《2022屆復習必備一2021屆浙江省高考沖刺數(shù)學試卷分項解析》

《2022屆復習必備一2021屆浙江省高考沖刺數(shù)學試卷分項解析》

專題9.立體幾何與空間向量

一、單選題

1.（2021.浙江高三二模）己知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）

俯視圖

372

A.V2

【答案】D

【解析】

判斷出幾何體的結構，從而計算出幾何體的體積.

【詳解】

由三視圖可知，幾何體是如下圖所示三棱錐，

如秣扣力1

故體積為一1Xf—x1lx，Q3X-2---m--=——0.

故選：D

2.（2021?浙江紹興市?高三三模）某四棱臺的三視圖如圖所示，則該四棱臺的體積是（）

正視圖側視圖

俯視圖

1014〃，八

A.—B.—C.10D.14

33

【答案】B

【解析】

本題首先可結合三視圖繪出原圖，然后根據(jù)棱臺的體積公式即可得出結果.

【詳解】

如圖，結合三視圖繪出原圖：

2

3.（2021.浙江溫州市.高三其他模擬）已知過平面a外一點A的斜線/與平面a所成角為斜線/交平面

Q于點&若點A與平面。的距離為1,則斜線段在平面。上的射影所形成的圖形面積是（）

71

A.37B.2〃C.乃D.—

2

【答案】A

【解析】

先得出射影形成的圖形為半徑為百的圓面，進而求得面積.

【詳解】

如圖，過點A作平面a的垂線，垂足為C,連接BC,所以線段為線段AB在平面a上的射影，ZABC

為斜線/與平面a所成的角，則NABC=工，乂AC=1，所以80=6,故射影形成的圖形為半徑為

6

的圓面，其面積顯然為3萬.

故選：A.

4.（2021?浙江高三其他模擬）設a,4，/為不重合的平面，機，〃為不重合的直線，則其中正確命題的

序號為（）

3

①aJ_y,/31.Y,則a//￡

②a1/3,aC\/3^n,mln,則

③“2_La,nA./3,mLn,則a?!?/?

④a_Ly,尸J-y,aCl/?=?i,則mJ_y

A.①③B.②③C.②④D.③④

【答案】D

【解析】

根據(jù)線面關系的定理性質，逐項分析判斷即可得解.

【詳解】

①中，?,￡可以相交并垂直于7,①錯誤

②中，直線用可能不在平面a內，②錯誤

③中，垂直了互相垂直的兩條直線的兩個平面垂直，故③正確；

④中，兩個平面垂直于第三個平面，這兩個平面的交線也垂直于第三個平面，故④正確,

故選：D

5.（2021.浙江嘉興市.高三其他模擬）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm3）

C.3D.4

【答案】B

【解析】

由三視圖還原幾何體直觀圖，可知其由一個長方體與一個直三棱柱組合構成，利用柱體、錐體的體積公式,

4

即可求兒何體的體積

【詳解】

由三視圖可知：幾何體由一個長方體和一個直三棱錐組合而成，如下圖示,

117

/.幾何體的體積V=2xlxl+—x2x—xlxl=—.

323

故選：B

6.（2021?浙江嘉興市?高三二模）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示,則該幾何體中長度為3cm的

棱有（）.

A.0條B.1條C.2條D.3條

【答案】C

【解析】

由三視圖求得直觀圖，在邊長為2的正方體中畫出該圖形，分別求出各邊長,即可得解.

【詳解】

5

C

AB,

如圖，在邊長為2的正方體中畫出其直觀圖為三棱錐尸-ABC,

其中P為所在棱中點，

其中CP=AP=V22+22+l2=3，

而BC=2BBP=5

故選：C.

7.（2021?浙江高三期末）某四棱錐的三視圖（圖中每個小方格的邊長為1）如圖所示，則該四棱錐的體積為

()

33

【答案】C

【解析】

根據(jù)三視圖畫出宜觀圖即可求解.

【詳解】

如圖所示：

該四棱錐的一條側棱垂直于底面且底面為正方形，其中高為2,底面正方形對角線的長度為2.直觀圖如圖所

示，

6

14

R4=2，AC=2,正方形ABC。的面積為2,所以該四棱錐的體積V=—x2x2=—.

33

故選：C.

8.（2021?浙江高三二模）我國古代科學家祖沖之之子祖唯在實踐的基礎上提出了體積計算的原理：“基勢既

同，則積不容異”（“幕”是截面積，“勢''是幾何體的高），意思是兩個同高的兒何體，如在等高處截面的面積

恒相等，則它們的體積相等.已知某不規(guī)則幾何體與如圖所示的三視圖所表示的幾何體滿足“幕勢既同”，則

該不規(guī)則幾何體的體積為（）.

俯視圖

A.8—7TB.8—27rC.12—2,71D.12—兀

【答案】C

【解析】

根據(jù)三視圖轉換為直觀圖可得該幾何體由長為3,寬為2,高為2的長方體兩頭挖去兩個半圓柱組成，即可

求出體積.

【詳解】

根據(jù)幾何體的三視圖轉換為直觀圖如圖所示，該幾何體由長為3,寬為2,高為2的長方體兩頭挖去兩個半

圓柱組成.

則可得該幾何體的體積為2x3x2-萬XFX2=12-2〃，

根據(jù)“基勢既同，則積不容異”規(guī)則可得該不規(guī)則幾何體的體積為12-2兀.

故選：C.

7

9.（2021?浙江高三其他模擬）一個圓錐的母線與其軸所成的角為60°,則該圓錐的側面展開圖的圓心角為

（）

A.—B.乃C.D.心兀

【答案】D

【解析】

根據(jù)展開前底面圓周長即展開后扇形弧長，建立等量關系，求解圓心角.

【詳解】

如圖，設圓錐母線長為/,底面圓半徑為廣，圓錐的側面展開圖的圓心角為a,

???圓錐的母線與其軸所成的角為60。，

???在Rt^AOB中，-=sin60=—.

I2

則在圓錐的側面展開圖扇形中，由2%r=。/,得。=江=2兀x昱=也兀.

故選：D.

10.（2021?浙江高三其他模擬）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位：cm3）

是（）

8

正視圖側視圖

俯視圖

【答案】D

【解析】

還原該幾何體，計算其體積即可.

【詳解】

如圖即為幾何體直觀圖，將其分割為左邊的三棱柱與右邊的四棱錐,

即丫=12?2?2+、2-2-2=型.

233

故選：D.

11.（2021?浙江高三期末）正三棱錐（底面為正三角形，頂點在底面的射影為底面中心的棱錐）的三視圖如

圖所示，則正視圖（等腰三角形）的腰長等于（）

正視圖惻視圖

9

A.2A/5B.2A/6C.2療D.5

【答案】D

【解析】

根據(jù)側視圖得側樓長與底面的高，結合垂直關系即可求解正視圖的腰長.

【詳解】

將正三棱錐置于一長方體中如圖所示：

則正視圖為AMEF由側視圖可得MG=2J7,AD=3百

由于。為底面中心，所以又MD=MG=2幣

所以正視圖的腰長EM=\lMD2-ED2=J28-3=5

故選：D

12.（2021?浙江高三期末）已知點A、8在平面a的兩側，則點A、B到a的距離分別為3和5,則AB

的中點到a的距離為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】

由線面垂直性質得到線線平行，將空間點面距離轉化為平面線段長度，再由平面中點坐標公式求解即可.

【詳解】

如圖，設A8的中點為C,過A、B分別作平面a的垂線，垂足為A'、B'.

則AA//BB',AA,B,B'四點共面.過C作CC'_LA'B',垂足為C'，則CCHAA,

又A4'_La,則CC'JLa.即C'C即為所求點到平面a的距離.

10

-3+5

在平面AA'BB'中，A'A=5,BB'=3,C為A8中點，則C'C

2

故選：D.

B

13.（2021?浙江高三期末）某幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示,則該幾何體的體積（單位：cm3）

「V32幣）

D.

3亍

【答案】A

【解析】

利用正方體模型分割出符合題意的幾何體，再求體積.

【詳解】

如圖，在棱長為2的正方體ABC。—AB'C'。'中，取C'。’的中點E,三棱錐E—BCO的三視圖滿足題意.

“11cCC4

VE-BCD=3X2x2x2x2=3'

故選：A.

11

14.（2021?浙江紹興市?高三二模）某兒何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的體積（單位:

cm3）是（）

If,臼

正視圖側視圖

7

俯視圖

814

A.—B.8C.—D.14

33

【答案】c

【解析】

首先還原幾何體，再根據(jù)體積公式計算結果.

【詳解】

=1,下底面的面積s'=^x4x2=4,則

該幾何體是如圖所示的三棱臺，上底面的面積s=-X2X1

22

幾何體的體積V=1><（1+4+J5N）X2=?.

2

;

故選：C

15.（2021?浙江紹興市?高三二模）某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積是（）

12

俯視圖

A.B.25/3C.D.12^1

333

【答案】D

【解析】

由三視圖可得該幾何體是一個直三棱柱截去一個三棱錐后所得幾何體，結合題中數(shù)據(jù)，由體積公式，即可

求出結果.

【詳解】

由三視圖可得，該幾何體是一個直三棱柱ABC-AgG截去一個三棱錐O-A4G后所得幾何體（如圖），

則其體積為丫=匕8cG一%-的。,=gx2xgx4—gxgx2xGx2=與班.

故選：D.

16.（2021?浙江高三三模）己知一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

13

【答案】C

【解析】

把給定的三視圖還原得一四棱錐，求該錐體體積即可得解.

【詳解】

由給定的三視圖知，這個幾何體是四棱錐P-A8CQ,底面ABCD是邊長為2的正方形，且以，平面ABCQ,

如圖：

四棱錐P-ABCD的高出=2,底面ABCD面積為S=AB2^4,

1Q

則該幾何體體積為V=-SPA=~.

33

故選：C

17.(2021?浙江湖州市?高三二模)已知直線/,加和平面a()

A.若〃/加，機ua,則〃/aB.若〃/a，mua,則〃/桃

C.若/_La,加ua,貝ij/_|_加D.若/_Lm,/±a.則加J_a

【答案】C

【解析】

根據(jù)線面關系的判定定理和性質分別判斷即嘰

14

【詳解】

對A,若l"m,mua,則〃/?；?ua，故A錯誤；

對B,若〃/a，機ua,則〃/加或/，加異面，故B錯誤；

對C,若/La,機uc,則由線面垂直的性質可得/，加，故C正確；

對D,若/，加，ILa,則相〃。或，"ua,故D錯誤.

故選：C.

18.（2021.浙江嘉興市.高三二模）某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm）,則該幾何體的體積（單位：cm3）

俯視圖

【答案】A

【解析】

利用三視圖畫出直觀圖可得幾何體的體積.

【詳解】

由三視圖可知，該幾何體是下面為棱長等于2cm的正方體，

上面是與正方體同底有一側棱與底面垂直且高2an的四棱錐的組合體,

I32

如下圖，所以幾何體的體積為：23+-x2x2x2=—n3.

3367

15

故選：A.

19.（2021?浙江溫州市?高三三模）如圖，等腰直角三角形ABC在平面a上方，N8AC=90°，若AABC以

BC為旋轉軸旋轉，形成的旋轉體在平面a內的投影不可能的是（）

【答案】C

【解析】

對直線5c與平面a的位置關系進行分類討論，判斷出投影的形狀，即可得出合適的選項.

【詳解】

若8C_La,則形成的旋轉體在平面a內的投影如D選項所示；

若BCHa，則形成的旋轉體在平面a內的投影為正方形；

若與。所成的角的取值范圍是（0,5時，則形成的旋轉體在平面a內的投影如A、B選項所示.

投影不可能如C選項所示.

16

故選：c.

20.（2021?浙江高三二模）如圖，在等腰梯形A3CZ）中，AB=2AD=2BC=2CD=4.現(xiàn)將△D4C沿

對角線AC所在的直線翻折成△O'AC,記二面角D—AC—B大小為。（0＜々＜兀），則（）.

A.存在a,使得。AL平面O'BCB.存在a,使得。'A_LBC

C.不存在e,使得平面。'AC，平面ABCD.存在。，使得平面D'ABL平面A8C

【答案】B

【解析】

利用反證法可判斷A；對B,尋找特殊值a=90°，證明此時O'A_L8c可判斷；對C,舉反例，當口=90。時,

平面。'AC,平面ABC；對D,利用反證法可證明.

【詳解】

取A8中點E,連接。E,交AC于F,因為AB=2AD=2BC=2CD=4，

所以都是等邊三角形，所以AC_LEO，/D4C=/84C=30°，ZACB=901

在翻折過程中，AC1D'F,AC1.FE,所以/￡＞'FE=a.

對于A,假設存在a,使得O'A,平面O'BC,因為DCu平面O'BC,

所以。'A_LO'C,與O'A和D'C成60,角矛盾，故A錯誤：

對B,當a=90-時，平面力AC,平面ABC,因為BCLAC，所以8C,平面Z/AC，

又因為O'Au平面。'AC，所以。'AL8C，所以存在a,使得ZX4_LBC,故B正確；

對C,當￡=90°時，平面力AC_L平面ABC,故C錯誤；

對D,假設存在a,使得平面DAB,平面48C，過以作1AB于例，

因為平面平面ABC=A3,所以O'M_L平面ABC,

因為ACu平面ABC,所以AC,O'M,

17

乂因為AC_Lor,E/FryD'M=iy所以AC_L平面DMF，

又因為MFu平面DME，所以ACL/W,

又因為AC_LFE，所以FN與FE重合，

即M與E重合，此時ZD'EF=90-

與ND'E尸為等腰△FED的一個底角矛盾，故D錯誤.

故選：B.

21.（2021?浙江高三其他模擬）已知在圓錐SO中，尸為母線SC的中點，A8為圓。的直徑（點A,B不

與C重合），記二面角P—AC-B,P-BC-A,P-AB-C的大小分別為a,夕，九則（）

A.若a＞Y,則。＞尸B.若/,則

C.若二＜九則尸＜/D.若二＜7,則尸＜/

【答案】C

【解析】

過點P作R7J■平面A8C,過。'作O'O_LAC,O'E±BC,O'F±AB,易證AC_L平面?O'O，得到

PO'

NP。。二面角尸—4。一8的平面角，且31//＞0。'=3萬，同理得到ZPEO',NPRO'分別是二面角

PO'PO'

P-BC-A,P-AB-C的平面角，且tanNPEO'=一，tan/月/0'=丁，再由CEO'。是矩形和O'

O'EOF

為OC的中點，得到EO'2+O'D2=OF2+O'F2＞結合選項判斷.

【詳解】

如圖所示:

18

過點P作PO_L平面A8C,過O'作O'。"LAC,O'E±BC,O'F±AB,

易得PO'LAC,且POcO'O=。，

所以4CJ■平面POT）,

po'

所以NPDO'二面角P—AC—3的平面角，且tan/PZ）O'=丁，

OD

同理NPE0',NPR7分別是二面角p—BC—A,P-AB-C的平面角,

PO'PO'

且tanZPEO'=——，tanZPFO'=——，

O'EO'F

因為AB是直徑，所以AC_L8C,

乂因為O'。，AC，O'E工BC，

所以CEO'0是矩形，

因為點P為中點，且POV/SO,

所以。為OC的中點，

所以EO'-+07）2=。,。2=。。,2,

乂因為OF2+O'F2=OO'2，

所以EO'2+O'D1=OF2+O'F2，

當a>/時，O'D<OT,而。石,。'。大小不確定，即久，大小不確定；

當a<7時，（JD>O'F,則O'E<O/，O'E<O'F,即尸<7,

故選：C

22.（2021?浙江高三二模）在三棱錐尸―ABC中，Zft4C=60°,NP/$=NB4C=8,二面角3—B4—C

的大小為a,則氏a可能是（）

A.6=30°,a=60°B.9=45°,a=60°

C.8=45°,a=90°D.6=60°,a=90°

19

【答案】C

【解析】

作出符合題意的圖形，對于選項A、B：

由。=6()°時，進行推理，得到OC=AC，矛盾，故。。6()0,A、B錯誤；

對于選項C、D：

當a=90°時，即？EDCa=90?.計算出”4B=NQ4C=45°,同理可求ZR4C=45°.即可判斷

【詳解】

如圖示：

P

N54c=60。，NPAB=NPAC=8,過P作尸。垂直a于O,過。作08垂直48于8,過。作0C垂直

AC于C,由圖形的對稱性知：AB^AC,所以AABC為等邊三角形.

過8作8。垂直AP于。，連結CD,則則NBDC=a

對于選項A、B：

。=60°時，ABQC為等邊三角形，所以5C=3O=8.

由AABC為等邊三角形，得到6C=AB=AC,

所以OC=AC：而CD_LB4,所以。CHAC,矛盾，故aw60。，A、B錯誤；

對于選項C、D：

當a=90°時，即？BOCa=90?.不妨設BC=2,則AB=AC=2.

在ABDC中，BD=CD,N8OC=9()°,由勾股定理得：BD=CD=41

在△ABO中，BDLAB,AB=2,BD=4i，所以A。=J/B?-=J4一2=0，所以

NPAB=8=45。，同理可求ZR4C=45°.故C正確，D錯誤.

故選：C

23.(2021?浙江紹興市?高三二模)已知直線/,〃?，平面。,耳，則()

20

A.若1ua,m〃I,則B.若/〃a,則a_L/7

C.若/〃a,a;B,則/_L￡D,若mua,lu0,1〃m,則a〃/7

【答案】B

【解析】

對ABCD,在長方體中一一驗證：對ACD取返利否定，對B利用面面垂直的判定定理證明.

【詳解】

在長方體ABCD-EFGH中，如圖示：

對于A：若/ua,相〃/,則取平面ABCD為a,即直線A8為/,CD為m,則/ua,相〃/,

但是所以根IIa不成立，故A不正確；

對于B：因為“|a,作平面九使得/7旦=由線面平行的性質可得：l\\rn.

因為/_LP，所以加上力，又加三々，所以a-L力.故B正確；

對于C：若/〃a,a_L4，則/_L尸，取平面ABCD為a,平面ADHE為夕，直線E4為/,此時滿足

“/〃a,但是/=￡,所以/，夕不滿足，故C不正確；

對于D：巖mua,luB，l〃m,則a〃/，取平面A8CQ為a,平面A。/花為夕，直線8c為/,直線

EH為m,此時滿足“小<=。,/<=￡,/〃機，”但是&、/相交，不滿足a〃尸.故D錯誤.

故選：B

24.（2021?浙江溫州市?高三其他模擬）某三棱錐的三視圖如圖所示.則該三棱錐內切球的半徑是（）

21

A.ZzVilb-c.1D.2夜

666

【答案】A

【解析】

由三視圖可得三棱錐直觀圖，利用等體積法求出球的半徑即可.

【詳解】

根據(jù)三視圖可得該三棱錐的直觀圖如下：

取AB、AC的中點為E、。則有平面ABC，ZABC=90°,BC=2,AB=2上,PE=3,

所以。石=1,AC=4,DC=2,尸C=4

故三棱錐的表面積+

2222\{2J

所以5=76+a，

又VP-ABC=|SGABC.PE=；X'

22

設內切球的半徑為R,則：S表?A=VP_ABC可得R=二二叵

36

故選：A

25.（2021?浙江高三其他模擬）水平放置的正三棱錐V-ABC的正視圖如圖所示，則正三棱錐V-ABC的

體積為（）

A.V15B.2715C.3而D.372

【答案】A

【解析】

看圖，由圖知L4=V?=3,于是，利用正三棱錐的性質，列出三棱錐的體積公式求解即可

【詳解】

由圖知UA=V<B=3,下是OB=WB?-vo?=5所以，AB=AC=BC=2S5,

進而SAABC=gX（26）2X等=3百，三棱錐的高為h=y/5（因為頂點V在底面的射影為AABC的重

心），所以V=gxX人=

故答案選：A

23

26.（2021?全國高三專題練習）如圖，長方形A8CD中，AB=-，A￡>=1,點E在線段AB（端點除

2

7T

外）上，現(xiàn)將△?!￡）￡沿OE折起為AA'OE.設NAOE=a,二面角A-DE-C的大小為夕，若a+/?=],

則四棱錐A'-BCDE體積的最大值為（）

1

Byr^一］口后一］

12.8

【答案】A

【解析】

將棱錐4'—BCDE的底面邊長5E及高用含有a的三角函數(shù)來表示，根據(jù)體積公式寫出棱錐體積，整理化

簡后利用三角函數(shù)求最值.

【詳解】

設過A與OE垂直的線段長為。，

則AE=tana,0<tana<-DE=---,a=sina,

2cosa

則四棱錐A-BCDE的高人=a?sin夕=sina?sin=sinacosa,

-tana'xsinacosa

^V15sinacosa-sin2a)

一(4l5sin2a+cos2a］---

12、>12

24

1

—sin2a+—cos2a

I44n

=-sin（2a+0）---

3v712

二四棱錐A-BCDE體積的最大值為‘一L=’.

3124

故選：A.

27.（2021.浙江高三期末）如圖，已知正方體ABCO—AgGA中，P為平面Ag4內一動點，P到底面

A3CZ）的距離與到直線AR的距離相等，則P點的軌跡是（）

A.直線B.圓C.拋物線D.橢圓

【答案】A

【解析】

過A作〃/耳。，作PF1AD],PE±l，作叩_1底面43。，根據(jù)圖形可將尸尸=尸//轉化為竺=如,

PE3

即可確定P點軌跡.

【詳解】

過A作〃/BQ,作PFLAA，PE，/,作尸”，底面A8CD,如圖,

25

設正方體棱長為1,由平面幾何知識可得菱形與AE間的距離為J5sin60。=逅

2

sinZPEH=-^=—

所以V63

T

所以PF=PH=^~PE

3

所以在平面ABQ1內滿足竺=Y5

PE3

所以P點的軌跡是直線，

故選：A

28.（2021?浙江高三期末）已知底面ABCO為正方形的四棱錐P—ABCD,P點的射影在正方形A8C￡>內,

且P到的距離等于PD的長，記二面角P-AB-。的平面角為a,二面角P—CD—A的平面角為萬，

二面角「一A。一C平面角為y，則下列結論可能成立的是（）

A.a-p=yB.a-y<pC.a=/3<yD.a>（3=y

【答案】C

【解析】

設2點在正方形4?CO內的射影為。，作得PE=PD；

若A成立，由對稱性可知。與正方形ABCO中心。重合，此時不滿足PE=PD，A錯誤；

若B成立，由知。在AC上，得到PB=PD>PE，B錯誤；

若C成立，由a=￡知。在5cA0中點居G連線上，由尸</知QwOG,可知存在滿足?石=尸。的。

26

點，C正確；

若D成立，由￡=/知。在5。匕由c>￡知。此時不存在滿足EE=?D的。點，D錯誤.

【詳解】

設P點在正方形ABC。內的射影為。，連接AC,80,垂足為E，則

對于A,若。=/,由對稱性可知，。點在AC上；

同理，當￡=/時，。點在匕則4?？?0=。，即。點與。點重合，

此時PB=PD，又PB>PE，；.PD>PE，與PD=PE矛用,A錯誤；

對于B,若。=7,則。點在AC匕此時期=尸。，又PB>PE，:.PD>PE，與PD=PE矛盾,B

錯誤；

對于C,若a=/3,則。點在BC,AD中點廠,G連線上，如下圖所示：

由對稱性可知：PB=PC,此時PEJ_3C，即E與f重合，PF=PD，

???夕<7，，Q在線段0G上，設正方形ABC。邊長為。，

35

則當0G=ja時，QF=QD=qa,使得PE=PD成立,C正確；

88

對于D,若月二/,則。在3。匕如下圖所示：

27

-：a>/3,則Q在線段05上，此時不存在點。滿足QE=ED,使得PE=PD，D錯誤.

故選：C.

29.（2021?浙江高三三模）在三棱錐?！狝6C中，AD=2AB=2AC=2BC,點A在面88上的投影G

是△BCD的垂心，二面角G—AB—C的平面角記為a,二面角G-BC—A的平面角記為夕，二面角

G—CD—A的平面角記為7,則（）

A.a>0>yB.a>y>/3

C./3>y>aD.y>(3>a

【答案】C

【解析】

先根據(jù)題意作出各二面角的平面角,再在每一個直角三角形中將角用三角函數(shù)表示出達，然后再通過比較

邊長從而達到比較角的大小的目的.

【詳解】

因為G為點A在平面BCD的投影,且G為△BCD的垂心連接OG交于點E，連接AE,可知

平面ZME，所以可知皿=￡>C,所以G在AE上的投影為”，過“作連接GF.

連接3G交QC于"，連接AM.

這樣4GFH=a,NGEH=尸,NGMA=/,

乂因為AZ)=2AB=2AC=2BC*在△ABO中，AB+8D>AD.可得BD>AB=BC.

28

在△BCD中,

D

B

GM=GCcosZCGM=GCcosZCDB,

GE=GCcosZ.CGE=GCcosZCBD.

GMcosZCDB

~GE~COS2CBD

jr

又因為在ABCD中，3。=DC>3C,所以0<NCDB<NCBA<—,所以cosNCDB>cosNCBA>0,

2

GMcosZCDB.

所以------------->1,所以GM>GE

~GEcosZCBA

而AE=y/AG2+GE2,AM=yjAG2+GH2,

所以

AG

所以在AAGE中，sin￡=—史，

AE

AQ

所以在^AGM中，sin/=-----,

AM

因為AA/>AE，所以sin〃>siny,所以萬〉y.

由題意，可知AG,平面BCD,所以CDLAG，

乂G為△88的垂心，所以且430班/=3,

所以平面所以CD_LAB,

取AB的中點N,連接CN、DN.

由于為正三角形，所以ABACN,HCNcCD=C,

所以平面CON,因此DN_LAB,由于N為A8的中點，所以力人=。8,

又DB=DC,所以三棱錐O—ABC為正三棱錐.

GHGH

在分別Rt^GHE，Rt^GHF中，tan/3-,tana-，

HEHF

而HE<HF,b>a,

29

從而可知選項C正確.

故選：C.

30.（2021?浙江金華市?高三其他模擬）如圖，在等邊三角形A8C中，。,后分別是線段上異于端

點的動點，且BD=CE,現(xiàn)將三角形A0E沿直線OE折起，使平面也犯，平面，當。從3滑動

到A的過程中，則下列選項中錯誤的是（）

A.NADB的大小不會發(fā)生變化B.二面角A-3。一C的平面角的大小不會發(fā)生變化

C.BD與平面ABC所成的角變大D.AB與。上所成的角先變小后變大

【答案】C

【解析】

過點A作AGJ_6C，交OE于點H,交BC于點G,連接8"，可證明在三角形ADE沿直線DE折起

的過程中，加/，平面3。匹，然后用x的值分別將各個選項中的角的相應三角函數(shù)表示出來，然后判斷

可得答案.

【詳解】

設等邊三角形A8C的邊長為1,AD=x（O<x<l）,則3O=l-x

30

在AABC中，由8D=CE,則DE〃BC

過點A作AG_L8C，交DE于點、H,交8c于點G,連接5"，則AHLDE

46=走,/40”=/486=60°,所以/1〃=—x.3瀉與瀉（一）

22

在三角形AOE沿直線￡>E折起的過程中，AHA.DE,HGLBC始終滿足.

由平面平面8CEO,平面A￡>ED平面3CEZ）=OE，所以平面BCE。

山u平面BCEDMAHLBH

在⑷7G中,BH=鴻（E

所以AB=JA"2+6"2

所以cosNADB=AD?+破一AB?

2xADxBD4

所以NADB大小不變，故選項A正確.

過H作HO上BD交BD丁。點,由DH='，則0"='光

24

山AHJ_平面8CED，又BDu平面3CEO，則AHLBO

由AWcO"=H，所以BD±平面AOH.

所以NAOH為二面角A-BD-C的平面角

百

ATT---X

在直角△AOH中，tanAAOH=——==—=6

OH-1X

所以NAOH大小不變，故選項B正確.

31

A

—x)=V(lr)

oABCD=-BCxHG^-x\x

22

由Af7，DE廁AH_18C,又HG_LOE.且“GcA”="

所以平面AGH,乂AGu平面AG”,所以BC_LAG

由AHI.平面BCE。，由"Gu平面BCED.則AHLHG

所以AG=>JAH2+GH2=^|X2+1(1-X)2

=—BCxAG

設點。到平面ABC的距離為d.

由等體積法可得VA_BCD=VD_ABC,B|j|xS.BCDxA”=gxS?Bcxd

c,?LXBCXHGXAH走x(l-x)

則d=------=-------------=J彳

S"KC-xBCxAGJx?+(l-x)

當。從8滑動到A的過程中,x的值從1變小到0,這一過程中逐漸變大.

所以在這一過程中，sin。變小，則角。變小，故選項C不正確.

I11DE//BC,則NABC(或其補角)為A3與OE所成的角.

由上可知：BC±AG,則tanZABC=型=2AG=6J叱+(1—x.=02犬一2x+1