o\al(0,4)＋Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(2,5)＋…＋Ceq\o\al(18,21)＝Ceq\o\al(17,21)＋Ceq\o\al(18,21)＝Ceq\o\al(18,22)＝Ceq\o\al(4,22)＝7315．]回顧本節(jié)內(nèi)容，自我完成以下問題：1．你有解決組合問題的基本思路嗎？試總結(jié)一