函數(shù)的概念與圖象6種常見考法歸類

5.1函數(shù)的概念與圖象6種常見考法歸類1.函數(shù)的概念給定兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合A和B，如果按照某種對(duì)應(yīng)關(guān)系f，對(duì)于集合A中的每一個(gè)實(shí)數(shù)x，在集合B中都有唯一的實(shí)數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y＝f(x)，x∈A，其中x叫作自變量，集合A叫作函數(shù)的定義域.2.值域若A是函數(shù)y＝f(x)的定義域，則對(duì)于A中的每一個(gè)x(輸入值)，都有一個(gè)y(輸出值)與之對(duì)應(yīng)，我們將所有輸出值y組成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}稱為函數(shù)的值域.3.同一個(gè)函數(shù)如果兩個(gè)函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，定義域相同，那么這兩個(gè)函數(shù)就是同一個(gè)函數(shù).4.函數(shù)的圖象將自變量的一個(gè)值x0作為橫坐標(biāo)，相應(yīng)的函數(shù)值f(x0)作為縱坐標(biāo)，就得到坐標(biāo)平面上的一個(gè)點(diǎn)(x0，f(x0)).當(dāng)自變量取遍函數(shù)定義域A中的每一個(gè)值時(shí)，就得到一系列這樣的點(diǎn)，所有這些點(diǎn)組成的集合(點(diǎn)集)為{(x，f(x))|x∈A}，即{(x，y)|y＝f(x)，x∈A}，所有這些點(diǎn)組成的圖形就是函數(shù)y＝f(x)的圖象.5.作圖、識(shí)圖與用圖(1)畫函數(shù)圖象常用的方法是描點(diǎn)作圖，其步驟是列表、描點(diǎn)、連線．(2)正比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象是一條直線，反比例函數(shù)的圖象是雙曲線，二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象是拋物線，開口方向由a值符號(hào)決定，a>0，圖象開口向上，a<0時(shí)，圖象開口向下，對(duì)稱軸為x＝－eq\f(b,2a)．6.判斷一個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的方法①判斷集合A，B是否為非空數(shù)集.②判斷集合A中任一元素在集合B中是否有唯一的元素與之對(duì)應(yīng).滿足上述兩條，則該對(duì)應(yīng)關(guān)系是函數(shù)，要注意“任意性”“存在性”“唯一性”，只要一個(gè)不滿足便不能構(gòu)成函數(shù).7.判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一個(gè)函數(shù)的方法①一般先求定義域，若定義域不同，則不是同一個(gè)函數(shù)；若定義域相同，可再化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，看對(duì)應(yīng)關(guān)系是否相同，若對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，則是同一個(gè)函數(shù).②因?yàn)楹瘮?shù)的值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以只要兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系都分別相同，值域就一定相同.8.求函數(shù)定義域時(shí)，要注意應(yīng)用下列原則：(1)如果f(x)是整式，那么函數(shù)的定義域是實(shí)數(shù)集R.(2)如果f(x)是分式，那么函數(shù)的定義域是使分母不等于零的實(shí)數(shù)的集合.(3)如果f(x)是偶次根式，那么函數(shù)的定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子不小于零的實(shí)數(shù)的集合.(4)如果f(x)是由幾部分構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分都有意義的實(shí)數(shù)的集合，也就是使各部分有意義的實(shí)數(shù)的集合的交集.(5)如果f(x)是根據(jù)實(shí)際問題列出的，那么函數(shù)的定義域是使解析式本身有意義且符合實(shí)際意義的實(shí)數(shù)的集合.(6)復(fù)合函數(shù)的定義域就是使所有式子都有意義的自變量的取值范圍，注意相同的對(duì)應(yīng)法則所作用對(duì)象的范圍是一致的.注意定義域必須用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)用并集符號(hào)“∪”連接.9.抽象函數(shù)的定義域1已知fx的定義域，求fgx的定義域：若fx的定義域?yàn)閇a，b]，則fgx中a≤gx≤b，從中解得x的取值范圍即為fgx的定義域.2已知fgx的定義域，求fx的定義域：若fgx的定義域?yàn)閇a，b]，即a≤x≤b，求得gx的取值范圍，gx的取值范圍即為fx的定義域.,用較為口語(yǔ)化的語(yǔ)言可以將上述兩類題型的解法合并成兩句話：①定義域指自變量的取值范圍.告訴我們已知什么，求什么②括號(hào)內(nèi)范圍相同.10.求函數(shù)值的方法(1)已知f(x)的解析式時(shí)，只需用a替換解析式中的x即得f(a)的值；(2)求f(g(ax對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的集合.11.函數(shù)值域的求法實(shí)際上求函數(shù)的值域是個(gè)比較復(fù)雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對(duì)應(yīng)法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對(duì)函數(shù)解析式的簡(jiǎn)單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點(diǎn)”和“最低點(diǎn)”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對(duì)二次函數(shù)型的解析式可先進(jìn)行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關(guān)于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對(duì)函數(shù)的解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化歸為幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來(lái)求函數(shù)的值域．求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結(jié)合法等．總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是重視對(duì)應(yīng)法則的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s．12.函數(shù)圖象的畫法(1)作函數(shù)圖象主要有三步：列表、描點(diǎn)、連線.(2)畫函數(shù)的圖象，需首先關(guān)注函數(shù)的定義域．定義域決定了函數(shù)的圖象是一系列點(diǎn)、連續(xù)的線或是其中的部分．(3)描點(diǎn)作圖，要找出關(guān)鍵“點(diǎn)”，再連線．如一次函數(shù)的圖象描出端點(diǎn)或與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，兩點(diǎn)連線即得；二次函數(shù)的圖象描出端點(diǎn)或與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)，連線即得．連線時(shí)還需標(biāo)注端點(diǎn)的虛實(shí)．(4)函數(shù)的圖象能體現(xiàn)函數(shù)的定義域、值域．這就是數(shù)形結(jié)合思想．13.函數(shù)圖象的平移變換1左右平移：a＞0時(shí)，y＝fx的圖象向左平移a個(gè)單位得到y(tǒng)＝fx＋a的圖象；a＞0時(shí)，y＝fx的圖象向右平移a個(gè)單位得到y(tǒng)＝fx－a的圖象.2上下平移：b＞0時(shí)，y＝fx的圖象向上平移b個(gè)單位得到y(tǒng)＝fx＋b的圖象；b＞0時(shí)，y＝fx的圖象向下平移b個(gè)單位得到y(tǒng)＝fx－b的圖象.14．常借助函數(shù)圖象求解以下幾類問題(1)比較函數(shù)值的大??；(2)求函數(shù)的值域；(3)分析兩函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)；(4)求解不等式或參數(shù)范圍．考點(diǎn)一函數(shù)關(guān)系的判斷（一）由定義判斷是否為函數(shù)（二）從圖象判斷是否為函數(shù)關(guān)系考點(diǎn)二同一個(gè)函數(shù)的判定考點(diǎn)三函數(shù)的定義域（一）求具體函數(shù)的定義域（二）抽象函數(shù)的定義域（三）已知函數(shù)的定義域求參數(shù)考點(diǎn)四函數(shù)的值域與函數(shù)值考點(diǎn)五畫函數(shù)圖象（一）利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象（二）利用圖象的平移變換作函數(shù)圖象考點(diǎn)六函數(shù)圖象的應(yīng)用考點(diǎn)一函數(shù)關(guān)系的判斷（一）由定義判斷是否為函數(shù)1．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，，下列對(duì)應(yīng)法則不可以作為從到的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出每個(gè)選項(xiàng)中對(duì)應(yīng)法則中的取值范圍，結(jié)合函數(shù)的定義逐項(xiàng)判斷，可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，且，A中的對(duì)應(yīng)法則可以作為從到的函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，且，B中的對(duì)應(yīng)法則可以作為從到的函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，且，C中的對(duì)應(yīng)法則不能作為從到的函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，且，D中的對(duì)應(yīng)法則可以作為從到的函數(shù).故選：C.2．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列對(duì)應(yīng)是從集合A到集合B的函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由函數(shù)的定義對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，對(duì)集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，集合B中都有唯一的數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，是函數(shù)；對(duì)于B選項(xiàng)，時(shí)，，有兩個(gè)y與之對(duì)應(yīng)，不是函數(shù)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不存在，不是函數(shù)；對(duì)于D選項(xiàng)，集合A中的元素0在集合B中沒有對(duì)應(yīng)元素，不是函數(shù).故選：A3．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）判斷下列對(duì)應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù).(1)，，對(duì)應(yīng)法則f：對(duì)集合A中的元素取絕對(duì)值與B中元素對(duì)應(yīng)；(2)，，對(duì)應(yīng)法則，，；(3)，，對(duì)應(yīng)法則，，；(4)三角形，，對(duì)應(yīng)法則f：對(duì)A中元素求面積與B中元素對(duì)應(yīng).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，可依次判斷得解.【詳解】（1）對(duì)于A中的元素0，在f的作用下得0，但0不屬于B，即A中的元素0在B中沒有元素與之對(duì)應(yīng)，所以不是函數(shù).（2）對(duì)于A中的元素，在f的作用下與B中的1對(duì)應(yīng)，A中的元素，在f的作用下與B中的4對(duì)應(yīng)，所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對(duì)應(yīng)，是“多對(duì)一”的對(duì)應(yīng)，故是函數(shù).（3）對(duì)于A中的任一元素，在對(duì)應(yīng)關(guān)系f的作用下，B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，如對(duì)應(yīng)1，對(duì)應(yīng)4，所以是函數(shù).（4）集合A不是數(shù)集，故不是函數(shù).4．【多選】（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）下列給出的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，不能確定從集合A到集合B的函數(shù)關(guān)系的是（）A．A＝{1，4}，B＝{－1，1，－2，2}，對(duì)應(yīng)關(guān)系：開平方B．A＝{0，1，2}，B＝{1，2}，對(duì)應(yīng)關(guān)系：x012y121C．A＝[0，2]，B＝[0，1]，對(duì)應(yīng)關(guān)系：

D．A＝R，B＝{1，0}，?x∈A，y∈B，對(duì)應(yīng)關(guān)系：當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y為1，當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，對(duì)應(yīng)的y為0【答案】AC【分析】利用函數(shù)的概念逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即得.【詳解】對(duì)于A，集合A中的元素1開平方與集合B中的－1和1對(duì)應(yīng)，不滿足唯一性，對(duì)于C，同樣不滿足唯一性，故A和C錯(cuò)誤；對(duì)于B和D，都滿足函數(shù)概念，故正確.故選：AC5．【多選】（2023·全國(guó)·高一課堂例題）下列對(duì)應(yīng)關(guān)系是集合到集合的函數(shù)的為（

）A．，，：B．，，：C．，，：D．，，對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示：

【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)定義分別判斷各個(gè)選項(xiàng).【詳解】A不是，集合中的元素0在集合中沒有對(duì)應(yīng)的元素．B是，對(duì)于集合中的任意一個(gè)整數(shù)，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系：，在集合中都有唯一一個(gè)確定的整數(shù)與之對(duì)應(yīng)．C是，對(duì)于集合中任意一個(gè)實(shí)數(shù)，按照對(duì)應(yīng)關(guān)系：，在集合中都有唯一一個(gè)確定的數(shù)0和它對(duì)應(yīng)．D不是，集合中的元素3在集合中沒有對(duì)應(yīng)的元素，且中的元素2在集合中有5和6兩個(gè)元素與之對(duì)應(yīng)．故選：BC.（二）從圖象判斷是否為函數(shù)關(guān)系6．【多選】（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知集合=，集合=，下列能表示從集合到集合的函數(shù)關(guān)系的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】BD【分析】根據(jù)函數(shù)的定義逐一判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：顯然當(dāng)時(shí)，在集合中，沒有與之對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，故不表示從集合到集合的函數(shù)關(guān)系，所以本選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)時(shí)，任意一個(gè)，在集合中，都有唯一與之對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，故表示從集合到集合的函數(shù)關(guān)系，所以本選項(xiàng)符合題意；對(duì)于選項(xiàng)C：顯然當(dāng)時(shí)，在集合中有兩個(gè)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，故不表示從集合到集合的函數(shù)關(guān)系，所以本選項(xiàng)不符合題意；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，任意一個(gè)，在集合中，都有唯一與之對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)，故表示從集合到集合的函數(shù)關(guān)系，所以本選項(xiàng)符合題意，故選：BD7．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列圖象中，不是函數(shù)圖象的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，要求定義域內(nèi)的任意變量只能有唯一的與對(duì)應(yīng)，結(jié)合圖象判斷即可．【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義可知，對(duì)應(yīng)定義域內(nèi)的任意變量只能有唯一的與對(duì)應(yīng)，選項(xiàng)ABC中，每一個(gè)都有唯一的與對(duì)應(yīng)，滿足函數(shù)的定義，可以是函數(shù)圖象，選項(xiàng)D中，出現(xiàn)兩個(gè)不同的和同一個(gè)對(duì)應(yīng)，所以不滿足值的唯一性．所以D不能作為函數(shù)圖象．故選：D．8．（2023秋·陜西榆林·高一陜西省神木中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在下列圖像中，表示函數(shù)圖像的可能是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)的概念進(jìn)行判斷.【詳解】根據(jù)函數(shù)的定義可知，任意垂直于x軸的直線與函數(shù)圖像至多有一個(gè)交點(diǎn)，只有D正確．故選：D．考點(diǎn)二同一個(gè)函數(shù)的判定9．【多選】（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）下列各組函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與【答案】ABD【分析】根據(jù)當(dāng)兩函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)相等時(shí)是同一個(gè)函數(shù)逐個(gè)分析判斷即可【詳解】對(duì)于A，由，得或，所以的定義域?yàn)?，由，得，所以的定義域?yàn)?，所以兩函?shù)的定義域不相同，所以兩函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)，所以A正確，對(duì)于B，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以兩函?shù)的定義域不相同，所以兩函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)，所以B正確，對(duì)于C，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，，所以兩函?shù)的定義域相同，對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以這兩個(gè)函數(shù)是同一個(gè)函數(shù)，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋詢珊瘮?shù)的定義域不相同，所以兩函數(shù)不是同一個(gè)函數(shù)，所以D正確，故選：ABD10．【多選】（2023秋·新疆·高三八一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）下列各組函數(shù)中不是相等函數(shù)的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ABD【分析】根據(jù)相等函數(shù)的要求一一判定即可.【詳解】對(duì)于A，，，對(duì)應(yīng)法則不同，不是相等函數(shù)，故A符合題意；對(duì)于B，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋瑑珊瘮?shù)定義域不同，不是相等函數(shù)，故B符合題意；對(duì)于C，，，兩函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)法則都相同，是相等函數(shù)，故C不符合題意；對(duì)于D，的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)?，兩函?shù)定義域不同，不是相等函數(shù)，故D符合題意．故選：ABD．11．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）下列各組函數(shù)．①，；②，；③，；④，；⑤汽車勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系與一次函數(shù).其中表示同一函數(shù)的是(填序號(hào)).【答案】②⑤【分析】結(jié)合同一函數(shù)的概念，根據(jù)函數(shù)的定義域，對(duì)應(yīng)關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】①的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋c定義域不同，不是同一函數(shù)；②與的定義域都是，且對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是同一函數(shù)；③與對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是同一函數(shù)；④的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)椋c定義域不同，不是同一函數(shù)；⑤與的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系分別對(duì)應(yīng)相同，是同一函數(shù)．故答案為：②⑤.12．【多選】（2023秋·云南紅河·高一彌勒市一中校考階段練習(xí)）下列各組函數(shù)表示的是不同函數(shù)的是（

）A．與B．與C．與D．與【答案】ACD【分析】利用相同函數(shù)的定義求解.【詳解】A.的定義域?yàn)?，且，的定義域?yàn)?，解析式不同，所以不是同一函?shù)，故錯(cuò)誤；B.的定義域?yàn)镽，定義域?yàn)镽，且解析式相同，所以是同一函數(shù)，故正確；C.的定義域?yàn)镽，的定義域?yàn)椋圆皇峭缓瘮?shù)，故錯(cuò)誤；D.，由得，所以的定義域?yàn)?，由，得或，所以函?shù)的定義域?yàn)榛?，所以不是同一函?shù)，故錯(cuò)誤；故選：ACD13．【多選】（2023秋·高一單元測(cè)試）下列四組函數(shù)，表示相同函數(shù)的一組是（）A．，（）B．，C．，D．，【答案】AC【分析】根據(jù)相同函數(shù)的判斷原則進(jìn)行判斷即可.【詳解】對(duì)于A，，（）的定義域相同，化簡(jiǎn)后對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，是相同函數(shù)；對(duì)于B，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，所以這兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，對(duì)應(yīng)關(guān)系不同，不是相同函數(shù)；對(duì)于C，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，這兩函數(shù)的定義域相同，且對(duì)應(yīng)關(guān)系也相同，所以是相同函數(shù)；對(duì)于D，的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)榛?，所以這兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，化簡(jiǎn)后對(duì)應(yīng)關(guān)系相同，不是相同函數(shù).故選：AC考點(diǎn)三函數(shù)的定義域（一）求具體函數(shù)的定義域14．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)分母不為零且偶次方根的被開方數(shù)非負(fù)得到不等式組，解得即可.【詳解】對(duì)于函數(shù)，則，解得且，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：B15．（2023秋·四川遂寧·高一射洪中學(xué)?？计谥校┖瘮?shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B．C．且 D．且【答案】D【分析】根據(jù)零指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)、分式的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知：且，故選：D16．（2023秋·寧夏銀川·高三寧夏育才中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】根據(jù)偶次根式有意義及分母不為零計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，滿足，即，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.17．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的定義域．(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)且(3)且(4)【分析】根據(jù)函數(shù)有意義的基本要求可構(gòu)造不等式組求得結(jié)果.【詳解】（1）若有意義，則，的定義域?yàn)?（2）由得：且，的定義域?yàn)榍?（3）由得：且，的定義域?yàn)榍?（4）由得：，的定義域?yàn)?（二）抽象函數(shù)的定義域18．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域是.【答案】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)定義的求法，得到，即可求得函數(shù)的定義域.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，即且，所以函?shù)的定義域?yàn)?故答案為：.19．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域是．【答案】【分析】利用函數(shù)的定義，結(jié)合復(fù)合函數(shù)定義域求法即得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以，則，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?20．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，則函數(shù)的定義域（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域是，所以，令，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D21．（2023秋·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)?【答案】【分析】利用抽象函數(shù)的定義域可得出關(guān)于的不等式組，即可求得函數(shù)的定義域.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，?duì)于函數(shù)，則有，解得.因此，函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：22．（2023秋·吉林長(zhǎng)春·高一長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?【答案】【分析】由題意可得，且，從而可求得結(jié)果【詳解】由題意得，解得，所以的定義域?yàn)椋蚀鸢笧椋?3．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)零指數(shù)冪底數(shù)不為零以及抽象函數(shù)的定義域的求解方法得到結(jié)果.【詳解】已知函數(shù)的定義域?yàn)椋趾瘮?shù)，則且解得且.所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：A.24．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用函數(shù)有意義并結(jié)合抽象函數(shù)的定義域求解作答.【詳解】由函數(shù)的定義域?yàn)?，即，得，因此由函?shù)有意義，得，解得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：D（三）已知函數(shù)的定義域求參數(shù)25．（2023秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（

）A．或 B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，分與討論列出不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題意可得，恒成立，當(dāng)時(shí)，即，很顯然不滿足，當(dāng)時(shí)，有，解得.綜上可得，.故選：B26．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)橐磺袑?shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意可得對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，分和兩種情況，結(jié)合恒成立問題運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，當(dāng)時(shí)，則對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得；綜上所述：，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：.27．（2023春·北京·高二匯文中學(xué)校考期末）函數(shù)的定義域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．或 B．或C． D．【答案】C【分析】的定義域要使給出的分式函數(shù)定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集，是指對(duì)任意實(shí)數(shù)分式的分母恒不等于0，對(duì)分母的二次三項(xiàng)式進(jìn)行分類討論，分，和討論，當(dāng)時(shí)，需要二次三項(xiàng)式對(duì)應(yīng)的二次方程的判別式小于0.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)恒不為零，當(dāng)時(shí)，成立；當(dāng)時(shí)，需△，解得.綜上，使函數(shù)的定義域?yàn)榈膶?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：C28．（2023秋·河北保定·高一統(tǒng)考期中）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，說明分母不為零，對(duì)討論，結(jié)合二次方程的知識(shí)可求答案.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，顯然符合題意；當(dāng)時(shí)，，即，綜上可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：B.29．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若的定義域?yàn)閇－2,1]，求實(shí)數(shù)a的值；(2)若的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)2(2)【分析】（1）命題等價(jià)于不等式的解集為，然后可得且、是方程的兩根，然后利用韋達(dá)定理建立方程求解即可.（2）分、兩種情況討論，結(jié)合二次函數(shù)的知識(shí)即可求解；【詳解】（1）命題等價(jià)于不等式的解集為，顯然，如圖.且、是方程的兩根，，解得：.（2）①若，即，當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)镽，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，定義域不為R，不滿足題意；②若，為二次函數(shù)，定義域?yàn)镽，對(duì)恒成立，；綜合①、②得a的取值范圍.考點(diǎn)四函數(shù)的值域與函數(shù)值30．（2023秋·海南·高一?？计谥校┮阎瘮?shù)，(1)求的定義域；(2)求，的值；(3)當(dāng)時(shí)，求的值.【答案】(1)；(2)，；(3).【分析】（1）利用函數(shù)有意義列出不等式，并求解作答.（2）（3）代入計(jì)算作答.【詳解】（1）函數(shù)有意義，則，解得，且，所以函數(shù)的定義域是.（2）依題意，，.（3）當(dāng)時(shí)，，則.31．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求，的值；(2)求的值.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的定義，直接運(yùn)算可得答案；（2）由，，代入運(yùn)算得解.【詳解】（1）因?yàn)椋?因?yàn)?，所?（2）依題意，知.32．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）已知，且，則（

）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】令，解得，再根據(jù)求解.【詳解】解：因?yàn)?，且，令，解得，所以，解得，故選：A33．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)，，若，求的值．【答案】或【分析】將代入等式即可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】，，，即，解得：或.34．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)，；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）由可推導(dǎo)得到函數(shù)值域；（2）將的取值代入解析式即可求得結(jié)果；（3）采用分離常數(shù)法可求得函數(shù)值域；（4）采用換元法，將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)的值域求解問題.【詳解】（1），，即，的值域?yàn)?（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，的值域?yàn)?（3），，，的值域?yàn)?（4）令，則且，，則當(dāng)時(shí)，，的值域?yàn)?35．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3)；(4).【答案】(1)(2)(3)且(4)【分析】（1）由，進(jìn)而求得函數(shù)的值域；（2）根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)的最值，即可求解；（3）化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；（4）令，則，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，所以函?shù)的值域?yàn)?（2）解：由，可得其對(duì)稱軸為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的最大值為，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?（3）解：由函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，則，即，所以函數(shù)的值域?yàn)榍?（4）解：令，則，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的值域?yàn)?36．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的值域．(1)；(2)；(3).【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）采用分離常數(shù)法可知即可得其值域?yàn)椋唬?）利用換元法，將原函數(shù)表示為，根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性可求得結(jié)果；（3）求得函數(shù)定義域?yàn)?，求出二次函?shù)最值即可求得其值域.【詳解】（1）由于，且；所以可得，因此函數(shù)的值域是．（2）令，所以，即，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的值域?yàn)?（3）易知需滿足，即，即函數(shù)定義域?yàn)?；，由二次函?shù)性質(zhì)可得，所以的值域?yàn)椋?7．（2023·全國(guó)·高一課堂例題）求下列函數(shù)的值域：(1)，；(2)，；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)．【分析】（1）可由觀察法求解；（2）函數(shù)是二次函數(shù)，可采用配方法結(jié)合圖像求解；（3）函數(shù)是一個(gè)分式型函數(shù)，可采用分離常數(shù)法將其整理為一個(gè)常數(shù)加一個(gè)分式，或用表示出，由求解；（4）利用變量的代換，即換元法求值域；（5）通過變形，利用基本不等式求最值；（6）通過變形，利用基本不等式求最值；（7）通過變形利用判別式法求解．【詳解】（1）（觀察法）由，分別代入求值，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?）（配方法），由，再結(jié)合函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?）（分離常數(shù)法）

，因?yàn)?，所以，所以故函?shù)的值域?yàn)椋?）（換元法）

設(shè)，則，且，所以，由，再結(jié)合函數(shù)的圖像，可得函數(shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立．故函數(shù)的值域?yàn)椋?）因?yàn)?，所以，令，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以，，故函數(shù)的值域?yàn)椋?）由知，整理得．當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解；當(dāng)時(shí)，，即．故所求函數(shù)的值域?yàn)椋军c(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查求函數(shù)得值域，常見的方法有：（1）觀察法，對(duì)解析式簡(jiǎn)單變形觀察，利用熟知的初等函數(shù)的值域，求解；（2）配方法，函數(shù)是二次函數(shù)，可采用配方法結(jié)合圖像或單調(diào)性求解；（3）分離常數(shù)法，反解法，函數(shù)是一個(gè)分式型函數(shù)，可采用分離常數(shù)法將其整理為一個(gè)常數(shù)加一個(gè)分式，或用表示出，求解；（4）換元法，通過對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行適當(dāng)換元，將復(fù)雜的函數(shù)化為幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)，從而求值域；（5）通過對(duì)解析式變形，利用基本不等式求最值；（6）通過對(duì)解析式變形，將看成自變量，看成常數(shù)，關(guān)于的方程有解，利用判別式法求解．38．（2023秋·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若函數(shù)的值域是，則.【答案】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的值域列式可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的值域是，所以，解得.故答案為：.39．（2023秋·江蘇南通·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知函數(shù)，的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】畫出函數(shù)圖象，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)和圖象可得值域?yàn)闀r(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【詳解】畫出函數(shù)的解析式，如下圖所示：易知，；若時(shí)的值域是，由圖可知.故選：C考點(diǎn)五畫函數(shù)圖象（一）利用描點(diǎn)法作函數(shù)圖象40．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）作出下列函數(shù)的圖象，并寫出其值域．(1)；(2).【答案】(1)圖像見解析，.(2)圖像見解析，.【分析】描點(diǎn)，連線即可的圖象，根據(jù)圖象即可的值域.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.函數(shù)圖象過點(diǎn).圖象如下圖所示．由圖可知，函數(shù)的值域?yàn)?（2）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.圖象如下圖所示．由圖可知，函數(shù)的值域?yàn)?41．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）作出下列函數(shù)的圖象，并求其值域：(1)；(2).【答案】(1)圖象見解析，(2)圖象見解析，【分析】結(jié)合定義域可確定函數(shù)圖象，由圖象可得函數(shù)值域.【詳解】（1），函數(shù)圖象為一條直線上的孤立點(diǎn)，如圖所示，由圖象可知：.（2），函數(shù)圖象是拋物線的一段，如圖所示，由圖象知，.42．（2023秋·浙江臺(tái)州·高一校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，，，(1)畫出函數(shù)，的圖象；(2)，用表示，中的較小者，記為，請(qǐng)分別用圖象法和解析法表示函數(shù).【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】（1）結(jié)合二次函數(shù)與一次函數(shù)圖象分別為拋物線和直線，畫出函數(shù)圖象；（2）先根據(jù)（1）中兩函數(shù)圖象得到的圖象，再寫出的解析式.【詳解】（1）與的圖象如下，（2）圖象法表示，如圖，解析法表示函數(shù).（二）利用圖象的平移變換作函數(shù)圖象43．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）將函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后所得函數(shù)解析式為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移規(guī)律可得答案.【詳解】將函數(shù)的圖象向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度可得函數(shù)的圖象，再將函數(shù)的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)的圖象.故選：C.44．（2023秋·福建泉州·高一泉州五中?？奸_學(xué)考試）為了得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（

）A．向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位B．向左平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位C．向右平移3個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位D．向左平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位【答案】A【分析】先將目標(biāo)函數(shù)分離常數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖像的平移變換即可得解．【詳解】函數(shù)，為了得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像，向右平移3個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，故選：．45．（2023秋·安徽宿州·高一?？茧A段練習(xí)）為了得到的圖象，只需將的圖象（

）A．向右平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位B．向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位C．向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位D．向左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位【答案】B【分析】利用函數(shù)圖象平移的變換即可求解.【詳解】由，得，所以為了得到的圖象，只需將的圖象向右平移1個(gè)單位，得到的圖象，再向上平移2個(gè)單位，得到的圖象，即的圖象.故選：B.46．（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）用平移圖像的方式作出的圖像，并說明函數(shù)的值域．【答案】作圖見解析，值域?yàn)椤痉治觥坑山馕鍪椒治龀龅膱D像是由函數(shù)的圖像向右平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，再根據(jù)圖像即可得出值域．【詳解】首先作出的圖像，向右平移1個(gè)單位得到的圖像，向上平移2個(gè)單位得到的圖像，從圖像可以看出的值域?yàn)椋键c(diǎn)六函數(shù)圖象的應(yīng)用47．（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象如圖所示，則使函數(shù)值的的取值集合為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇函數(shù)的圖象特征，即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以在上的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，由在上的圖象，知它在上的圖象，如圖所示，使函數(shù)值的的取值集合為.故選：D48．（2023秋·高一單元測(cè)試）對(duì)于任意，函數(shù)表示、、中的較大者，求的最小值.【答案】【分析】作出函數(shù)、、的圖象，求出函數(shù)的圖象最低點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得出函數(shù)的最小值.【詳解】解：由題意可知，，如圖，分別畫出函數(shù)、、的圖象，則函數(shù)的圖象如圖中的實(shí)線部分，由圖可知，函數(shù)圖象的最低點(diǎn)為點(diǎn)，由可得，即點(diǎn)，故函數(shù)的最小值為.49．【多選】（2023秋·高一課時(shí)練習(xí)）一水池有2個(gè)進(jìn)水口，1個(gè)出水口，進(jìn)出水速度如圖甲、乙所示．某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丙所示（至少打開一個(gè)水口）.給出以下4個(gè)論斷，其中正確的是（）A．0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水B．3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水C．3點(diǎn)到4點(diǎn)只有一個(gè)進(jìn)水口進(jìn)水D．4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水也不出水【答案】AC【分析】由甲，乙圖得進(jìn)水速度為1，出水速度為2，根據(jù)進(jìn)出水的情況，結(jié)合