保定市徐水一中高二上學期期中數學試卷（理科）

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2016—2017學年河北省保定市徐水一中高二（上）期中數學試卷（理科）一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．某工廠生產A、B、C三種不同型號的產品，其數量之比依次是3：4:7，現(xiàn)在用分層抽樣的方法抽出樣本容量為n的樣本，樣本中A型號產品有15件，那么n等于（）A．50 B．60 C．70 D．802．同時擲2枚硬幣，那么互為對立事件的是（)A．恰好有1枚正面和恰有2枚正面B．至少有1每正面和恰好有1枚正面C．至少有2枚正面和恰有1枚正面D．最多有1枚正面和恰有2枚正面3．如果命題“p且q”是假命題，“非p"是真命題，那么（）A．命題p一定是真命題B．命題q一定是真命題C．命題q可以是真命題也可以是假命題D．命題q一定是假命題4．已知命題P：?x0∈R,x02+2x0+2≤0，則￢p是(）A．?x0∈R,x02+2x0+2＞0 B．?x∈R,x2+2x+2≤0C．?x∈R，x2+2x+2＞0 D．?x∈R，x2+2x+2≥05．橢圓3x2+ky2=1的一個焦點的坐標為（0,1），則其離心率為（）A．2 B． C． D．6．已知實數x，y滿足x2+y2﹣4x+6y+4=0，則的最小值是（）A．2+3 B．﹣3 C．+3 D．﹣37．“1＜m＜3”是“方程+=1表示橢圓”的(）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件8．兩圓x2+y2﹣6x+16y﹣48=0與x2+y2+4x﹣8y﹣44=0的公切線條數為()A．4條 B．3條 C．2條 D．1條9．已知雙曲線的一個焦點與拋物線x2=20y的焦點重合,且其漸近線的方程為3x±4y=0,則該雙曲線的標準方程為（）A． B． C． D．10．執(zhí)行如圖的程序框圖，若輸入的a，b，k分別為1，2，3,則輸出的M=(）A． B． C． D．11．設P是圓（x﹣3）2+（y+1）2=4上的動點,Q是直線x=﹣3上的動點,則|PQ｜的最小值為（）A．6 B．4 C．3 D．212．已知雙曲線E:=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F（3，0)，過點F的直線交雙曲線于A，B兩點，若AB的中點坐標為N(﹣12，﹣15），則E的方程為（）A． B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1二、填空題樣本中共有五個個體，其值分別為a,0，1，2，3．若該樣本的平均值為1,則樣本方差為．14．已知圓O：x2+y2=5，直線l：xcosθ+ysinθ=1（0）．設圓O上到直線l的距離等于1的點的個數為k，則k=．15．已知點，點P（x0，y0)為拋物線y=上的動點，則y0+|PQ|的最小值為．16．方程=kx+2有兩個不同的實數根，則實數k的取值范圍為．三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17．(10分）已知命題p：方程表示焦點在x軸上的橢圓，命題q：方程(k﹣1）x2+（k﹣3）y2=1表示雙曲線．若p∨q為真,p∧q為假,求實數k的取值范圍．18．（12分）某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：．(1）求圖中a的值;（2）根據頻率分布直方圖,估計這100名學生語文成績的平均分；（3）若這100名學生語文成績某些分數段的人數(x)與數學成績相應分數段的人數（y)之比如表所示，求數學成績在=×10=2故答案為：2【點評】本題考查了樣本數據平均數、方差、標準差的計算．屬于簡單題．14．已知圓O：x2+y2=5,直線l：xcosθ+ysinθ=1（0）．設圓O上到直線l的距離等于1的點的個數為k，則k=4．【考點】直線與圓的位置關系．【分析】找出圓O的圓心坐標與半徑r，利用點到直線的距離公式求出圓心O到直線l的距離d,根據d與r的大小關系及r﹣d的值，即可作出判斷．【解答】解：由圓的方程得到圓心O(0,0），半徑r=，∵圓心O到直線l的距離d==1＜,且r﹣d=﹣1＞1=d，∴圓O上到直線l的距離等于1的點的個數為4，即k=4．故答案為：4【點評】此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：圓的標準方程，點到直線的距離公式,弄清題意是解本題的關鍵．15．已知點,點P（x0，y0）為拋物線y=上的動點，則y0+|PQ|的最小值為2．【考點】拋物線的簡單性質．【分析】根據拋物線的定義得到y(tǒng)0+|PQ｜=d﹣1+|PQ｜=｜PF｜+|PQ|﹣1≥｜FQ｜﹣1=2,從而得到答案．【解答】解：用拋物線的定義：焦點F（0，1),準線y=﹣1,設P到準線的距離為dy0+|PQ|=d﹣1+|PQ｜=|PF|+｜PQ｜﹣1≥|FQ｜﹣1=2（當且僅當F、Q、P共線時取等號）故y0+|PQ｜的最小值是2．故答案為：2．【點評】本題考查了拋物線的定義，拋物線的性質，是一道中檔題．16．方程=kx+2有兩個不同的實數根，則實數k的取值范圍為．．【考點】根的存在性及根的個數判斷．【分析】將問題轉化為兩個函數的交點問題，畫出函數圖象，結合圖象,從而求出k的范圍．【解答】解:解:設y=f（x）=,（y≥0,﹣1≤x≤1）；即x2+y2=1（半圓），y=h（x)=kx+2(x∈R)即y﹣2=kx，直線恒過點M（0,2)，∵方程f(x）=h（x)有兩個不同的實數根,(k＞0）即y=f（x）和y=h(x）有兩個不同的交點，畫出f（x)，h(x)的圖象，如圖示：,當直線與圓相切時，k=±，當直線過(0，2），（﹣1，0)時，k=±2，∴﹣2≤k＜﹣或＜k≤2,故答案為：．【點評】本題考查了函數的零點問題，考查了轉化思想，是一道中檔題．三、解答題(本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.)17．（10分)(2016秋?徐水縣校級期中）已知命題p:方程表示焦點在x軸上的橢圓，命題q:方程（k﹣1）x2+（k﹣3)y2=1表示雙曲線．若p∨q為真，p∧q為假，求實數k的取值范圍．【考點】復合命題的真假．【分析】根據橢圓和雙曲線的方程求出命題p，q的等價條件，結合復合命題之間的關系進行求解即可．【解答】解：當p為真時，k＞4﹣k＞0，即2＜k＜4；…（2分）當q為真時,（k﹣1）(k﹣3）＜0,即1＜k＜3；…若p∨q為真，p∧q為假，則p和q有且只有一個為真命題，則（1)若p為真q為假，則，即3≤k＜4；…（7分）（2）q為真p為假，則，即1＜k≤2；…（9分）∴綜上所述，若p∨q為真，p∧q為假，則k的取值范圍是1＜k≤2或3≤k＜4．…（10分）【點評】本題主要考查復合命題真假之間的關系，求出命題的等價條件是解決本題的關鍵．18．(12分）（2012?廣東）某校100名學生期中考試語文成績的頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是：．（1）求圖中a的值;(2）根據頻率分布直方圖，估計這100名學生語文成績的平均分;（3)若這100名學生語文成績某些分數段的人數（x)與數學成績相應分數段的人數（y)之比如表所示，求數學成績在［50，90）之外的人數．分數段[50，60)［60,70）[70,80）[80，90）x:y1：12：13:44：5【考點】用樣本的頻率分布估計總體分布；頻率分布直方圖;眾數、中位數、平均數．【分析】（1）由頻率分布直方圖的性質可10（2a+0.02+0。03+0.04）=1，解方程即可得到a的值;（2）由平均數加權公式可得平均數為55×0。05+65×0.4+75×0.3+85×0。2+95×0。05，計算出結果即得;（3)按表中所給的數據分別計算出數學成績在分數段的人數,從總人數中減去這些段內的人數即可得出數學成績在［50,90)之外的人數．【解答】解:（1)依題意得，10(2a+0.02+0。03+0。04)=1,解得a=0.005;（2）這100名學生語文成績的平均分為:55×0。05+65×0。4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73（分）；(3）數學成績在[50，60)的人數為:100×0.05=5，數學成績在[60，70）的人數為：,數學成績在［70,80)的人數為：，數學成績在[80，90）的人數為：，所以數學成績在［50,90）之外的人數為：100﹣5﹣20﹣40﹣25=10．【點評】本題考查頻率分布估計總體分布,解題的關鍵是理解頻率分布直方圖,熟練掌握頻率分布直方圖的性質，且能根據所給的數據建立恰當的方程求解．19．（12分)（2010春?海淀區(qū)期末）已知圓c關于y軸對稱，經過拋物線y2=4x的焦點，且被直線y=x分成兩段弧長之比為1：2，求圓c的方程．【考點】圓的標準方程．【分析】根據題意設出圓的標準方程,圓c關于y軸對稱,經過拋物線y2=4x的焦點，被直線y=x分成兩段弧長之比為1：2,寫出a，r的方程組，解方程組得到圓心和半徑．【解答】解：設圓C的方程為x2+（y﹣a）2=r2∵拋物線y2=4x的焦點F（1,0）∴1+a2=r2①又直線y=x分圓的兩段弧長之比為1：2,可知圓心到直線y=x的距離等于半徑的；∴②解①、②得a=±1，r2=2∴所求圓的方程為x2+（y±1)2=2【點評】本題考查求圓的標準方程，在題目中有一個條件一定要注意，即圓c關于y軸對稱，這說明圓心在y軸上，設方程的時候,要引起注意．20．（12分）（2015秋?咸陽期末）在平面直角坐標系中，已知一個橢圓的中心在原點，左焦點為，且過D（2，0）．（1）求該橢圓的標準方程；(2）若P是橢圓上的動點，點A（1，0），求線段PA中點M的軌跡方程．【考點】橢圓的簡單性質．【分析】（1)由已知得橢圓的半長軸a=2，半焦距，則半短軸b=．即可得出．（2)設線段PA的中點為M（x，y），點P的坐標是(x0,y0），利用中點坐標公式可得，即由于點P在橢圓上,代入橢圓方程即可．【解答】解：（1）由已知得橢圓的半長軸a=2，半焦距，則半短軸b==1．又橢圓的焦點在x軸上，∴橢圓的標準方程為．（2）設線段PA的中點為M(x，y），點P的坐標是（x0，y0），由,得∵點P在橢圓上，得，∴線段PA中點M的軌跡方程是．【點評】本題考查了橢圓的標準方程及其性質、中點坐標公式、“代點法”等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．21．(12分）（2015秋?高安市校級期末）如圖，已知圓C的方程為：x2+y2+x﹣6y+m=0，直線l的方程為：x+2y﹣3=0．（1）求m的取值范圍；（2)若圓與直線l交于P、Q兩點，且以PQ為直徑的圓恰過坐標原點,求實數m的值．【考點】直線與圓的位置關系．【分析】（1）將圓的方程化為標準方程：，若為圓，須有，解出即可；(2）設點P（x1，y1），Q（x2，y2）,由題意得OP、OQ所在直線互相垂直,即kOP?kOQ=﹣1，亦即x1x2+y1y2=0,根據P、Q在直線l上可變?yōu)殛P于y1、y2的表達式，聯(lián)立直線方程、圓的方程，消掉x后得關于y的二次方程，將韋達定理代入上述表達式可得m的方程，解出即可；【解答】解:（1)將圓的方程化為標準方程為:,依題意得：,即m＜,故m的取值范圍為（﹣∞,)；（2）設點P（x1，y1），Q（x2，y2）,由題意得：OP、OQ所在直線互相垂直，則kOP?kOQ=﹣1,即,所以x1x2+y1y2=0,又因為x1=3﹣2y1，x2=3﹣2y2，所以(3﹣2y1）(3﹣2y2）+y1y2=0，即5y1y2﹣6（y1+y2）+9=0①，將直線l的方程：x=3﹣2y代入圓的方程得:5y2﹣20y+12+m=0,所以y1+y2=4，，代入①式得:，解得m=3，故實數m的值為3．【點評】本題考查直線與圓的位置關系，考查圓的方程，屬中檔題,解決本題(2）問的關鍵是正確理解“以PQ為直徑的圓恰過坐標原點”的含義并準確轉化．22．（12分）（2014?河西區(qū)三模)已知拋物線E：x2=2py（p＞0），直線y=kx+2與E交于A、B兩點，且?=2，其中O為原點．（1）求拋物線E的方程；（2）點C坐標為（0，﹣2)，記直線CA、CB的斜率分別為k1，k2，證明:k12+k22﹣2k2為定值．【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）將直線與拋物線聯(lián)立，消去y,得到關于x的方程，得到兩根之和、兩根之積，設出A、B的坐標，代入到?=2中，化簡表達式，再將上述兩根之和兩根之積代入得到p，從而求出拋物線標準方程．（2）先利用點A,B，C的坐標求出直線CA、CB的斜率，再根據拋物線方程輪化參數y1,y2，得到k和x的關系式,將上一問中的兩根之和兩根之積代入，化簡表達式得到常數即可．【解答】（1）解:將y=kx