2023-2024學(xué)年山東省棗莊市滕州市鮑溝中學(xué)八年級（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析）

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一、選擇題（本大題共12小題，共36.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下列二次根式中，屬于最簡二次根式的是()

A.B.C.D.

2.下列各數(shù)是勾股數(shù)的是()

A.、、B.、、C.、、D.、、

3.在、、、、、、、、、中，無理數(shù)的個數(shù)是()

A.個B.個C.個D.個

4.、、是某三角形三邊的長，則等于()

A.B.C.D.

5.若式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則的取值范圍是()

A.B.C.D.

6.下列計算正確的是()

A.B.C.D.

7.如圖在一個高為米，長為米的樓梯表面鋪地毯，則地毯至少需要()

A.米B.米C.米D.米

8.比較下列各組數(shù)的大小，錯誤的是()

A.B.C.D.

9.若，則的結(jié)果是()

A.B.C.D.

10.海倫秦九韶公式古希臘幾何學(xué)家海倫和我國南宋數(shù)學(xué)家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，稱為海倫秦九韶公式：如果一個三角形的三邊長分別為、、，記，那么三角形的面積為：，在中，，，所對的邊分別是、、，若、、，則的面積為()

A.B.C.D.

11.在學(xué)習(xí)勾股定理時，甲同學(xué)用四個相同的直角三角形直角邊長分別為，，斜邊長為構(gòu)成如圖所示的正方形；乙同學(xué)用邊長分別為，的兩個正方形和長為，寬為的兩個長方形構(gòu)成如圖所示的正方形，甲、乙兩位同學(xué)給出的構(gòu)圖方案，可以證明勾股定理的是()

A.甲B.乙C.甲，乙都可以D.甲，乙都不可以

12.已知直角三角形兩邊的長分別為和，則此三角形的周長為()

A.B.C.或D.

二、填空題（本大題共6小題，共18.0分）

13.若，則代數(shù)式的值是______．

14.長方體的長為，寬為，高為，點離點，一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距離是______．

15.如圖，在中，，將沿翻折，使點與點重合若，，則的長為______．

16.若，，則的值為______．

17.對于任意正數(shù)，，定義運算“”如下：

，計算結(jié)果為______．

18.已知如圖：小正方形邊長為，連接小正方形的三個頂點，可得，則的周長為______．

三、解答題（本大題共6小題，共48.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

19.本小題分

計算：

；

．

20.本小題分

已知的立方根是，的平方根是．

求，的值．

求的平方根．

21.本小題分

閱讀下面計算過程：

；

；

；

請解決下列問題：

化簡：______；

根據(jù)上面的規(guī)律，請直接寫出______；

利用上面的解法，請化簡：．

22.本小題分

如圖，一架梯子長米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻米．

這個梯子的頂端距地面有多高？

如果梯子的頂端下滑了米，那么梯子的底端在水平方向滑動了多少米？

23.本小題分

如圖，某工廠前面有一條筆直的公路，原來有兩條路，可以從工廠到達公路，經(jīng)測量，，，現(xiàn)需要修建一條路，使工廠到公路的路程最短請你用尺規(guī)作圖畫出最短路徑不寫畫法，保留作圖痕跡，并求出新建路的長．

24.本小題分

學(xué)過勾股定理后，某班興趣小組來到操場上測量旗桿的高度，得到如下信息：

測得從旗桿頂端垂直掛下來的升旗用的繩子比旗桿長米如圖；

當(dāng)將繩子拉直時，測得此時拉繩子另一端的手到地面的距離為米，到旗桿的距離為米如圖．

根據(jù)以上信息，求旗桿的高度．

答案和解析

1.【答案】

【解析】解：、，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；

B、，被開方數(shù)中含分母，不是最簡二次根式，不符合題意；

C、是最簡二次根式，符合題意；

D、，被開方數(shù)中含能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，不符合題意；

故選：．

根據(jù)最簡二次根式的概念判斷即可．

本題考查的是最簡二次根式的概念，被開方數(shù)不含分母、被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式，叫做最簡二次根式．

2.【答案】

【解析】解：、、、不都是正整數(shù)，不是勾股數(shù)，故此選項不符合題意；

B、，則、、不是勾股數(shù)，故此選項不符合題意；

C、，則、、是勾股數(shù)，故此選項符合題意；

D、，則、、不是勾股數(shù)，故此選項不符合題意．

故選：．

欲判斷是否為勾股數(shù)，必須根據(jù)勾股數(shù)是正整數(shù)，同時還需驗證兩小邊的平方和是否等于最長邊的平方．

此題考查了勾股數(shù)，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三邊滿足，則三角形是直角三角形．

3.【答案】

【解析】解：根據(jù)題意可得：，，

無理數(shù)有：，，，、，共個，

故選：．

先將能化簡的數(shù)化簡，再根據(jù)無理數(shù)的定義逐個進行判斷即．

本題主要考查了無理數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，常見的無理數(shù)有：開不盡方的數(shù)，含的數(shù)，有規(guī)律但是不循環(huán)的數(shù)．

4.【答案】

【解析】解：、、是某三角形三邊的長，

，

故，

原式

．

故選：．

直接利用三角形三邊關(guān)系得出的取值范圍，再利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．

此題主要考查了三角形三邊關(guān)系以及二次根式的化簡，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．

5.【答案】

【解析】解：式子在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則，

解得：．

故選：．

直接利用二次根式的有意義，被開方數(shù)不小于，進而得出答案．

此題主要考查了二次根式有意義的條件，正確掌握二次根式有意義的條件是解題關(guān)鍵．

6.【答案】

【解析】解：，故此選項不合題意；

B.無法計算，故此選項不合題意；

C.，故此選項符合題意；

D.無法計算，故此選項不合題意．

故選：．

直接利用二次根式的加減運算法則以及二次根式的性質(zhì)分別化簡，進而得出答案．

此題主要考查了二次根式的加減運算以及二次根式的性質(zhì)與化簡，正確掌握相關(guān)運算法則是解題關(guān)鍵．

7.【答案】

【解析】解：由勾股定理得：

樓梯的水平寬度米，

地毯鋪滿樓梯的長度應(yīng)該是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，

地毯的長度至少是米．

故選：．

當(dāng)?shù)靥轰仢M樓梯時的長度是樓梯的水平寬度與垂直高度的和，根據(jù)勾股定理求得水平寬度，即可求得地毯的長度．

此題考查了生活中的平移現(xiàn)象以及勾股定理，屬于基礎(chǔ)題，利用勾股定理求出水平邊的長度是解答本題的關(guān)鍵．

8.【答案】

【解析】解：、，，

，

，

故A不符合題意；

B、，

，

，

，

，

故B符合題意；

C、，

，

，

，

，

故C不符合題意；

D、，，

，

，

故D不符合題意；

故選：．

利用平方法，以及估算無理數(shù)的大小，即可解答．

本題考查了實數(shù)的大小比較，估算無理數(shù)的大小，準(zhǔn)確熟練地進行計算是解題的關(guān)鍵．

9.【答案】

【解析】解：，

，，

，

，

．

故選：．

先根據(jù)二次根式有意義求出和的值，再計算即可．

此題考查了二次根式的有意義的條件，實數(shù)的運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．

10.【答案】

【解析】解：，

，

，

故選：．

根據(jù)公式算出的值，代入公式即可求出解

本題主要考查代入求值能力，考查了二次根式化簡的知識．

11.【答案】

【解析】解：甲同學(xué)的的方案：

大正方形的面積小正方形的面積直角三角形的面積，

，

，

，

因此甲同學(xué)的的方案可以證明勾股定理；

乙同學(xué)的的方案：

大正方形的面積矩形的面積兩個小正方形的面積，

，

得不到，

因此乙同學(xué)的的方案不可以證明勾股定理．

故選：．

由圖形中的面積關(guān)系，應(yīng)用完全平方公式即可解決問題．

本題考查勾股定理的證明，關(guān)鍵是應(yīng)用面積法，完全平方公式．

12.【答案】

【解析】解：設(shè)的第三邊長為，

當(dāng)為直角三角形的直角邊時，為斜邊，

由勾股定理得，，此時這個三角形的周長；

當(dāng)為直角三角形的斜邊時，為直角邊，

由勾股定理得，，此時這個三角形的周長，

故選：．

先設(shè)的第三邊長為，由于是直角邊還是斜邊不能確定，故應(yīng)分是斜邊或為斜邊兩種情況討論．

本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，解答此題時要注意分類討論，不要漏解．

13.【答案】

【解析】解：，

，

．

故答案為：．

先利用已知條件得，將所求代數(shù)式配方，然后利用整體代入的方法計算．

本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．

14.【答案】

【解析】解：把左側(cè)面展開到水平面上，連接，如圖，

把右側(cè)面展開到正面上，連接，如圖，

；

把向上的面展開到正面上，連接，如圖，

．

所以一只螞蟻如果要沿著長方體的表面從點爬到點，需要爬行的最短距離為．

故答案為：．

分三種情況討論：把左側(cè)面展開到水平面上，連接，如圖；把右側(cè)面展開到正面上，連接，如圖；把向上的面展開到正面上，連接，如圖，然后利用勾股定理分別計算各情況下的，再進行大小比較．

本題考查了平面展開最短路徑問題：先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點之間的最短路徑．一般情況是兩點之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．

15.【答案】

【解析】解：將沿翻折，使點與點重合，

，

，，，

，

，

，

，

解得，

故答案為：．

根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論．

本題考查了翻折變換折疊問題，勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．

16.【答案】

【解析】解：，，

，

．

故答案為．

先計算出的值，再利用完全平方公式得到，然后利用整體代入的方法計算．

本題考查了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值．二次根式運算的最后，注意結(jié)果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避免互相干擾．注意整體代入方法的運用．

17.【答案】

【解析】解：

．

故答案為：．

根據(jù)題目已知的定義運算進行計算即可．

本題考查了實數(shù)的運算，理解題目已知的定義運算是解題的關(guān)鍵．

18.【答案】

【解析】解：由勾股定理得：，，，

的周長，

故答案為：．

由勾股定理求出、以及的長，即可解決問題．

本題考查了勾股定理以及三角形周長，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．

19.【答案】解：原式

；

原式

．

【解析】先根據(jù)完全平方公式和二次根式的除法法則運算，然后合并即可；

先利用二次根式的性質(zhì)、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和絕對值的意義計算，然后合并即可．

本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則、除法法則和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是解決問題的關(guān)鍵．

20.【答案】解：的立方根是，的平方根是．

；，

解得；

當(dāng)，時，

．

則的平方根是．

的平方根是．

【解析】根據(jù)平方根立方根的性質(zhì)進行運算即可．

將、代入代數(shù)式計算數(shù)值后再求它的平方根即可．

本題考查了平方根立方根的性質(zhì)，正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)．

21.【答案】

【解析】解：

，

故答案為：；

由題意得：，

故答案為：；

．

利用分母有理化的法則進行運算即可；

分析所給的式子的形式，從而可求解；

利用的規(guī)律進行求解即可．

本題主要考查二次根式的混合運算，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運算法則的掌握．

22.【答案】解：根據(jù)勾股定理：

所以梯子距離地面的高度為：米；

答：這個梯子的頂端距地面有米高；

梯子下滑了米即梯子距離地面的高度為米，

根據(jù)勾股定理：米，

米，

答：當(dāng)梯子的頂端下滑米時，梯子的底端水平后移了米．

【解析】利用勾股定理可以得出梯子的頂端距離地面的高度．

由可以得出梯子的初始高度，下滑米后，可得出梯子的頂端距離地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距離墻的距離為米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距離．

本題考查了勾股定理在實際生活中的運用，考查了直角三角形中勾股定理的運用，本題中正確的使用勾股定理求