01-復變函數(shù)省名師優(yōu)質課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

數(shù)學物理方法教材及參考書：《數(shù)學物理方法》梁昆淼，高等教育出版社。

《數(shù)學物理方法》邵惠民，科學出版社。主講：侯春風哈爾濱工業(yè)大學物理系第1頁數(shù)學物理方法試驗唯象理論基本理論數(shù)學數(shù)學物理方法:

構建數(shù)學物理模型，研究處理方法。數(shù)學和物理有機結合。1.復變函數(shù)篇2.數(shù)學物理方程篇第2頁第一章復變函數(shù)第二章復變函數(shù)積分第三章冪級數(shù)展開第四章留數(shù)定理第五章傅里葉變換第六章拉普拉斯變換第一篇復變函數(shù)論第3頁§1.1

復數(shù)與復數(shù)運算十九世紀三位代表性人物：柯西（Cauchy,1789-1857）維爾斯特拉斯（Weierstrass,

1815-1897）黎曼（Rieman,1826-1866）柯西和維爾斯特拉斯分別應用積分和級數(shù)研究復變函數(shù)，黎曼研究復變函數(shù)映像性質，建立了系統(tǒng)復變函數(shù)論。實數(shù)領域中不能解釋問題：

負數(shù)不能開偶數(shù)次方，負數(shù)沒有對數(shù)，指數(shù)函數(shù)無周期性，正弦、余弦函數(shù)絕對值不能超出1，……實數(shù)復數(shù)實變函數(shù)

復變函數(shù)第一章復變函數(shù)第4頁復數(shù)：實部x，記Rez；虛部y，記Imz。x2=-1無實數(shù)解，引入i2=-1，i稱為虛數(shù)單位yx(x,y)x第5頁歐拉公式：第6頁極坐標：指數(shù)式、三角式：

稱為復數(shù)模，記作|z|；

稱為輻角，記作Argz。共軛復數(shù)：一個復數(shù)輻角能夠取無窮多個值，而且彼此相差2

整數(shù)倍，通常把滿足條件一個特定值稱為Argz主值，或z主輻角，于是有：第7頁零；無限遠點

xy0x+iy

復球面（復數(shù)球）測地投影第8頁復數(shù)四則運算：復數(shù)四則運算滿足交換律、結合律和分配律。第9頁二項式定理：例：求以下方程所表示曲線：|z+i|=2;

2)|z-2i|=|z+2|;

3)Im(i+z*)=4.例：(1+i)1/4=?討論：第10頁§1.2復變函數(shù)鄰域：以復數(shù)z0為圓心，任意小正實數(shù)

為半徑作圓:|z-z0|<

，則圓內全部點集合稱為z0鄰域。去心鄰域：0<|z-z0|<

所確定點集。內點:若z0及其鄰域均屬于平面點集E,則稱z0為該點集內點。外點:若z0及其鄰域均不屬于點集E,則稱z0為該點集外點。境界點：若在z0每個鄰域內，現(xiàn)有屬于E點，又有不屬于E點，則稱z0為點集E境界點，它既不是內點也不是外點，其全體稱為境界限。第11頁區(qū)域：指同時滿足以下兩個條件點集：(1)全由內點組成；(2)含有連通性，即點集中任意兩點都能夠用一條折線連接起來，且折線點全都屬于該點集。閉區(qū)域：區(qū)域及其境界限所組成點集稱為閉區(qū)域。注：與閉區(qū)域相比較，把不含邊界區(qū)域B稱為開區(qū)域。而且若無特殊申明所謂區(qū)域均指開區(qū)域。閉區(qū)域需明確指出。有界和無界。第12頁平面曲線：對于在[a,b]上定義函數(shù)z(t)=x(t)+iy(t)，當x(t)和y(t)連續(xù)時，其軌跡稱為z平面上曲線。簡單曲線：沒有重點連續(xù)曲線。開曲線：在上述定義中，若z(a)

z(b)，則稱為開曲線。閉曲線：在上述定義中，若z(a)=z(b)，則稱為閉曲線。開曲線閉曲線第13頁單連通區(qū)域：復平面上一個區(qū)域B，在其中任作一條簡單閉曲線，若曲線內部總屬于B，就稱為單連通區(qū)域，或單連通域，簡稱為單通區(qū)域（或單通域）。復連通區(qū)域單連通區(qū)域復連通區(qū)域：若一個區(qū)域不是單連通區(qū)域，就稱為復連通區(qū)域，或復連通域，簡稱復通區(qū)域（或復通域）。普通來說，在區(qū)域內，只要有一個簡單閉合曲線其內有不屬于該區(qū)域點，這么區(qū)域便是復通區(qū)域。單連通區(qū)域和復連通區(qū)域一個主要區(qū)分是：在單連通區(qū)域中，任一閉合曲線總可經過連續(xù)變形收縮成一點。第14頁復變函數(shù)定義：設E是復平面上一個點集(復數(shù)z=x+iy集合)，假如對于E中每個復數(shù)z，按照一定法則f，有一個或多個復數(shù)w=u+iv與之對應，則稱復變量w為復變數(shù)z函數(shù)，記作w=f(z)，z

E。單值函數(shù):一個z

一個w多值函數(shù):一個z

多個w其中，E稱為函數(shù)定義域，z稱為函數(shù)自變量、因變量或宗量。函數(shù)值全體所組成集合稱為函數(shù)值域。第15頁復變函數(shù)極限設函數(shù)w=f(z)定義在z0去心鄰域0<|z-z0|<

內，如有確定數(shù)A存在，對任意給定

>0，對應地必有一正數(shù)

(

),(0<

≤

)，使得當0<|z-z0|<

時有|f(z)-A|<

，那么稱A為f(z)當z趨于z0極限，即z

z0時，f(z)

A，記x0xyy0z0

A

(

)zf(z)定理：設則充要條件是第16頁定理假如，則有例：證實函數(shù)f(z)=Re(z)/|z|當z0時極限不存在。第17頁函數(shù)連續(xù)性定理:函數(shù)f(z)在z0處連續(xù)充要條件是u(x,

y)和v(x,

y)在(x0,

y0)處連續(xù)。定理

1)在z0連續(xù)兩個函數(shù)f(z)與g(z)和、差、積、商(分母不為零)也在z0處連續(xù)；2)函數(shù)h=g(z)在z0連續(xù)，函數(shù)w=f(h)在h0=g(z0)處連續(xù)，那么復合函數(shù)w=f[g(z)]在z0處連續(xù)。假如f(z)在區(qū)域B內處處連續(xù)，則稱f(z)在B內連續(xù)。假如則稱復變函數(shù)f(z)在點z0處連續(xù)。

第18頁

周期2i周期2

模能夠大于1

周期2i復變函數(shù)例第19頁

§1.3

導數(shù)函數(shù)w=f(z)在z0處可導與可微是等價，復變函數(shù)導數(shù)定義

函數(shù)w=f(z)定義于區(qū)域B，z0為B內一點，點z0+

z

B，假如極限存在，而且與

z0方式無關，則稱函數(shù)f(z)在點z0可導，此極限值稱為f(z)在點z0導數(shù)，記為：假如f(z)在區(qū)域B內處處可導，稱f(z)在B內可導。連續(xù)不一定可導；可導必定連續(xù)。第20頁導數(shù)模伸縮率導數(shù)幅角旋轉角第21頁例：討論函數(shù)f(z)=z*在復平面上可導性.沿平行于實軸方向趨于零沿平行于虛軸方向趨于零所以導數(shù)不存在，原函數(shù)在復平面上處處不可導。

課堂練習：求f(z)=z2導數(shù)；f(z)=x+2yi是否可導？第22頁求導法則：(若z=

(w)是函數(shù)w=f(z)反函數(shù),且f

(z)≠0)第23頁復變函數(shù)可導必要條件:柯西—黎曼條件(C-R條件)

z沿平行于實軸方向趨于零

z沿平行于虛軸方向趨于零兩式相等，可得柯西—黎曼條件：第24頁柯西—黎曼條件(C-R條件)是函數(shù)f(z)可導必要條件，但不是充分條件。例：利用柯西—黎曼條件討論函數(shù)f(z)=z*可導性。不滿足柯西—黎曼條件，所以不可導。第25頁例：討論函數(shù)在z0=0處可導性。滿足柯西—黎曼條件極限值因k而異，故原函數(shù)在z0=0處不可導。函數(shù)f(z)=u+iv可導充分必要條件是：偏導數(shù)存在，且連續(xù)，并滿足C-R條件。第26頁極坐標形式柯西—黎曼條件：

若用

和

分別表示z模和輻角，若函數(shù)f(z)=u(

,

)+iv(

,

)可導，則u(

,

)與v(

,

)滿足極坐標形式柯西－黎曼條件第27頁

假如函數(shù)f(z)在z0及其鄰域內處處可導，則稱f(z)在z0點解析。假如f(z)在區(qū)域B內每一點解析，則稱f(z)在B內解析，或稱f(z)是B內解析函數(shù)（又稱為全純函數(shù)或正則函數(shù)）。

函數(shù)f(z)在某點z0解析，是指f(z)在z0點及其鄰域內可導。

假如f(z)在z0點不解析，那么稱z0點為f(z)奇點?！?.4解析函數(shù)f(z)在B內解析f(z)在B內可導f(z)在z0點解析f(z)在z0點可導f(z)在z0點連續(xù)第28頁例：討論以下函數(shù)在復平面可導與解析性：第29頁課堂練習：討論以下函數(shù)在復平面可導與解析性：定理：函數(shù)f(z)=u+iv在其定義域B內解析充要條件是：u(x,y)和v(x,y)在B內可微，而且滿足柯西—黎曼條件ux=vy,uy=-vx

。定理：1)在區(qū)域B內解析兩個函數(shù)f(z)與g(x)和、差、積、商(除去分母為零點)在B內解析；2)函數(shù)h=g(z)在z平面上區(qū)域B內解析，函數(shù)w=f(h)在h平面上區(qū)域G內解析。假如對B內每個點z，函數(shù)g(z)對應值h都屬于G，那么復合函數(shù)w=f[g(z)]在區(qū)域B內解析。第30頁性質：1)若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域B上解析，則u(x,y)=c1，v(x,y)=c2是B上兩組相互正交曲線族，其中c1，c2為常數(shù).例：f(z)=z2C-R條件

u和v分別是u(x,y)=c1和v(x,y)=c2法向矢量，所以上式表明u(x,y)=c1和v(x,y)=c2是B上兩組相互正交曲線族。第31頁2)若函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域B上解析，則u(x,y)，v(x,y)是B上調和函數(shù)。若函數(shù)H(x,y)在區(qū)域B上有二階連續(xù)偏導數(shù)，且

2H=0，則稱H(x,y)是B上調和函數(shù)。

u(x,y)和v(x,y)都是調和函數(shù)。第32頁討論：1)任何在區(qū)域B內解析函數(shù)，其實部和虛部都是B內調和函數(shù)，因為它們是同一個復變函數(shù)實部和虛部，所以又叫作共軛調和函數(shù)。2)假如在區(qū)域內任選兩個調和函數(shù)u和v，則函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域內不一定是解析函數(shù)。只有當u和v還滿足對應C-R條件，對應函數(shù)f(z)=u+iv在區(qū)域內才解析(而v+iu卻不一定解析)。3)由此提供了組成一個解析函數(shù)方法，即由一個調和函數(shù)，利用柯西－黎曼條件可求出另一個與之共軛調和函數(shù)，再由這一對共