統(tǒng)計(jì)物理學(xué)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

第七章統(tǒng)計(jì)物理學(xué)氣體分子動(dòng)理論是統(tǒng)計(jì)物理學(xué)一部分，它是從統(tǒng)計(jì)觀點(diǎn)出發(fā)，去研究氣體熱現(xiàn)象一門微觀理論。熱學(xué)宏觀理論是熱力學(xué)，熱學(xué)微觀理論是氣體動(dòng)理論，它指出了熱現(xiàn)象本質(zhì)是大量分子熱運(yùn)動(dòng)。

第1頁阿伏伽德羅引入“分子”概念克勞修斯提出了理想氣體分子運(yùn)動(dòng)模型、引進(jìn)統(tǒng)計(jì)概念推導(dǎo)理想氣體壓強(qiáng)公式麥克斯韋于發(fā)覺分子熱運(yùn)動(dòng)無規(guī)性，導(dǎo)出了麥克斯韋速率分布律玻耳茲曼得到粒子按能量分布規(guī)律——玻耳茲曼分布律至此，氣體動(dòng)理論已能解釋當(dāng)初在氣象、化學(xué)、物理學(xué)領(lǐng)域研究中所發(fā)覺與氣體運(yùn)動(dòng)相關(guān)種種現(xiàn)象。第2頁7-1力學(xué)中機(jī)械決定論在顯微鏡下觀察時(shí)，每隔30s統(tǒng)計(jì)下來布朗微粒所在位置連線。顯然，這些點(diǎn)與點(diǎn)之間線段并不是微粒運(yùn)動(dòng)軌跡.英國植物學(xué)家布朗利用顯微鏡觀察懸浮於水中花粉粒時(shí)，發(fā)現(xiàn)這些花粉粒會(huì)做連續(xù)快速而不規(guī)則隨機(jī)移動(dòng)，這種移動(dòng)稱為布朗運(yùn)動(dòng)。第3頁一、布朗運(yùn)動(dòng)與分形布朗粒子軌跡含有標(biāo)度變換（就是放大或縮小）下自相同性

“分形”基本特征是自相同性

科希曲線DLA分形集團(tuán)第4頁

數(shù)學(xué)家雖曾構(gòu)想出一些奇異東西，如充滿平面特殊曲線，處處連續(xù)而又處處不可微特殊函數(shù)等等，但當(dāng)初他們并不相信自然界里真存在這些“病態(tài)”怪物。傳統(tǒng)物理學(xué)家也大都習(xí)慣于和光滑規(guī)則形體打交道。最先打破上述傳統(tǒng)是芒德布羅(B.B.Mandelbrot)，他創(chuàng)造了fractal(分形)這個(gè)單詞來表征那些被傳統(tǒng)數(shù)學(xué)和物理學(xué)排除在外、傳統(tǒng)歐幾里得幾何不能描述、復(fù)雜無規(guī)幾何對象。含有分形物體，稱為分形體(fractal)。芒德布羅認(rèn)為，看來貌似雜亂無章東西，未必毫無自己特征和內(nèi)在規(guī)律。今天，分形理論已經(jīng)發(fā)展成為一門描述自然界中許多不規(guī)則事物規(guī)律性科學(xué)。第5頁二、混沌19世紀(jì)末，瑞典國王懸賞一筆獎(jiǎng)金，獎(jiǎng)給第一個(gè)能證實(shí)太陽系在整體上是完全穩(wěn)定人。法國科學(xué)家彭加勒得出結(jié)論：國王問題是不可證實(shí)。1981年，天體力學(xué)家Szebehely提出天體力學(xué)中平面三體問題

有限制平面三體問題：小質(zhì)量天體m和兩個(gè)等量大天體M1

、M2限制在一個(gè)平面上運(yùn)動(dòng)，m沿M1和M2連線垂線上、下運(yùn)動(dòng)。mM1M2往返擺動(dòng)若干次以后，m行為變得“隨機(jī)”起來，再也無法預(yù)測它位置、速度及回歸時(shí)間。

令人驚奇結(jié)果：第6頁1.蟲口改變拋物線模型

每年夏季成蟲產(chǎn)卵后全部死亡；設(shè)第n年蟲口數(shù)目為xn

第二年春天每個(gè)蟲卵孵化成一只蟲子；

設(shè)平均每只成蟲產(chǎn)卵a(bǔ)個(gè)，則每年春天孵化出蟲子數(shù)總是前一年成蟲數(shù)a倍。普通規(guī)律：蟲口模型第7頁

食物和空間有限，蟲子們會(huì)為爭奪生存條件而相互咬斗。減員事件：蟲子數(shù)目多了，傳染病會(huì)因?yàn)榻佑|增加而蔓延。減員修正：第8頁重新定義變量和參量，能夠把方程寫為：這個(gè)方程稱為拋物線映射

固定參量m之后，取初值x0代入，算出x1，再把x1作為新變量，計(jì)算x2,...如此不停迭代下去。出一條軌道x0,x1,x2,...

xi,

xi+1,…。其中每個(gè)xi是一個(gè)軌道點(diǎn)。迭代計(jì)算：第9頁迭代次數(shù)足夠大后，軌道表現(xiàn)出穩(wěn)恒行為。可能出現(xiàn)幾個(gè)迭代結(jié)果

從某次迭代開始，xi=x*，不再改變

從某次迭代始，xi進(jìn)入有限個(gè)數(shù)字周而復(fù)始、無限重復(fù)狀態(tài)若干年后出現(xiàn)周期輪回蟲口數(shù)

軌道點(diǎn)像是隨機(jī)地取值，但其中有一些重復(fù)圖式或“結(jié)構(gòu)”更復(fù)雜實(shí)際過程

若干年后蟲口數(shù)有含糊重復(fù)規(guī)律，但軌道點(diǎn)永不準(zhǔn)確重復(fù)迭代不動(dòng)點(diǎn)準(zhǔn)周期軌道第10頁不動(dòng)點(diǎn)(周期為1點(diǎn))：周期為3點(diǎn)：周期為7點(diǎn)附近會(huì)出現(xiàn)一個(gè)周期為1000008356點(diǎn)。1975年，約克和李天巖發(fā)表了“PeriodThreeImpliesChaos”第11頁2.分岔拋物線映射分岔圖

縱坐標(biāo)：xn一維相空間，即區(qū)間[-1,1]。橫坐標(biāo)：參量空間m(0,2)。用數(shù)值計(jì)算和繪圖方法研究拋物線映射結(jié)果:掃過全部m值范圍，得分岔圖mx第12頁拋物線映射分岔圖每個(gè)參量對應(yīng)一個(gè)值，為不動(dòng)點(diǎn)或周期1范圍處發(fā)生第一次分岔分岔結(jié)構(gòu)分析數(shù)據(jù)在上、下兩點(diǎn)之間往返跳動(dòng)第13頁在m=1.25處發(fā)生第二次倍周期分岔誕生穩(wěn)定周期4軌道周期4軌道穩(wěn)定范圍比周期2窄，只到1.3681拋物線映射分岔圖第14頁根本沒有周期，到達(dá)了混沌態(tài)！從到倍周期分岔序列，其周期為拋物線映射分岔圖周期倍增第15頁3.自相同結(jié)構(gòu)取出分岔圖一小部分加以放大，它包含相同結(jié)構(gòu)。從m=1.75到m=1.8上、中、