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2024北京市通州區(qū)高三數(shù)學(xué)含答案2024北京市通州區(qū)高三(一模)
數(shù)學(xué)(理)
一、選擇題(本大題共8個(gè)小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.復(fù)數(shù)
1i
i
+在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限
B.其次象限
C.第三象限
D.第四象限
2.右面的程序框圖輸出S的值為()A.16B.32
C.64
D.128
3.若非空集合,,ABC滿意ABC=,且A不是B的子集,則“xC∈”是“xA∈”
的()
A.充分而不必要條件
B.必要而不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
4.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為()A.24B.2042+C.28
D.2442+
5.已知{}na是首項(xiàng)為2且公差不為0的等差數(shù)列,若136,,aaa成等比數(shù)列,則{}na的前9項(xiàng)和等于()A.26
B.30
C.36
D.40
6.若不等式組340
3400
xyxyx+-≥??
+-≤??≥?
所表示的平面區(qū)域被直線43ykx=+分為面積相等的兩部分,則k的值是()
A.
37
B.
73
C.
34
D.
43
7.已知點(diǎn)()3,0A,點(diǎn)P在拋物線2
4yx=上,過點(diǎn)P的直線與直線1x=-垂直相交于點(diǎn)B,
PBPA=,則cosAPB∠的值為()
A.
12
B.
13
C.12
-
D.13
-
8.若定義域均為D的三個(gè)函數(shù)()()(),,fxgxhx滿意條件:xD?∈,點(diǎn)()()
,xgx與點(diǎn)()()
,xhx都關(guān)于點(diǎn)()()
,xfx對(duì)稱,則稱()hx是()gx關(guān)于()fx的“對(duì)稱函數(shù)”。已知
()()21,3gxxfxxb=-=+,()hx是()gx關(guān)于()fx的“對(duì)稱函數(shù)”,且()()hxgx≥恒成立,則實(shí)數(shù)b的取值范圍是()A.(
,10?-∞-?
B.10,10??-??
C.3,10??-??
D.)
10,?+∞?
第Ⅱ卷(非選擇題共110分)
二、填空題(本大題共6小題,每題5分,滿分30分.)
9.6
21xx??+??
?的綻開式中含3
x項(xiàng)的系數(shù)為______.(用數(shù)字作答)
10.在ABC?中,60,1AAC∠=?=,ABC?的面積為3,則BC的長(zhǎng)為______.
11.如圖,圓O的直徑4AB=,直線CE和圓O相切于點(diǎn)C,ACCE⊥于D,若30ABC∠=?,則AD的長(zhǎng)為______.
12.若,,abc是單位向量,且0?=ab,則()()-?-acbc的最大值為______.
13.已知函數(shù)()2logfxx=。若0ba時(shí),若()2
0fxa
+
≥對(duì)xR∈恒成立,求a的取值范圍.
已知橢圓2
2
:22Mxy+=.(Ⅰ)求橢圓M的離心率;
(Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),,,ABC為橢圓M上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn),若四邊形OABC為平行四邊形,推斷ABC?的面積是否為定值,并說明理由.
20.(本小題13分)
已知數(shù)列{}na滿意111,n
nnaaap+=-=,其中*
nN∈,p是不為1的常數(shù).
(Ⅰ)證明:若{}na是遞增數(shù)列,則{}na不行能是等差數(shù)列;
(Ⅱ)證明:若{}na是遞減的等比數(shù)列,則{}na中的每一項(xiàng)都大于其后任意()
*mmN∈個(gè)項(xiàng)的和;(Ⅲ)若2p=,且{}21na-是遞增數(shù)列,{}2na是遞減數(shù)列,求數(shù)列{}na的通項(xiàng)公式.
2024北京市通州區(qū)高三(一模)數(shù)學(xué)(理)
參考答案
一、選擇題(本大題共8個(gè)小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.A試題分析:
1ii
+21i
+=,故對(duì)應(yīng)點(diǎn)位于第一象限.考點(diǎn):復(fù)數(shù)幾何意義.2.D
考點(diǎn):程序框圖.3.A
試題分析:由已知,集合C為集合BA,的交集,可知xC∈Ax∈?,Ax∈?xC∈,故選A.考點(diǎn):充要條件.4.B
考點(diǎn):三視圖.5.C
試題分析:設(shè)等差數(shù)列公差為d,則由已知)52(2)22(2
dd+?=+,解得2
1
=
d,所以{}na的前9項(xiàng)和為362
1
28929=??+
?.考點(diǎn):等差數(shù)列、等比中項(xiàng).6.B
考點(diǎn):簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃.
本題主要考查簡(jiǎn)潔線性規(guī)劃,考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法,屬中檔題.主要難點(diǎn)為通過條件確定
43
ykx=+所經(jīng)過的點(diǎn).由約束條件作出可行域,由直線34+=kxy過點(diǎn))34,0(A,結(jié)合平面區(qū)域被直線34
+
=kxy分為面積相等的兩部分,可知,直線過BC的中點(diǎn)D,聯(lián)立方程組???=-+=-+0
43043yxyx,解得)25
,21(D,利用兩點(diǎn)求
斜率公式得出答案.7.D
試題分析:由題)0,1(F,由于過拋物線2
4yx=上一點(diǎn)P的直線與直線1x=-垂直相交于點(diǎn)B,可得||||PFPB=,又PBPA=,故||||PFPA=,所以P的坐標(biāo)為)22,2(±,由余弦定理可得cosAPB∠
3
1
332)62(332222222-=??-+=??-+=PAPBABPAPB.
考點(diǎn):拋物線的定義、余弦定理.
本題主要考查拋物線的定義與性質(zhì),考查同學(xué)的計(jì)算力量,屬于中檔題。通過對(duì)條件的分析,結(jié)合拋物線的定義,可得||||PFPB=,又PBPA=,故||||PFPA=,可求出點(diǎn)P的坐標(biāo),進(jìn)而在APB?中,3=PB,
3=PA,62)022()31(22=-+--=AB,由余弦定理,cosAPB∠
PA
PBABPAPB??-+=2222,可得cosAPB∠的值.
8.D
試題分析:作出)(xg和)(xf的圖象,若)()(xgxh≥恒成立,則)(xh在直線)(xf的上方,即)(xg在直線)(xf的下方,則直線)(xf的截距0>b,且原點(diǎn)到直線bxy+=3的距離1≥d,即110
|
|1
3|00|2≥=
++-=
bbd,即10||≥b,則10≥b或10-≤b(舍),即實(shí)數(shù)b的取值范圍是),10[+∞.
考點(diǎn):不等式恒成立.
本題主要考查不等式恒成立問題,由對(duì)稱函數(shù)的定義,結(jié)合)()(xgxh≥恒成立,轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵,即利用點(diǎn)到直線的距離公式,通過表達(dá)原點(diǎn)到直線bxy+=3的距離,且1≥d,進(jìn)而解不等式,得10≥b,由題10-≤b應(yīng)舍去,本題綜合性較強(qiáng),有肯定的難度.
第Ⅱ卷(非選擇題共110分)
二、填空題(本大題共6小題,每題5分,滿分30分.)9.20
考點(diǎn):二項(xiàng)式定理.10.13
試題分析:由已知3sin2
1
=???=
AA
BA
CS,∴4=AB,由余弦定理可得13=BC.
考點(diǎn):余弦定理.11.1
試題分析:由已知,12
1
2121=?==
ABACAD.考點(diǎn):弦切角定理,相像三角形.12.12+
考點(diǎn):平面對(duì)量的運(yùn)算.13.),22[+∞
試題分析:函數(shù)()2logfxx=的圖象如下,若ab時(shí),()
fx單調(diào)遞增區(qū)間為()
2
,,1,
a
??
-∞-+∞
?
??
,單調(diào)遞減區(qū)間為
2
,1
a
??
-
?
??
;當(dāng)2
a,所以2
1
xx
a
--=?!?分
4
1
a
?=+,由于0
a>,所以0
?>。
所以方程2
1
xx
a
--=有兩個(gè)不等實(shí)根:
22
12
aaaaaa
xx
++-+
==。
所以函數(shù)()fx有且只有兩個(gè)零點(diǎn)212aaaxa++=26
1+=和
222aaaxa-+=2
6
1-=?!?分
(Ⅱ)()()21ax
fxaxxea?
?'=+
-???
?!?分令()0fx'=,即()210axxa??+-=??
?,解得2
xa
=-或1x=?!?分當(dāng)0a>,列表得:
x
2,a??-∞-??
?
2
a
-2,1a??-???
1
()1,+∞
()fx'
+
0-
0+
()fx
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
微小值
單調(diào)遞增
……………………6分當(dāng)0a,列表得x
(),1-∞
1
21,a??-???
2
a
-12,a??-+∞???
()fx'-
0+
0-
()fx
單調(diào)遞減
微小值
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
……………………7分綜上,當(dāng)0a>時(shí),()fx單調(diào)遞增區(qū)間為()2,,1,a?
?-∞-
+∞???,單調(diào)遞減區(qū)間為2,1a??-???
;
當(dāng)2a,所以當(dāng)2xa->>,所以2
1
0xxa--
>,從而()0fx>?!?0分當(dāng)2xa≥-時(shí),由(Ⅱ)可知函數(shù)在1x=時(shí)取得最小值()110a
fea
=-,
2121212
2224222,,212121
kmmm
xxxxyykkk-+=-=+=+++?!?分由于四邊形OABC為平行四邊形,所以()121222
42,,2121km
mOBOAOCxxyykk??=+=++=-
?++??
。所以22
42,2121km
mBkk??-
?++??
,代入橢圓方程,化簡(jiǎn)得2
2
214km+=。………………………10分由于()()22
1212ACxxyy=
-+-()
2
2
121214kxxxx=++-
2
2
2
22
44(22)
12121kmmkkk-??=+--?++??
222
22121kkm++-=2612km
+=?!?1分
點(diǎn)O到AC的距離2
1mdk
=
+?!?2分
所以O(shè)AC?的面積2211616
22241OAC
mkSACdmk
?+=?=??=+。
綜上,OAC?的面積為定值
6
4
13分由于OAC?的面積等于ABC?的面積,所以ABC?的面積為定值
6
4
?!?4分考點(diǎn):橢圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.
本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系,所使用方法為韋達(dá)定理法:因直線的方程是一次的,圓錐曲線的方程是二次的,故直線與圓錐曲線的問題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問題,最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問題,故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點(diǎn)方法之一,尤其是弦中點(diǎn)問題,弦長(zhǎng)問題,可用韋達(dá)定理直接解決,但應(yīng)留意不要忽視判別式的作用.
20.(Ⅰ)證明見解析;(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)()()*
2133
n
nanN-=-∈.
試題解析:(Ⅰ)由于{}na是遞增數(shù)列,所以11n
nnnnaaaap++-=-=。……………1分
由于11a=,所以2
231,1apapp=+=++。
假設(shè)數(shù)列{}na是等差數(shù)列,那么123,,aaa成等差數(shù)列。
所以2132aaa=+,因而2
0pp-=,解得1p=或0p=?!?分由已知1p≠,當(dāng)10,nnpaa+==,這與{}na是遞增數(shù)列沖突,故p的值不存在。
所以數(shù)列{}na不行能是等差數(shù)列?!?分
由于1
2
1
2
111111,,,222222m
nnnnnm
n+++????????????
≥≥???≥?
???????
????
????
??,所以121
2111111222222m
nnnnnnm
+++??????????
??++???+≤++???+????
??
????????
??
??
?!?分
由于1
2
11111111121122222212
m
nnnm
nnm++++??-?????????????????++???+=?=-???
??
?????
??
??
??????????-……………6分
而11111111022222n
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