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第五章能帶理論1/755.1一維周期場，電子波函數，電子波函數為應該滿足布洛赫定理。若晶格常數為（1）（2）（3）（為某一確定函數）試求電子在這些狀態(tài)波矢。解：由式可知，在一維周期勢場中運動電子波函數滿足2/75由此得（1）于是所以得所以3/75（2）即得所以4/75（3）令得由上知可知所以5/755.2電子在周期場中得勢能且是常數。試畫出此勢能曲線，并求此勢能平均值。解：Oa2a3axV(x)如圖所表示，因為勢能含有周期性，所以只在一個周期內求平均6/75即可，于是得7/755.3用近自由電子模型求解上題，確定晶體第一及第二個禁帶寬度。解：在布里淵區(qū)邊界上，電子能量出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度表示式為其中是周期勢場V(x)付里葉級數系數，求得。第一禁帶寬度為該系數可由式8/75第二禁帶寬度為9/755.4用緊束縛方法導出體心立方晶體s態(tài)電子能帶并求能帶寬度。解：用緊束縛方法處理晶格s態(tài)電子，當只計及最近鄰格點相互作用時，對體心立方晶格，取參考格點坐標為（0，0，0），則8個最近鄰格點坐標為其能帶表示式為10/75將上述8組坐標代入能帶表示式，得11/75由余弦函數性質，用觀察法即可斷定，當時，能帶中能量取最小值12/75當時，能量取最大值因而能帶寬度為13/755.5由N格原子組成三維晶體（簡單晶格),其孤立原子中為正常數。（1）試寫出該晶體緊束縛近似波函數；（2）證實上面寫出緊束縛近似波函數含有布洛赫波函數（3）對比說明孤立原子電子和晶體中電子波函數及電子基態(tài)波函數為性質；能量特征。解：（1）按緊束縛近似，三維晶體電子波函數為14/75一維晶體情況下，晶格常數，所以又得（2）按正交化平面波方法，三維晶體電子波函數為15/75對于一維晶體情況下，晶格常數，，16/75此處若只取一項，則17/755.6一矩形晶格，原胞邊長

，（1）畫出倒格子圖；（2）以廣延圖和簡約圖兩種形式，畫出第一布里淵區(qū)和第二布里淵區(qū)；（3）畫出自由電子費密面。(設每個原胞有兩個電子。）解：倒格子基矢為(1)因為18/75以如圖6-11所表示,圖中“?！贝淼垢顸c。由圖可見，矩形晶格倒格子也是矩形格子。為基矢組成倒格子第一區(qū)第二區(qū)19/75（2）其結果如圖所表示。、次近鄰連線中垂線可圍成第一、第二布里淵區(qū)(如上圖)，這是布里淵區(qū)廣延圖。取任意倒格點o作為原點，由原點至其最近鄰如采取簡約形式，將第二區(qū)移入第一區(qū)，20/75（3）簡約布里淵區(qū)面積便有2N個狀態(tài)。而狀態(tài)密度當每個原胞有兩個電子時，晶體電子總數為設晶體共有N個原胞，計入自旋后，在簡約布里淵區(qū)中21/75所以這就是費米圓半徑，據此做出費米圓如圖所表示。22/755.7有一平面正六角形晶格，六角形兩個平行對邊間距為（見圖），試畫出此晶體第一、第二、第三布里淵區(qū)。若每個原胞有2個電子試畫出其費米圓周。解：如圖所表示，平面六角晶格取六角形中心為坐標原點，原胞也如圖中畫出。每個原胞中包含有兩個原子。是一個復式格子?；缚捎上率浇o出23/75，可得到倒格基矢在二維晶格下，取其中由給出。24/75所以依據倒格基矢就能夠畫出個倒格點，從而畫出布里淵區(qū)如圖。當每個原子有2個電子時，則二維晶格價電子面密度為25/75可算出費米圓半徑由此能夠畫出自由電子費米圓，如圖中所表示。考慮周期勢場微擾，對自由電子費米圓作兩點修正：（1）在布里淵區(qū)邊界限處發(fā)生分裂。（2）費米圓與布里淵區(qū)邊界限間交角進行鈍化。26/755.8平面正三角形晶格（見圖），相鄰原子間距為a。試求（1）正格矢和倒格矢；（2）畫出第一布里淵區(qū)，并求此區(qū)域內接圓半徑。解：（1）正格原胞基矢如圖所表示取為其中和是相互垂直單位矢量。27/75取單位矢量垂直于和，則和組成體積倒格原胞基矢為（2）選定一倒格點為原點，原點最近鄰倒格矢有6個，它們是28/75這6個倒格矢中垂線圍成區(qū)間組成了兩部分，以原點為對稱心正六邊形是第一布里淵區(qū)。第一布里淵區(qū)內切圓半徑為29/755.9證實：體心立方晶格第一布里淵區(qū)界面對應于晶面布拉格反射。證實：對于一級反射，n=1,則有(1)式中，d為反射晶面族面間距，為布拉格角。在第一布里淵區(qū)邊界面上，必有依據布拉格衍射公式30/75此處為被界面垂直平分倒格矢，(2)令(1)(2)兩式右邊相等，便得(3)式中a為立方晶系晶格常數，h,k,l為晶面指數。對于體心立方結構，其倒格子原胞是邊長為2/a面心立方格子，布里淵區(qū)則是從坐標原點到最近鄰12個面心倒格矢中垂面圍成十二面體，這些倒格矢長度由此得31/75恰好等于面對角線長度二分之一，即于是從(3)式給出(4)依據衍射理論，對于體心立方格子，只有晶面指數之和為偶數晶面族才能產生1級反射，所以從(3)(4)兩式輕易看出，與布里淵區(qū)邊界面相對應反射晶面族面指數為.32/75解：(1)式中和分別為參考原子及其最近鄰位矢。在面心立方格子中，有12個最近鄰。=0,12個最近鄰坐標分別是5.10用緊束縛方法處理面心立方晶格s態(tài)電子，若只計最近鄰相互作用，試導出其能帶表示式。原點時，晶體中s態(tài)電子能量表示為若只計及最近鄰相互作用，按照緊束縛近似所得結果，當取參考原子為坐標33/75對于s態(tài)電子，原子與各個最近鄰交迭積分皆相等，，則從(1)式得令34/7535/755.11證實：在三維晶格中，電子能量在空間中含有,式中為任一倒格矢。周期性：證實：(1)波函數含有以下性質：(2)代表平移算符。顯然，平面波可寫成按照布洛赫定理，在周期性勢場中運動電子波函數36/75滿足(2)式，為任意倒格矢。所以，電子波函數應該是全部線性疊加，即(3)其中。對比(1)(3)兩式可知(4)37/75輕易看出，含有晶格周期性。由(4)式還可得到其中也為任一倒格矢。令，則上式能夠寫成(5)38/75由(1)(5)式，有(6)即電子波函數在空間含有平移對稱性。由薛定諤方程結合(6)式，馬上得到39/755.12證實在任何能帶中，波矢為k和波矢為－k狀態(tài)有相同能量，即這里代表簡約布里淵區(qū)中第n個能帶態(tài)能量。證實：表示，電子波函數用表示，則薛定諤方程為從布洛赫定理知道，波函數若周期性勢場用40/75代入薛定諤方程，并由便可得到決定函數方程：(1)取(1)式共軛復式，得(2)41/75若在(1)式中用代替，則有(3)比較(2)(3)式可知，除了滿足之外，顯然有可見，在任一能帶中，波矢為相同能量。和兩狀態(tài)含有42/755.13證實：二維正方格子第一布里淵區(qū)角隅處一個自由電子動能，比該區(qū)側面中點處電子動能大１倍。對三維簡單立方晶格，其對應倍數是多少？證實：角隅處C和側邊中點處A波矢分別為ACo空間中一個邊長為1/a正方形(如圖)。對邊長為a二維正方格子,其第一布里淵區(qū)是43/75對應自由電子能量為可見，對于三維簡單立方晶格，若晶格常數為a，第一布里淵區(qū)是一個邊長為1/a立方體(如圖)，。ACo此時44/75對應自由電子能量為可見，即對簡單立方晶格，第一布里淵區(qū)角隅處一個自由電子能量等于側面中點處能量3倍。45/755.14應用緊束縛近似證實，正交晶系能帶可表示為式中，對已知晶體可視為常數；是晶格常數。證實：

(1)式中分別代表參考原子及其最近鄰原子位矢，是位矢為兩原子s態(tài)電子波函數交迭積分。在緊束縛近似條件下，s態(tài)布洛赫電子能帶可表示為46/75取，即以參考原子為坐標原點，其六個最近鄰坐標分別為代入(1)式，得(2)注意到和兩原子與原點距離相等，應有則對于簡單正交晶系，47/75同理代入(2)式，并應用尤拉公式進行化簡即得或統(tǒng)一表示為48/755.15設電子能譜仍和自由電子一樣，試采取簡約能區(qū)圖形式，粗略畫出簡單立方晶格第一布里淵區(qū)及其六個近鄰倒格點區(qū)域內沿方向電子圖。解：空間中一個邊長為1/a簡單立方格子，如圖所表示。6個最近鄰倒格點，分別位于各鄰近區(qū)域內，它們對應倒格矢分別為簡單立方晶格第一布里淵區(qū)是取立方體中心倒格點為原點，它有49/75在簡約能區(qū)圖式表示法中，全部電子波矢都要變換到第一布里淵區(qū)內。為簡單計，本題計算只取原點o和界面上點A,B。這么，設可取方向上全部可能值，其對應能量為50/75于是，第一區(qū)及其鄰近區(qū)域內沿方向E~k圖可分別求出以下：(1)第一布里淵區(qū)據此可作略圖，如圖中曲線。圖中取作能量單位。51/75(2)各鄰近區(qū)域當時，則作略圖如曲線。52/75當時，則作略圖如曲線。53/75當時，則作略圖如曲線。當和時，所得曲線與曲線重合。54/75當時，有作略圖如曲線。55/755.16設有晶格常數為a、2a、3a簡單正交晶格，試求：（1）簡約布里淵區(qū)圖形及體積；（2）在自由電子近似下，費密面與簡約布里淵區(qū)各邊界面相切時所對應價電子數與原子數之比；（3）若該晶體費密面恰好是與簡約布里淵區(qū)各邊界面相切橢球面，求該晶體價電子數與原子數之比。解：（1）令簡單正交晶格三個晶軸分別為X、Y、Z軸，則它基矢可寫成56/75可求出它倒格子基矢由此倒格矢可寫成而布里淵區(qū)邊界面由式給出57/75即取最短幾個倒格矢，得到對應邊界面可列表以下：58/75邊界面方程邊界面方程從上面平面方程中，能夠看到離原點最近幾個面是上表中列出最前面三個方程所表示六個平面。這六個平面圍成一個長方體如圖所表示，這就是該晶格第一布里淵區(qū)，它59/75體積是（2）在自由電子近似下，費米面為球面。當費米面與第一布里淵區(qū)三對平面相切時半徑分別為（1）60/75由式可得各情況下對應電子密度每個原胞體積依據以上幾式可求出各個原胞內所含自由電子數（2）61/75因為簡單正交格子是簡單格子，所以每個原胞中只包含一個原子，因而上面算得即分別是三種情況下自由電子數與原子數之比。（3）假如費米面是與簡約布里淵區(qū)各個邊界面相切橢球面，則它費米面方程可寫成62/75這里分別是橢球三個主軸長度，由（2）給出。橢球中能夠有個軌道狀態(tài)。考慮自旋，則在橢球費米面內可容納電子數為所以晶體電子密度為（3）63/75每個原胞所含電子數即為因為簡單正交格子是簡單格子，每個原胞只含一個原子，所以也即是自由電子數與原子數之比。為了得到值，必須知道橢球體積。為此。令（5）由（3）、（5）兩式可知（4）64/75即變成一個半徑為r球面方程，它體積為在作（5）式變換時，相對應體積變換關系為所以65/75把上式代入（4）式，并利用（1）、（2）式，即可得晶體中自由電子數與原子數之比66/755.17體心立方晶格，原子總數為N。假設電子等能面為球面，試求：當費密面恰好與第一布里淵區(qū)界面相切時，第一布里淵區(qū)實際填充電子數。解：所以，在第一布里淵區(qū)內實際填充電子數應等于同布里淵區(qū)邊界面相切費米球內所容納電子數。設體心立方晶格常數為a，則其倒格子是邊長為2/a面心立量相當于等能面和布里淵區(qū)邊界面相切處能量。在電子等能面是球面情況下，第一布里淵區(qū)內最高能相切費米球半徑R將等于布里淵區(qū)中心到最近鄰面心距離方格子，第一布里淵區(qū)是一個十二面體，同布里淵區(qū)邊界面67/75之半，即等于面心立方格子面對角線1/4，因而其次，在體心立方晶格中，每個晶胞包含兩個原子，每個原子平均占有體積，包含N個原子晶體總體積因為空間中狀態(tài)密度為2V，那么，費米球內容納電子數68/75(a)(b)5.18下面兩種平面格子是布菲格子還是復式格子?其固