基于icm方法的板殼結(jié)構(gòu)多工況拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

基于icm方法的板殼結(jié)構(gòu)多工況拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)

0拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)由于板殼結(jié)構(gòu)可以承受橫向負(fù)荷，因此在工程中是一種非常常見的結(jié)構(gòu)形式，在航空航天、航空、機(jī)械、化工、建筑、車輛等領(lǐng)域發(fā)揮著重要作用。為了最大限度地設(shè)計(jì)板殼結(jié)構(gòu)，國內(nèi)外科學(xué)家對板殼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行了研究和研究。1999年，krog和olhoff通過均勻化方法研究了具有靜荷載或自由振動的圓形和平面，并對加強(qiáng)筋板進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。2000年代，采用統(tǒng)一的方法，lee和其他各向同性多層外殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)。2002年，a垂直設(shè)計(jì)提出了殼結(jié)構(gòu)的形狀和結(jié)構(gòu)的綜合優(yōu)化方法?；诮Y(jié)構(gòu)的最大剛度，涂層優(yōu)化模型為涂層優(yōu)化方法。2002年，belblirida和bulman采用適應(yīng)性最小適應(yīng)性優(yōu)化方法（cato）。2005年，afersons采用了一套完整的通用域名格式的優(yōu)化算法：大小優(yōu)化、形狀優(yōu)化和通信優(yōu)化。在大多數(shù)情況下，需要重新設(shè)計(jì)的事務(wù)和地殼結(jié)構(gòu)，以分析薄結(jié)構(gòu)的共同負(fù)荷和位移限制的結(jié)構(gòu)。2008年，公園和楊采用自適應(yīng)內(nèi)部空間組方法（ad51d）對超級別地殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了優(yōu)化。總體來說,對平板拓?fù)鋬?yōu)化的研究較多,而對殼結(jié)構(gòu)的研究相對較少.目前對于板殼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的研究多數(shù)還停留在單工況階段,而對多工況下的拓?fù)鋬?yōu)化還僅限于骨架結(jié)構(gòu)和平面結(jié)構(gòu),研究板殼結(jié)構(gòu)的很少.造成這種情況的一個原因是多數(shù)拓?fù)鋬?yōu)化模型是在體積約束(或質(zhì)量約束)下,以最大剛度(或最小應(yīng)變能)為目標(biāo)進(jìn)行求解,而這樣的優(yōu)化模型存在一些難以克服的問題.它不僅使拓?fù)鋬?yōu)化的建模規(guī)范同截面與形狀優(yōu)化不一致,而且體積或質(zhì)量約束很難事先確定,更嚴(yán)重的是在解決多工況問題時(shí)會遇到多目標(biāo)規(guī)劃的困難.針對以上問題,本文基于ICM(獨(dú)立、連續(xù)、映射)方法,使用獨(dú)立連續(xù)拓?fù)渥兞?引入重量、剛度過濾函數(shù),建立起以結(jié)構(gòu)重量最輕為目標(biāo),以結(jié)構(gòu)位移為約束的顯式化連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化模型,采用對偶映射下的序列二次規(guī)劃進(jìn)行求解.然后給出了單工況位移約束下平板和圓柱殼結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)?將結(jié)果與已有文獻(xiàn)進(jìn)行了對比.最后研究了多工況位移約束下平板和圓柱殼結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).1單元拓?fù)渥兞縯的顯式化表達(dá)應(yīng)用有限元方法將待優(yōu)化結(jié)構(gòu)離散為n個單元,其中第i個單元的“有”和“無”分別用單元拓?fù)渥兞縯i取1或0表示.這樣,整個結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫螤罹陀蓡卧負(fù)渥兞肯蛄縯={t1,…,tn}T確定,于是結(jié)構(gòu)重量W、節(jié)點(diǎn)j的關(guān)切位移uj等,也就成了t的函數(shù).因此在多工況位移約束下,以結(jié)構(gòu)重量最輕為目標(biāo)的拓?fù)鋬?yōu)化問題一般形式為:{求t={t1,?,tn}Τ使W(t)=n∑i=1wi(ti)→mins.t.url(t)≤ˉurti∈0或1(i=1,?,n;r=1,?,R;l=1,?,L)(1)其中wi為第i個單元的重量;url為第l個工況下第r個位移約束處的位移,ˉur為第r個位移約束的上限,L為總工況數(shù),R為定義的位移約束數(shù).為了把問題(1)表達(dá)的拓?fù)鋬?yōu)化問題轉(zhuǎn)化為拓?fù)鋬?yōu)化模型,需要把目標(biāo)函數(shù)wi和url對于拓?fù)渥兞肯蛄縯的隱函數(shù)顯式化.依據(jù)ICM方法,采用過濾函數(shù)將0-1離散的拓?fù)渥兞坑成錇檫B續(xù)的拓?fù)渥兞?可以建立起連續(xù)可微的顯式化優(yōu)化模型;再應(yīng)用合適的優(yōu)化算法求解此優(yōu)化模型;最后將得到的最優(yōu)連續(xù)拓?fù)渥兞糠囱轂?-1離散的最優(yōu)拓?fù)渥兞?引入定義在的過濾函數(shù),將單元拓?fù)渥兞縯i由離散變量0或1擴(kuò)展到連續(xù)變量,則重量目標(biāo)wi(t)的顯式化表達(dá)為:wi(t)=fw(ti)w0i(2)其中fw(ti)=eti/γw-1e1/γw-1為重量的指數(shù)型過濾函數(shù),其中參數(shù)γw=0.1863;w0i為第i個單元的固有重量.結(jié)構(gòu)任意節(jié)點(diǎn)在某一方向上的廣義位移uj可以應(yīng)用莫爾定理由下式表示:uj=n∑i=1Dji=n∑i=1∫(σVi)ΤεRidv=n∑i=1(ΡRi)ΤuVji(3)其中Dji=∫(σVji)TεRidv為單元i對廣度位移uj貢獻(xiàn)的莫爾積分形式,σVi為在uj位移方向上作用單位虛載荷下單元i的應(yīng)力向量,εRi為在實(shí)載荷下單元i的應(yīng)變向量,PRi為實(shí)載荷下單元i的節(jié)點(diǎn)力向量,uVji為單位虛載荷下單元i的虛位移向量.引入定義在剛度過濾函數(shù)fk(ti)對單元i的固有單元剛度矩陣k0i進(jìn)行識別,將單元拓?fù)渥兞縯i由離散變量0或1擴(kuò)展到連續(xù)變量:ki=fk(ti)k0i(4)其中fk(ti)=eti/γk-1e1/γk-1為剛度的指數(shù)型過濾函數(shù),其中參數(shù)γk=0.0621.可以建立起第v次迭代時(shí),uj(t)的顯式化表達(dá)式:uj=n∑i=1fk(t(v-1)i)fk(t(v)i)(ΡRi)ΤuVi(5)其中PRi為v-1第次迭代時(shí),實(shí)載荷下單元i的節(jié)點(diǎn)力向量;uVi為第v-1次迭代時(shí),單位虛載荷下單元i的虛位移向量.定義單元對位移的貢獻(xiàn)系數(shù)為:Aji=(PRi)uVi(6)再定義位移約束方程系數(shù)為:cji=Aijfk(t(v-1)i)(7)則位移約束顯式表達(dá)式為:{求t={t1,?,tn}Τ使W(t)=n∑i=1w0ifw(ti)→mins.t.uj(t)=n∑i=1cjifk(ti)≤ˉuj0≤ti≤1(i=1,?,n;j=1,?,m)(8)其中m為經(jīng)過約束初選后的有效位移約束數(shù),m≤L×R.2拓?fù)鋬?yōu)化的程序2.1對偶映射下的序列二次規(guī)劃求解方法為了降低優(yōu)化模型(8)的求解工作量.采用對偶規(guī)劃求解:{求λ∈{λ1,?,λm}Τ使Φ(λ)→maxs.t.λj≥0(j=1,?,m)(9)其中:Φ(λ)=min0≤ti≤1(L(t,λ))(10)L(t,λ)=n∑i=1w0ifw(ti)+m∑j=1λj(n∑i=1cjifk(ti)-ˉuj)(11)對偶規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)Φ(λ)可采用二階泰勒展式近似轉(zhuǎn)化為:{求λ∈{λ1,?,λm}Τ使-Φ(λ)=12λΤDλ+FΤλ→mins.t.λj≥0(j=1,?,m)(12)其中:Djl=-?2Φ(λ0)?λj?λl=n∑i=1cji1f2k(t*i)?fk(t*i)?t*i?t*i?λl(13)Fj=-?Φ(λ0)?λj+m∑l=1?2Φ(λ0)?λj?λlλ0l=-n∑i=1cji1fk(t*i)-m∑l=1n∑i=1cji1f2k(t*i)?fk(t*i)?t*i?t*i?λlλ0l+ˉuj(14)由K-T條件,有:?L(t,λ)?ti=w0i?fw(t*i)?ti+m∑j=1λjcji(-1f2k(t*i)?fk(t*i)?ti){≤0(t*i=1)=0(0<t*i<1)≥0(t*i=0)(15)由式(15)得知t*i是λ的函數(shù)t*i(λ),將其代入式(15)并化簡,得到當(dāng)0<t*i<1時(shí)的恒等式:et*i/γw(et*i/γk-1)2≡Get*i/γk(16)其中:G=γww0iγk(e1/γw-1)(e1/γk-1)m∑j=1cjiλj求解中為了避免發(fā)生奇異,將ti下限0取作一個很小的正數(shù)t;為了提高求解效率,將單元連續(xù)拓?fù)渥兞縿澐譃橹鲃幼兞考捅粍幼兞考?其中被動變量集為已經(jīng)設(shè)計(jì)好的部分,其單元拓?fù)渥兞恐等閠或1.2.2優(yōu)化收斂準(zhǔn)則優(yōu)化的收斂準(zhǔn)則為:ΔW=|W(v)-W(v-1)|W(v-1)<ε(17)其中ΔW為相鄰兩次優(yōu)化結(jié)果的尋優(yōu)的結(jié)構(gòu)重量W(v)和W(v-1)的相對誤差,v-1與v為相鄰兩次迭代指標(biāo),ε為輸入的重量收斂精度.針對拓?fù)鋬?yōu)化中出現(xiàn)的棋盤格現(xiàn)象,采用了圖形過濾的方法進(jìn)行消除.2.3本文拓?fù)鋬?yōu)化程序的流程(1)輸入優(yōu)化參數(shù),按MSC.Patran建立有限元模型,賦單元連續(xù)拓?fù)渥兞砍跏贾祐=0時(shí)為t(0)i=1.(2)由MSC.Nastran對第v次迭代進(jìn)行有限元分析.(3)提取有限元分析結(jié)果,根據(jù)式(7)計(jì)算優(yōu)化模型系數(shù)cji.(4)按Matlab中的二次規(guī)劃算法求解模型(12)得到λ(v),再求解方程(16),即可得到t(v).(5)根據(jù)得到的單元連續(xù)拓?fù)渥兞縯(v),確定結(jié)構(gòu)的拓?fù)湫螤?(6)按式(17)判斷是否收斂:如是,則輸出t*并轉(zhuǎn)(7)進(jìn)行反演;如否,則v=v+1轉(zhuǎn)(2).(7)將連續(xù)的拓?fù)渥兞糠囱轂?-1離散的拓?fù)渥兞?通過搜索確定最佳反演閾值,停止尋優(yōu).3計(jì)算值的示例3.1最優(yōu)拓?fù)渌枷朊芏热鐖D所示四邊固支的正方形平板,中心受集中荷載P作用,彈性模量E=10.92×105,泊松比ν=0.3,密度ρ=1.0,集中荷載P=100.約束:中心點(diǎn)的縱向位移小于0.74.采用4節(jié)點(diǎn)板單元,利用對稱性將板的1/4劃分為25×25網(wǎng)格進(jìn)行計(jì)算,收斂精度ε為0.001,經(jīng)27次迭代收斂,圖2顯示的是復(fù)原后整體的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型.結(jié)構(gòu)初始重量為10.000,優(yōu)化后的重量為4.933,是初始重量的49.33%;初始中心點(diǎn)縱向位移為-5.6236,優(yōu)化后縱向位移為-7.3539.結(jié)構(gòu)重量和位移的迭代歷史如圖3所示,其中前25次為在連續(xù)設(shè)計(jì)空間內(nèi)進(jìn)行對優(yōu)化模型進(jìn)行求解,后2次為在離散設(shè)計(jì)空間內(nèi)尋找最優(yōu)的反演閾值.作為對照,文獻(xiàn)基于相同的基結(jié)構(gòu)和網(wǎng)格劃分,采用CATO方法以最小應(yīng)變能為目標(biāo)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化,體積約束50%,迭代69次,其最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型如圖4所示.兩種方法得到了相似的拓?fù)湫螤詈拖嘟慕Y(jié)構(gòu)最優(yōu)重量,但I(xiàn)CM方法所需的迭代次數(shù)僅為文獻(xiàn)的40%.3.2單元結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化如圖5所示四個角點(diǎn)固支的圓柱殼,中心受集中荷載P作用,彈性模量E=10.92×103,泊松比ν=0.3,密度ρ=0.001,集中荷載P=100.約束:中心點(diǎn)的縱向位移小于3.1.采用4節(jié)點(diǎn)殼單元,劃分為40×40網(wǎng)格,收斂精度ε取0.001.初始重量為10.000,中心點(diǎn)縱向位移為-1.5424.經(jīng)49次迭代收斂,結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型如圖6所示,最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型的重量為3.450,是初始重量的34.50%,中心點(diǎn)縱向位移為-3.0606.圖7為結(jié)構(gòu)重量和位移的迭代歷史,其中后5次為反演迭代,它保證了最優(yōu)拓?fù)錆M足位移約束.對于同樣的圓柱殼,文獻(xiàn)取了1/4結(jié)構(gòu),劃分為20×20網(wǎng)格,采用CATO方法以最小應(yīng)變能為目標(biāo)進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化,施加35%的體積約束,其最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型如圖8所示.可以看出,二者的最優(yōu)拓?fù)浞浅Ｏ嘟?說明采用ICM解決圓柱殼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問題是可行的.3.3不同邊界條件下的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖9所示的矩形平板,彈性模量E=10.92×105,泊松比ν=0.3,密度ρ=1.0.結(jié)構(gòu)受兩個工況作用,工況1:在板長邊1/3處的中間,作用集中荷載P1=100;工況2:在板長邊2/3處的中間,作用集中荷載P2=100.約束:在工況1和工況2單獨(dú)作用,以及兩個工況同時(shí)作用(多工況)時(shí),在力作用點(diǎn)處的縱向位移均小于1.2.分別考察的在4種不同邊界條件(固-固-固-固,固-簡-固-簡,簡-固-簡-固,固-固-簡-簡)下,平板的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).采用4節(jié)點(diǎn)板單元,劃分為90×60網(wǎng)格,收斂精度ε取0.001.表1給出了位移約束值d=1.2時(shí),具有不同邊界條件的平板優(yōu)化結(jié)果.可以看到,不同的邊界條件使平板具有不同的承載能力.對于同樣的位移約束值,承載能力越大的平板可以優(yōu)化的空間越大.另外,對于同一個基結(jié)構(gòu),由于多工況要綜合考慮每個工況的受力情況,因此多工況情形要比單工況情形保留更多的結(jié)構(gòu),優(yōu)化空間小于單工況情形.圖10-圖13給出了上述四種不同邊界條件下的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型.可以看到,固定邊界使結(jié)構(gòu)承載力更強(qiáng),因而最優(yōu)拓?fù)涠急M量與固定邊界連接(如圖10和圖11的對比).在固定邊界無法滿足承載要求時(shí),最優(yōu)拓?fù)鋾由斓匠休d能力相對較弱的簡支邊界(如圖11和圖12的對比).另外,由圖13可以看到,對于非對稱邊界“固-固-簡-簡”,無論是單工況還是多工況情形,其最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型也是非對稱的.因此,同一平板在不同邊界下的表現(xiàn)出的最佳傳力是不同的,在實(shí)際工程應(yīng)用中,對平板結(jié)構(gòu)可參考不同邊界下的最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型進(jìn)行布置.3.4位移約束值d的影響如圖14所示四個角點(diǎn)固支的圓柱殼,彈性模量E=10.92×103,泊松比ν=0.3,密度ρ=0.001.結(jié)構(gòu)受兩個工況作用,工況1:在沿母線1/3處的中間,作用集中荷載P1=100;工況2:在沿母線2/3處的中間,作用集中荷載P2=100.考察位移約束值d依次取2.0,2.2,2.4,2.6,2.8,3.0時(shí),在工況1和工況2單獨(dú)作用,以及兩個工況同時(shí)作用(多工況)下,圓柱殼的最優(yōu)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu).采用4節(jié)點(diǎn)殼單元,劃分為90×60網(wǎng)格,收斂精度ε取0.001.圖15-圖20給出了位移約束值d從2.0增加到3.0的過程中圓柱殼最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型的變化過程.由于工況1和工況2的對稱性,兩者的最優(yōu)拓?fù)鋬H是朝向不同,因此只給出了工況1的結(jié)構(gòu)最優(yōu)拓?fù)?觀察位移約束值d增大時(shí)圓柱殼最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型的變化可以發(fā)現(xiàn):單工況和多工況最優(yōu)拓?fù)錁?gòu)型的變化方式完全不同,可見多工況最優(yōu)傳力路徑不是各個單工況最優(yōu)傳力路徑的簡單疊加,說明包絡(luò)法并不能保障收斂到最優(yōu)拓?fù)?表2給出了不同位移約束值下各工況的優(yōu)化結(jié)果,可見ICM方法可以用較少的迭代步數(shù)完成殼體的拓?fù)鋬?yōu)化,而且充分發(fā)掘了結(jié)構(gòu)的承載能力.4多工況板殼結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的最優(yōu)拓?fù)浠贗CM方法,分別對單工況和多工況位移約束下的板殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行了拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì).(1)以結(jié)構(gòu)最小重量為目標(biāo),以多種載荷工況下結(jié)構(gòu)位移為約束,建立