習(xí)題解答習(xí)題9-2常數(shù)項級數(shù)收斂性的判定

習(xí)題9-21.判斷下列級數(shù)的斂散性(1)1；ni2n1(2)1n1(1)1；ni2n1(2)1n1n2 1(5)n1n1n2 1（3）1n1ln(n1)；(6)1n11 Pn(P0)解:U）n1的；方法一：（利用正項級數(shù)的比較判別法）112n111111因為112n2n1 2? 1 2洱2nn_2發(fā)散；由正項級數(shù)的比較判別法，得級數(shù) —發(fā)散n12n1方法二：（利用正項級數(shù)的比較判別法的極限形式）1因為lim2n1limn-，而調(diào)和級數(shù) -發(fā)散，n1n2n1 2 n1nn則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù)—發(fā)散n12n1（2）—；n1n1方法一：（利用正項級數(shù)的比較判別法）111因為丁石，而級數(shù)-7收斂（p級數(shù)的結(jié)論）；n1n n1n由正項級數(shù)的比較判別法，得級數(shù) 二丄收斂。n1n1方法二：（利用正項級數(shù)的比較判別法的極限形式）111122因為limn1n丄收斂（p級數(shù)的結(jié)論）則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式,得級數(shù)_1n1n2 1收斂。1—；n1ln(n1)方法一：（利用正項級數(shù)的比較判別法）丄發(fā)散;1n因為一1 1（- 1丄發(fā)散;1nln（n1）n則由正項級數(shù)的比較判別法，得級數(shù)1發(fā)散。n1ln(n1)方法二:（利用正項級數(shù)的比較判別法的極限形式）limxln(x洛必達1）法則limx所以limnln(n1)ln(n則由正項級數(shù)的比較判別法，得級數(shù)1發(fā)散。n1ln(n1)方法二:（利用正項級數(shù)的比較判別法的極限形式）limxln(x洛必達1）法則limx所以limnln(n1)ln(n1)1n-lim(xx1ln(n1)1limn1~T~1)，lim -一nln(n1)，又調(diào)和級數(shù)丄發(fā)散,n1n則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式,得級數(shù)發(fā)散。n1ln(n1)1 ；n1n、n1方法一：（利用正項級數(shù)的比較判別法）

因為當p1時，lim 當p1時，lim —-limn、n1n；n2 n丄收斂（p丄收斂（p級數(shù)的結(jié)論），由正項級數(shù)的比較判別法，得級數(shù)1一收斂。n1nIn1方法二:（利用正項級數(shù)的比較判別法的極限形式）1因為limnlimn3n2lim一—― 11,而級數(shù)（p級數(shù)的結(jié)論），則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù)收斂。n12n1則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù)收斂。n12n1n12n1丄n因為limn(5)n1nim汨1，而調(diào)和級數(shù)則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù)注：本題中，級數(shù)的一般項要進行適當?shù)目s小不易，所以采用正項級數(shù)的比較判別法做起來相對比較困難一些，而采用正項級數(shù)的比較判別法的極限形式相對容易一些10)?(6) 0)?nn11p當0p1時,當0p1時,limn0，則由級數(shù)收斂的必要條件，得級數(shù)p1)發(fā)散;0，則由級數(shù)收斂的必要條件，得級數(shù)111）發(fā)散;當P1時,limn當P1時,limn1n1P1111，且級數(shù)r是公比為一n1P P1）的等比級數(shù),是收斂的，則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù) 收斂n11P綜上，當0P綜上，當0P1時，級數(shù) 發(fā)散；當Pn11P1時，級數(shù) 1飛收斂n11P2.判斷下列級數(shù)的斂散性（1）1；（2）nsinn12n； （3）nn2 n2a2 n(aRn1(n1)(n4)?3n2n（4）(1cos—）；（5）n?（6）n?n2 nn1ng2n13（7）n!g2n；n ；（8）ntann1 ；（9）1n；n1nn12n1ln(n1)2n1n（10）n（11）b(其中l(wèi)iman a，an,b,a均為正數(shù)）n13n 1n1ann解：(1)-1n1(n1)(n4)方法一：（利用正項級數(shù)的比較判別法）因為（T1啟）7，且收斂，n1(n1)(nn1(n1)(n4)方法二：（利用正項級數(shù)的比較判別法的極限形式）12因為lim(n一1)(n―4)limn 1，且級數(shù) 丄收斂,n 丄 n(n1)(n4) ninn由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式,得級數(shù)(n1)(n4)收斂方法一：（利用正項級數(shù)的比較判別法的極限形式）因為limnsin歹等價無窮 畀蘇代百nim1，且等比級數(shù)n戶收斂,2n由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù)n：寧收斂n1n1lim——n歹方法二：（利用正項級數(shù)的比值判別法）sin等價無窮因為lim 2—等價無窮n.小代換sin匚2由正項級數(shù)的比值判別法,得級數(shù)(R)2(E=4n2na(.n2 、n2)2a+1n2（aR），11級數(shù)利用p12十收斂性的結(jié)論，得1-時級數(shù)2丄是發(fā)散的；n2a+2n21時級數(shù)2A是收斂的;n2a+_2n2由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得當1-時級數(shù)2散；當1-時級數(shù)2 n2收斂(4)n(12cos—)；n1因為lim-ncosn等價無窮~2nlim小代換n12—1~2n，且級數(shù)由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù)(1COS—)收斂n注：本題不能用正項級數(shù)的比值判別法。3n◎n盂；3n+1因為limn 3ng21計亠=3 1，n2(n 1) 21則由正項級數(shù)的根值判別法，得級數(shù)1則由正項級數(shù)的根值判別法，得級數(shù)則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù) 旦n發(fā)散ning2(6)(6)nl3n(n1)2 2因為訕斗訕叮=11,

nnn 3n2 33n則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù)2收斂。1ng2n1(n1)!g2因為lim則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù)2收斂。1ng2n1(n1)!g2因為lim(n1)nn n!g2nnnlim2(nn1)gnnn1(n1)lim一n1則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù)n!g2n收斂。(n因為limn叱丄等價無窮lim(nntan尹小代換nlim□丄1，n2n2則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù) ntanF收斂n1 2因為limn1n因為limn1nln(n1)1lim 0 1，nln(n1)收斂n1ln(n1)2n12n1則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù) 則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù) n 晉收斂。(10)因為limn2nn3n11limn則由正項級數(shù)的根值判別法,(11)n3n1得級數(shù)2nn3n1收斂。1anlim—nann由正項級數(shù)的根值判別法,a時級數(shù)an收斂；當-1即aba時級數(shù)n1ana時,級數(shù)n可能收斂也可能an發(fā)散。3.判斷下列級數(shù)的斂散性.(1)2n1V(2)(3)n(n!)21(2n)!(4)n11g3g5g7g..g(2n1)'(5)(6)2nsin歹；(7)n1nab(a,b0)；(8) -en；n1n(9)negi!解:(1)n2n2n2n_n1因為nim￡2n2n"m2(2n1)則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù)則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù)（2）mn!1因為lim■(n 1n!1limnn1則由正項級數(shù)的比值判別法,得級數(shù)丄收斂。1n![51)!]2

因為lim細彈limn(n!)2n(2n2)(2n麗(n1)21)11,則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù)(4)ng^ggn1)'2n因為lim?g^g.d2nDH2nDn2*1lim22n11g3g5g7g..g[2n1)則由正項級數(shù)的比值判別法，得級數(shù)2n1收斂。11g3g5g7g...g[2n1)4(5)—;n1n!(n1)4因為limn丄n!limn(n1)34

n4—收斂。1n!(6)nf忖；ni n因為廣 sin3^等價無窮，.所以所以lim口因為lim n lim一n小代換n2sin護nc 小代換n小代換n2sin護則由正項級數(shù)的比值判別法,得級數(shù)n12?忖收斂。因為limn1nab1nab(a,b(7)n10)；lim1nnnnab1，而調(diào)和級數(shù)-發(fā)散,a則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式,得級數(shù)-n1nab（a，b0）發(fā)散。(8)n1n2e因為limxex2limxx洛必達lim2x xe法則limx2^1，n2e1，而調(diào)和級數(shù)則由正項級數(shù)的比較判別法的極限形式，得級數(shù)n2發(fā)散。n(9)呷；n1neen1g(n1)!n1n1n1因為nm啓negn

lim nn(n1)nlim—n1此時由正項級數(shù)的比值判別法不能得到級數(shù)negn!的斂散性。但是由于數(shù)列1n是單調(diào)遞增的，且limne，所以enUn1)!n1從而(n召egn!nnn11-n1)!negn!nn,從而limnnegn!此時，利用收斂級數(shù)的必要條件,n可知級數(shù)呼是發(fā)散的。n1n4.判斷下列級數(shù)是否收斂？若收斂，是條件收斂還是絕對收斂?(1)11)nf;(2) (1)n丄；(3)Innsin(nx).7(4)(1)n7n1 2(5)1)nln(n1).7(6)1)n13nn1(7)1)12^n!解:(1)1)1Jn；因為對收斂;OF發(fā)散（p級數(shù)的結(jié)論），所以級數(shù)(1)n--1 --n不絕對交錯級數(shù)(1)n111，由于/ ，且limn ,n1 ?nn10，則由萊布尼茲定理,n1n1n1n1得交錯級數(shù)(1)l收斂；從而級數(shù)（、n□條件收斂。(2)n1)n^因為n21)n|n1n-，而丄Inn2lnn12），且調(diào)和級數(shù)-發(fā)散，則由正

n1n項級數(shù)的比較判別法,得級數(shù)n1)n|nnInnn2Inn1 11發(fā)散，即級數(shù)（丫丄不n2Inn絕對收斂;對交錯級數(shù) （n21)n丄，由于Innln(n1)Inn，且Iim—nInn0,則由萊布尼茲定理，得交錯級數(shù)1）"丄收斂；從而級數(shù)Inn$僉條件收斂。(3)nsin(nx)對級數(shù)sin(nx)2

n，因為sin(nx)1，且級數(shù)n4收斂（p級數(shù)的結(jié)論），1n則由正項級數(shù)的比較判別法,得級數(shù)斂。(4)n|imnn2nlimn則由正項級數(shù)的根值判別法,sin(nx)收斂，即級數(shù)sin(nx)絕對收n21)n71_n得級數(shù)112n收斂,nn1即級數(shù)絕對收斂(5)(1)nln(n1);n1 n1因為(川旦—衛(wèi)n1 n1級數(shù)的結(jié)論)，ln(n1)n1n1且—發(fā)散(pn1n1則由正項級數(shù)的比較判別法，得級數(shù)1)nln(n1)1ln(n1)發(fā)散，所以n1n1級數(shù)n1(1)nln(n1)不絕對收斂；n1對交錯級數(shù)(1)nln(n1)，令f(x)必(x2)，則n1n1x1gxInxgl1lnxf(x)x21 II1zv2，從而當xe時f(x)0，即當xe時xxf(x)lnx單調(diào)遞減;故ln(n2)ln(n1)(n2)，又limln(n1)0(因為xn2n1 n n1n11limln(x1)洛必達limx1o,所以limln(n1)0)，xx1法則x1 nn1則由萊布尼茲定理，得交錯級數(shù)(1)nln(n,1)收斂，從而n21)nln(n1)也

n1收斂故級數(shù)(1)n1n^條件收斂。(6)21n1) 3n1；因為值判別法,1)n13n1得級數(shù)n+1注，而n"n1=limnn3n3n1則由正項級數(shù)的比n1六收斂，即級數(shù)(1)n1哈絕對收斂。1 3n 1n 1(7)1)n2(n1)21)n12*n!2n2n!而limn(n1)!22nn!?2n1lim一limx?2x11limx22x1g2ln2(n1)2所以limn22n1n1limn(n1)!2n2n!^2n1lim?n所以li