1.1-1.9函數(shù)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎課件市賽課一等獎課件

講課老師：倪偉

主講：倪偉

南昌大學理學院數(shù)學系辦公：生命科學大樓B829（星期四下午2：00-5：00）電話等數(shù)學第1頁微積分概況微積分教程普通按以下方式安排：歷史上，這些問題是按相反次序進展：

集合極限連續(xù)函數(shù)微分積分阿基米德開普勒1615費馬1638牛頓1665萊布尼茲1675柯西1821威爾斯特拉斯康拓1875戴德金第2頁積分思想溯源—窮竭法▓不規(guī)則幾何圖形面積體積計算：

窮竭法：用規(guī)則幾何圖形“窮竭”不規(guī)則幾何圖形。歐多克斯原理：從任一量中減去不小它二分之一部分，再從余量中減去大于二分之一部分，如此繼續(xù)下去，則最終留一個小于任何給定同類量。▓歐多克斯(Eudoxus，400–350BC)提出。阿基米德(Archimedes,283-212BC)熟練利用。正四邊形…正十六邊正八邊形第3頁阿基米德（Archimedes,283-212BC）拋物線圍成一些圖形面積

積分思想溯源—阿基米德球面積、球體積、橢圓面積

第4頁開普勒(Kepler1571-1563)第一個試圖說明阿基米德方法，并給予推廣。第二行星定律中橢圓面積計算。1615年出版《酒桶新立體幾何》，書中包含用無窮小量求面積和體積許多問題。卡瓦列里(Cavalieri1598～1647)開普勒工作直接繼承者。不可分量原理。（y=xn下面積）不可分量專著：《不可分量幾何學》（1635）。積分思想溯源第5頁帕斯卡(Pascal1623—1662)更靠近積分當代解法。計算了種種面積、體積、弧長，并處理了求重心位置等問題。積分思想溯源中國古代數(shù)學家貢獻劉輝(約250-?),祖沖之(429-500)割圓術(shù)給出了計算圓面積和圓周率方法。祖恒沿著劉徽祖沖之思緒完成了球體積公式推導（祖恒原理）。沃利斯(Wallis,1616-1703)在其著作《無窮數(shù)量算術(shù)》中，取得了一系列主要結(jié)果。第6頁積分思想根本問題：無限分割求和問題。積分根本思想第7頁微分學起源

?曲線切線；

?函數(shù)最大(小)值;

?運動量改變率。羅貝瓦爾（Roberval，1602-1675）從普通意義上研究曲線切線問題。笛卡爾(1596-1650)用“圓法”來求曲線切線，本質(zhì)上是一個代數(shù)方法。費馬求極小、極大值方法巴羅微分三角形，把切線看作割線極限位置，并利用忽略高階無窮小來取極限。第8頁微分思想根本問題微分思想根本問題：量改變率問題。PQS第9頁以無窮小方法研究改變率問題產(chǎn)生了微分學；以無窮小方法研究分割求和問題產(chǎn)生了積分學；牛頓—萊布尼茨公式揭示了二者內(nèi)在聯(lián)絡（微積分基本定理），建立了統(tǒng)一微積分學。微積分誕生17世紀上半葉一系列前驅(qū)性工作沿不一樣方向朝著微積分大門踏近，但它們還不足以標示微積分作為一門獨立科學誕生，這是因為它們在方法上還缺乏普通性。第10頁牛頓從1665年到1695年，對微積分結(jié)果為：

★1665，“正流數(shù)術(shù)”—微分學；

（當初未公開發(fā)表，在科學家之間小范圍傳輸）★1666，“反流數(shù)術(shù)”—積分學；

（當初未公開發(fā)表，在科學家之間小范圍傳輸）★1666，“流數(shù)簡論”—標志微積分誕生；★1669，“分析學”—由今后人稱以微積分為主00000要內(nèi)容學科為數(shù)學分析★1671，“流數(shù)法”★1687，“自然哲學數(shù)學原理”—簡稱“原理”★1691，“求積術(shù)”

牛頓在微積分方面主要結(jié)果：第11頁萊布尼茨在微積分方面主要結(jié)果：★1675年給出積分號“”，同年引入微分號“d”★1676年給出公式，★1677年，表述微積分基本定理：★1684，“求極大與極小值和求切線新方法”(微積分學第一篇公開發(fā)表論文)★1686，“深奧幾何與不可分量無限分析”（積分學論文）第12頁牛頓VS萊布尼茨

牛頓和萊布尼茨各自獨立創(chuàng)造了微積分。

?萊布尼茨大部分結(jié)果先于牛頓發(fā)表；

?牛頓大部分結(jié)果先于萊布尼茨發(fā)覺。萊布尼茲記號比牛頓更輕易了解，一直沿用至今.這個時期微積分：

■極限概念還沒有引進微積分，主要應用“不可分量”和“無窮小量”概念。

■邏輯基礎(chǔ)不嚴密，一些結(jié)論不能嚴格證實。第13頁微積分極限理論基礎(chǔ)牛頓-萊布尼茨微積分邏輯基礎(chǔ)不嚴密，尤其是在無窮小概念上混亂，引發(fā)一部分人批評。

英國哲學家、牧師G.Berkeley（1685-1753）：《分析學家，或致一位不信神數(shù)學家》矛頭直指牛頓流數(shù)法?！狟erkeley悖論微積分牢靠基礎(chǔ)建立Cauchy:將微積分基礎(chǔ)建立在極限基礎(chǔ)上。Weirstrass:建立了分析基礎(chǔ)邏輯次序：實數(shù)系--極限論--微積分。

第14頁微積分集合論基礎(chǔ)因為實數(shù)嚴格理論還未建立，所以柯西極限理論還不完善?？挛?，威爾斯特拉斯之后，康托，戴德金將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實數(shù)理論，并建立起完整實數(shù)體系。19世紀下半葉，康拓爾建立著名集合論，成為當代數(shù)學基石。1900年，國際數(shù)學家大會上，法國著名數(shù)學家龐卡萊興高采烈宣稱：“借助于集合概念，我們能夠建造整個數(shù)學大廈……今天我們能夠說絕對嚴格性已經(jīng)到達……”第15頁微積分邏輯基礎(chǔ)最終完成羅素悖論：集合論是有漏洞.

----羅素《數(shù)學原理》1903S由一切不是本身元素集合所組成。然后羅素問：S是否屬于S呢？一個克里特人說：“全部克里特人說每一句話都是謊話?！?/p>

第16頁微積分邏輯基礎(chǔ)最終完成?1908年，策梅羅(Zermelo1871－1953)提出第一個公理化集合論體系，后經(jīng)弗蘭克爾(Fraenkel1891_1965)改進，稱為ZF系統(tǒng)。?這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上填補了康托爾樸素集合論缺點。至此，分析學（數(shù)學）大廈整個基礎(chǔ)完全建立

第17頁微積分概況微積分教程普通按以下方式安排：歷史上，這些問題是按相反次序進展：

集合極限連續(xù)函數(shù)微分積分阿基米德開普勒1615費馬1638牛頓1665萊布尼茲1675柯西1821威爾斯特拉斯康拓1875戴德金第18頁§1.1

集合概念1.集合：含有某種特定性質(zhì)事物總體.2.組成這個集合事物稱為該集合元素.比如aS,bS.3.有限集：由有限個元素組成。

比如方程x2=1根組成集合。

無限集：由無限個元素組成集合。比如全部整數(shù)組成集合。第19頁

若xA?xB,就說集合A是集合B子集，記為A?B.

若A?B,且B?A,就說集合A和集合B相等，記為A=B.列舉法：A={a1,a2,a3,a4}描述法：M={x|x所含有特征}比如A={x|x2-5x+6=0},A={x|x=2n,n為整數(shù)}.§1.1

集合表示法?數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實數(shù)集數(shù)集間關(guān)系:NZ,ZQ,QRBA第20頁?空集：不含任何元素集合稱為空集，記為

.

比如，{x|xR,x2+1=0}=

{0}非空，{}非空要求①

空集為任何集合子集,

A.

②集合A是其自己子集，AA.§1.1

全集與空集?全集：在一個詳細問題中，所包括集合都是某個集合子集，該集合為全集全集是相正確概念第21頁§1.1

集合運算設(shè)A.B是兩個集合①并集：由A和B全部元素組成集合，稱為A和B并，記為A∪B.A∪B={x|xA或xB}.②交集：由A和B公共元素組成集合，稱為A和B交，記為A∩B.A∩B={x|xA且xB}.第22頁§1.1

集合運算④補集：全集U中全部不屬于A元素組成集合，稱為A補集，記為ā.③差集：屬于A但不屬于B元素組成集合，稱為A和B差，記為A－B.A－B={x|xA且x

B}.

例,若A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，則A－B={1,2}.

例,若在本教室中學生為全集，且A為帶了《微積分》學生，則ā為未帶《微積分》學生。ABAUā第23頁設(shè)A、B、C為任意三個集合，則以下法則成立：§1.1

集合運算律⑴交換律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A⑵結(jié)合律(A∪B)∪C

=

A∪(B∪C)

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)⑶分配律(A∪B)∩

C

=(A∩C)∪(B∩C)

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪

C)⑷摩根律第24頁♀將兩個元素x和y按先后次序排列成一個元素組(x,y),稱為二元有序組。

(x,y)和(y,x)是兩個不一樣二元有序數(shù)組.

(x1,y1)=(x2,y2)當且僅當x1=x2,y1=y2.§1.1

集合笛卡爾乘積♀由三個元素x,y,z按先后次序排列成一個元素組(x,y,z),稱為三元有序組?！庥蒼個元素x1,x2,···,xn按先后次序排列成一個元素組(x1,x2,···,xn)稱為n元有序組。第25頁§1.1

集合笛卡爾乘積定義：設(shè)A,B為給定兩集合，集合A,B笛卡爾積A×B定義為A×B={(x,y)|xA,yB}

例1：設(shè)A={1,2,3,4},B={2,3},則A×B={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)}

例2：設(shè)A={a,b},則A×A={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}第26頁

例3：設(shè)R為實數(shù)集,則笛卡爾直角坐標平面可記為R×R,即R×R={(x,y)|xR,yR}.§1.1

集合笛卡爾乘積

例4：設(shè)A={x|0x2},B={y|0y1},則A×B={(x,y)|0x2,0y1}

表示坐標平面中如圖所表示區(qū)域。

yxoA×B第27頁§1.1

小結(jié)?集合概念及表示?全集，空集，子集?集合運算：交集，并集，差集，補集?集合運算律：交換律，結(jié)合律，分配率，摩根律?集合笛卡爾乘積：A×B={(x,y)|xA,yB}第28頁設(shè)a和b都是實數(shù)且a<b.稱為半開區(qū)間,稱為半開區(qū)間,§1.2

區(qū)間第29頁§1.2

區(qū)間第30頁§1.2

鄰域設(shè)a與是兩實數(shù)，且>0.▓集合U(a,

)={x|a-<x<a+}稱為點a鄰域。點a稱為這個鄰域中心，稱為鄰域半徑。▓集合{x|0<|x-a|<

}稱為點a以為半徑空心鄰域?！鸬?1頁§1.3

關(guān)系①父子關(guān)系:(x,y),x,y是地球人，且x是y父親②夫妻關(guān)系:(x,y),x,y是地球人，且x是y丈夫③實數(shù)間大于關(guān)系:(x,y),x,y是實數(shù)，且x大于y④集合包含關(guān)系:(x,y),x,y是全空間中兩集合，且xy⑤元素與集合隸屬關(guān)系:(x,y),x是一元素，y是一集合，且xy關(guān)系：關(guān)系是二元有序組集合

例，定義本班同學間同姓關(guān)系：R={(x,y)|x,y為本班同學，且x,y姓相同}第32頁§1.3

關(guān)系?令R是一關(guān)系（即二元有序組集合），且(x,y)R.?以上表面x,y存在關(guān)系R,在這種情況下通常寫作xRy.此時字母R代表一個關(guān)系，也能夠用其余字母來代替，尤其能夠用一些特殊符號來代替，如<,=,

等。

例1:R是全部二元有序整數(shù)組(x,y),其中xZ,yZ,且x小于y.于是xRy表示整數(shù)x小于整數(shù)y關(guān)系，此時普通用符號<代替字母R.

例2:R是全部二元有序組(x,y),其中x,y為地球人,且x是y妻子.于是xRy表示x是y妻子，此時可用其余符號代替字母R，比如x?y第33頁§1.3

函數(shù)概念定義域:D或D(f).值域：W={y|y=f(x),xD}或R(f).函數(shù)圖形：{(x,y)|y=f(x),xD(f)}定義：設(shè)DR為非空數(shù)集.假如xD,按照確定規(guī)則f,唯一實數(shù)y與之對應，記住y=f(x),則稱f為定義在D上一個函數(shù)?；蛴洖閒:DR.自變量因變量第34頁函數(shù)兩要素:定義域與對應法則.自變量對應法則f因變量約定:定義域是自變量所能取使算式有意義一切實數(shù)值.自然定義域§1.3

函數(shù)兩要素第35頁§1.3

函數(shù)定義域例：求函數(shù)定義域。解：給定函數(shù)定義域必須滿足且即且所以，原函數(shù)定義域為第36頁§1.3“多值函數(shù)”依據(jù)函數(shù)定義，它不是函數(shù)。但為了方便起見，書本上稱它為多值函數(shù)。在本教程中，我們只討論單值函數(shù)。○第37頁§1.4分段函數(shù)由兩個或多個解析式表示一個函數(shù)，交分段函數(shù)。oxy第38頁§1.4分段函數(shù)1-1xyo|x|=x·sgn(x)第39頁§1.4分段函數(shù)y12345-2-4-4-3-2-1-1-3xo[-3.6]=-4[-0.2]=-1[0.3]=0[2.4]=2第40頁§1.4分段函數(shù)第41頁§1.4分段函數(shù)第42頁§1.4分段函數(shù)第43頁§1.6函數(shù)奇偶性yxox-x第44頁§1.6函數(shù)奇偶性yxox-x第45頁§1.6函數(shù)周期性■通常說周期函數(shù)周期是指其最小正周期.■周期函數(shù)定義域為R.

例：y=sinx,y=cosx都以2為周期；y=tanx,y=cotx都以為周期.第46頁§1.6函數(shù)周期性第47頁§1.6函數(shù)單調(diào)性xyoxyo第48頁§1.6有界函數(shù)M-Myxoy=f(x)X

例第49頁§1.6無界函數(shù)

例

例

第50頁§1.2～1.6

小結(jié)?區(qū)間概念?鄰域概念?關(guān)系概念，函數(shù)概念，定義域，值域?常