數(shù)學人教B版必修4學案1.2.2單位圓與三角函數(shù)線

1.2.2單位圓與三角函數(shù)線基礎(chǔ)知識基本能力1．了解三角函數(shù)線的定義．(難點、易錯點)2．掌握在單位圓中某一角的函數(shù)線的畫法．(重點)1．會利用單位圓中的有向線段表示正弦、余弦和正切．(重點)2．能使用三角函數(shù)線求三角函數(shù)值、比較大小、解簡單的三角方程或三角不等式、證明相關(guān)的命題等．(重點、難點)1．單位圓一般地，我們把半徑為1的圓叫做單位圓．【自主測試1】若單位圓的圓心與坐標原點重合，有下列結(jié)論：①單位圓上任意一點到原點的距離都是1；②單位圓與x軸的交點只有一個，為(1,0)；③過點(1,0)的單位圓的切線方程為x＝1；④與x軸平行的單位圓的切線方程為y＝1.以上結(jié)論正確的個數(shù)為()A．1B．2C．3D．4解析：單位圓與x軸的交點有兩個，為(1,0)和(－1,0)；與x軸平行的單位圓的切線方程為y＝±1，所以②④錯誤．顯然①③正確．答案：B2．三角函數(shù)線(1)如圖(1)，設(shè)單位圓的圓心與坐標原點重合，則單位圓與x軸的交點分別為A(1,0)，A′(－1,0)，而與y軸的交點分別為B(0,1)，B′(0，－1)．設(shè)角α的頂點在圓心O，始邊與x軸的正半軸重合，終邊與單位圓相交于點P(如圖(1))，過點P作PM垂直x軸于M，作PN垂直y軸于點N，則點M，N分別是點P在x軸、y軸上的正射影(簡稱射影)．由三角函數(shù)的定義可知，點P的坐標為(cosα，sinα)，即P(cos_α，sin_α)．其中cosα＝OM，sinα＝ON.這就是說，角α的余弦和正弦分別等于角α終邊與單位圓交點的橫坐標和縱坐標．如圖(2)，以A為原點建立y′軸與y軸同向，y′軸與α的終邊(或其反向延長線)相交于點T(或T′)，則tanα＝AT(或AT′)．我們把軸上向量eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(ON,\s\up6(→))和eq\o(AT,\s\up6(→))(或eq\o(AT′,\s\up6(→)))分別叫做α的余弦線、正弦線和正切線．當角α的終邊在x軸上時，點P與點M重合，點T與點A重合，此時，正弦線和正切線都變成了一點，它們的數(shù)量為零，而余弦線OM＝1或－1.當角α的終邊在y軸上時，正弦線MP＝1或－1，余弦線變成了一點，它表示的數(shù)量為零，正切線不存在．(2)三角函數(shù)線的方向表示三角函數(shù)值的符號：正弦線、正切線的方向同y軸一致，向上為正，向下為負；余弦線的方向同x軸一致，向右為正，向左為負．三角函數(shù)線的長度等于所表示的三角函數(shù)值的絕對值．知識拓展我們根據(jù)角能作出角的三角函數(shù)線，反過來，我們也可以根據(jù)三角函數(shù)值去找角的終邊，從而找到角的取值范圍．觀察三角函數(shù)線的變化，我們知道：當角由0增加到2π時，sinα在一、四象限是增函數(shù)，在二、三象限是減函數(shù)；cosα在一、二象限是減函數(shù)，在三、四象限是增函數(shù)；tanα在各個象限內(nèi)都分別是增函數(shù)．觀察三角函數(shù)線的變化，還可以得出α∈R時，sinα，cosα的值域為[－1,1]，tanα的值域為R.【自主測試2－1】如圖，在單位圓中，角α的正弦線、正切線完全正確的是()A．正弦線eq\o(PM,\s\up6(→))，正切線eq\o(A′T′,\s\up6(→))B．正弦線eq\o(MP,\s\up6(→))，正切線eq\o(A′T′,\s\up6(→))C．正弦線eq\o(MP,\s\up6(→))，正切線eq\o(AT,\s\up6(→))D．正弦線eq\o(PM,\s\up6(→))，正切線eq\o(AT,\s\up6(→))答案：C【自主測試2－2】如果eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))分別是角α＝eq\f(3π,16)的正弦線和余弦線，那么下列結(jié)論正確的是()A．MP＜OM＜0B．MP＜0＜OMC．MP＞OM＞0D．OM＞MP＞0答案：D1．利用有向線段表示三角函數(shù)值應(yīng)注意的問題剖析：(1)三條有向線段的位置：正弦線為α的終邊與單位圓的交點到x軸的垂直線段；余弦線在x軸上；正切線在過單位圓與x軸的正方向的交點的切線上．三條有向線段中，兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外．(2)三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向α的終邊與單位圓的交點，余弦線由原點指向垂足；正切線由切點指向與α的終邊或其反向延長線的交點．(3)三條有向線段的正負：三條有向線段凡與x軸或y軸同向的為正值，與x軸或y軸反向的為負值．(4)三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母寫在前面，終點字母寫在后面．2．三角函數(shù)線的作用剖析：三角函數(shù)線在解決有關(guān)三角問題時，具有實用性、簡捷性、直觀性等特點，它是三角函數(shù)值的直觀表達形式．從三角函數(shù)線的方向可以看出三角函數(shù)值的符號，從三角函數(shù)線的長度可以看出三角函數(shù)值的絕對值的大小．三角函數(shù)線的主要作用是解三角不等式、證明三角不等式、求函數(shù)定義域及比較大小，同時它也是以后學習三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的基礎(chǔ)．如，求函數(shù)y＝log2(sinx)的定義域．我們可以通過轉(zhuǎn)化為解不等式sinx＞0.解答如下：要使函數(shù)有意義，x的取值必須滿足sinx＞0.如圖所示，eq\o(MP,\s\up6(→))是角x的正弦線，則有sinx＝MP＞0.∴eq\o(MP,\s\up6(→))的方向向上．∴角x的終邊在x軸的上方．∴2kπ＜x＜2kπ＋π(k∈Z)，即函數(shù)y＝log2(sinx)的定義域是x∈(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z.3．教材中的“思考與討論”角α＝x(rad)，且0＜x＜eq\f(π,2)，于是x，sinx，tanx都是實數(shù)．請你給x一個具體的值，比較這三個實數(shù)的大?。缓笙胍幌?，你得到的大小關(guān)系是否對區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上的任意x都成立．剖析：取x＝eq\f(π,6)，則sinx＝eq\f(1,2)，tanx＝eq\f(\r(3),3).∵eq\f(1,2)＝eq\f(3,6)＝eq\f(\r(9),6)，eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),6)＝eq\f(\r(12),6)，∴taneq\f(π,6)＞sineq\f(π,6).又∵eq\f(1,2)＝eq\f(3,6)＜eq\f(π,6)，∴sineq\f(π,6)＜eq\f(π,6).又∵taneq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),3)＝eq\f(2\r(3),6)＞eq\f(π,6)，∴taneq\f(π,6)＞eq\f(π,6).從而可知，taneq\f(π,6)＞eq\f(π,6)＞sineq\f(π,6).一般性證明：如圖所示，0＜x＜eq\f(π,2).MP為x角的正弦線，AT為x角的正切線，由于S△OPA＜S扇形OPA＜S△OAT，且S△OPA＝eq\f(1,2)OA·MP＝eq\f(1,2)sinx，S扇形OPA＝eq\f(1,2)x·OA2＝eq\f(1,2)x，S△OAT＝eq\f(1,2)OA·AT＝eq\f(1,2)tanx，∴eq\f(1,2)sinx＜eq\f(1,2)x＜eq\f(1,2)tanx，即sinx＜x＜tanx.∴若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則必有sinx＜x＜tanx.題型一作出三角函數(shù)線【例題1】分別作出eq\f(3π,4)和－eq\f(4π,7)的正弦線、余弦線和正切線．分析：利用單位圓中三角函數(shù)線的作法作圖．(1)解：在直角坐標系中作單位圓，如圖(1)，以O(shè)x軸為始邊作eq\f(3π,4)角，角的終邊與單位圓交于點P，作PM⊥Ox軸，垂足為M，由單位圓與Ox軸正方向的交點A作Ox軸的垂線，與OP的反向延長線交于T點，則sineq\f(3π,4)＝MP，coseq\f(3π,4)＝OM，taneq\f(3π,4)＝AT，即eq\f(3π,4)的正弦線為eq\o(MP,\s\up6(→))，余弦線為eq\o(OM,\s\up6(→))，正切線為eq\o(AT,\s\up6(→)).(2)同理可作出－eq\f(4π,7)的正弦線、余弦線和正切線，如圖(2)．sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,7)))＝M1P1，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,7)))＝OM1，taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4π,7)))＝A1T1，即－eq\f(4π,7)的正弦線為eq\o(M1P1,\s\up6(→))，余弦線為eq\o(OM1,\s\up6(→))，正切線為eq\o(A1T1,\s\up6(→)).反思關(guān)于三角函數(shù)線的幾點說明：(1)正弦線、余弦線、正切線這三條有向線段中兩條在單位圓內(nèi)，一條在單位圓外．(2)三條有向線段的正負：三條有向線段凡與x軸或y軸的正方向同向的為正值，與x軸或y軸的正方向反向的為負值．(3)三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母寫在前面，終點字母寫在后面．題型二利用三角函數(shù)線比較大小【例題2】比較coseq\f(4π,7)與coseq\f(5π,7)的大?。治觯合犬嫵鰁q\f(4π,7)與eq\f(5π,7)的余弦線，再利用余弦線的長度及方向進行比較．解：如圖所示，射線OP1是角eq\f(4π,7)的終邊，射線OP2是角eq\f(5π,7)的終邊，過P1，P2分別作P1M1⊥x軸，P2M2⊥x軸，垂足分別為M1，M2，所以coseq\f(4π,7)＝OM1，coseq\f(5π,7)＝OM2.由右上圖易知，OM1＞OM2，故coseq\f(4π,7)＞coseq\f(5π,7).反思利用三角函數(shù)線解決一些與三角函數(shù)有關(guān)的大小比較問題十分方便，因此，在解決類似問題時，我們要能夠熟練地畫出一個角的三角函數(shù)線，結(jié)合圖形對比得出結(jié)論．這也是數(shù)形結(jié)合思想的很好體現(xiàn)．當然利用作圖的方法解題，要注意所作圖的準確性．題型三利用三角函數(shù)線解不等式【例題3】在單位圓中畫出符合下列條件的角α終邊的范圍，并由此寫出角α的集合．(1)sinα≥eq\f(\r(3),2)；(2)cosα≤－eq\f(1,2).分析：作出滿足sinα＝eq\f(\r(3),2)，cosα＝－eq\f(1,2)的角的終邊，然后根據(jù)已知條件確定角α終邊的范圍．解：(1)作直線y＝eq\f(\r(3),2)，交單位圓于A，B兩點，連接OA，OB，則OA與OB圍成的區(qū)域(圖(1)中陰影部分)即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,3)≤α≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).(2)作直線x＝－eq\f(1,2)，交單位圓于C，D兩點，連接OC，OD，則OC與OD圍成的區(qū)域(圖(2)中的陰影部分)即為角α的終邊的范圍．故滿足條件的角α的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)≤α≤2kπ＋\f(4π,3)，k∈Z)))).反思通過解答本題，我們可以總結(jié)出用三角函數(shù)線來解基本的三角函數(shù)不等式的步驟：〖互動探究〗若將本例中(1)，(2)分別改為sinα＜eq\f(\r(3),2)，cosα＞－eq\f(1,2)，結(jié)論又如何？解：(1)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(2π,3)<α<2kπ＋\f(7π,3)，k∈Z))))；(2)eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(2π,3)<α<2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).題型四易錯辨析【例題4】利用三角函數(shù)線證明|sinα|＋|cosα|≥1.錯解：證明：如圖所示，點P為角α的終邊與單位圓的交點，則MP＝|sinα|，OM＝|cosα|，根據(jù)三角形中兩邊之和大于第三邊易知|sinα|＋|cosα|≥1.錯因分析：上述解法忽視了角α的終邊在坐標軸上的情況，并且正弦線和余弦線是有方向的，不能寫成MP＝|sinα|和OM＝|cosα|.正解：證明：當角α的終邊在x(或y)軸上時，正弦線(或余弦線)變成一個點，而余弦線(或正弦線)的長等于r(r＝1)，所以|sinα|＋|cosαα的終邊落在四個象限時，如圖，利用三角形兩邊之和大于第三邊有|sinα|＋|cosα|＝|MP|＋|OM|＞1.綜上，有|sinα|＋|cosα|≥1.1．若－eq\f(3π,4)＜α＜－eq\f(π,2)，則sinα，cosα，tanα的大小關(guān)系是()A．sinα＜tanα＜cosαB．tanα＜sinα＜cosαC．cosα＜sinα＜tanαD．sinα＜cosα＜tanα解析：如圖，在單位圓中，作出－eq\f(3π,4)＜α＜－eq\f(π,2)內(nèi)的一個角及其正弦線、余弦線、正切線．由圖知，sinα＝MP＜0，cosα＝OM＜0，tanα＝AT＞0，且MP＜OM，故sinα＜cosα＜tanα.答案：D2．對角α的正弦線敘述錯誤的是()A．正弦線的起點為坐標原點B．正弦線為有向線段C．正弦線的長度為不大于1的正數(shù)D．當角α的終邊不在坐標軸上時，正弦線所在的直線平行于y軸解析：因為正弦線的長度有可能為0，所以選項C錯誤．答案：C3．已知，角α的余