1.1-1.9函數(shù)省名師優(yōu)質(zhì)課賽課獲獎(jiǎng)?wù)n件市賽課一等獎(jiǎng)?wù)n件

講課老師：倪偉

主講：倪偉

南昌大學(xué)理學(xué)院數(shù)學(xué)系辦公：生命科學(xué)大樓B829（星期四下午2：00-5：00）電話等數(shù)學(xué)第1頁(yè)微積分概況微積分教程普通按以下方式安排：歷史上，這些問(wèn)題是按相反次序進(jìn)展：

集合極限連續(xù)函數(shù)微分積分阿基米德開(kāi)普勒1615費(fèi)馬1638牛頓1665萊布尼茲1675柯西1821威爾斯特拉斯康拓1875戴德金第2頁(yè)積分思想溯源—窮竭法▓不規(guī)則幾何圖形面積體積計(jì)算：

窮竭法：用規(guī)則幾何圖形“窮竭”不規(guī)則幾何圖形。歐多克斯原理：從任一量中減去不小它二分之一部分，再?gòu)挠嗔恐袦p去大于二分之一部分，如此繼續(xù)下去，則最終留一個(gè)小于任何給定同類量。▓歐多克斯(Eudoxus，400–350BC)提出。阿基米德(Archimedes,283-212BC)熟練利用。正四邊形…正十六邊正八邊形第3頁(yè)阿基米德（Archimedes,283-212BC）拋物線圍成一些圖形面積

積分思想溯源—阿基米德球面積、球體積、橢圓面積

第4頁(yè)開(kāi)普勒(Kepler1571-1563)第一個(gè)試圖說(shuō)明阿基米德方法，并給予推廣。第二行星定律中橢圓面積計(jì)算。1615年出版《酒桶新立體幾何》，書(shū)中包含用無(wú)窮小量求面積和體積許多問(wèn)題。卡瓦列里(Cavalieri1598～1647)開(kāi)普勒工作直接繼承者。不可分量原理。（y=xn下面積）不可分量專著：《不可分量幾何學(xué)》（1635）。積分思想溯源第5頁(yè)帕斯卡(Pascal1623—1662)更靠近積分當(dāng)代解法。計(jì)算了種種面積、體積、弧長(zhǎng)，并處理了求重心位置等問(wèn)題。積分思想溯源中國(guó)古代數(shù)學(xué)家貢獻(xiàn)劉輝(約250-?),祖沖之(429-500)割圓術(shù)給出了計(jì)算圓面積和圓周率方法。祖恒沿著劉徽祖沖之思緒完成了球體積公式推導(dǎo)（祖恒原理）。沃利斯(Wallis,1616-1703)在其著作《無(wú)窮數(shù)量算術(shù)》中，取得了一系列主要結(jié)果。第6頁(yè)積分思想根本問(wèn)題：無(wú)限分割求和問(wèn)題。積分根本思想第7頁(yè)微分學(xué)起源

?曲線切線；

?函數(shù)最大(小)值;

?運(yùn)動(dòng)量改變率。羅貝瓦爾（Roberval，1602-1675）從普通意義上研究曲線切線問(wèn)題。笛卡爾(1596-1650)用“圓法”來(lái)求曲線切線，本質(zhì)上是一個(gè)代數(shù)方法。費(fèi)馬求極小、極大值方法巴羅微分三角形，把切線看作割線極限位置，并利用忽略高階無(wú)窮小來(lái)取極限。第8頁(yè)微分思想根本問(wèn)題微分思想根本問(wèn)題：量改變率問(wèn)題。PQS第9頁(yè)以無(wú)窮小方法研究改變率問(wèn)題產(chǎn)生了微分學(xué)；以無(wú)窮小方法研究分割求和問(wèn)題產(chǎn)生了積分學(xué)；牛頓—萊布尼茨公式揭示了二者內(nèi)在聯(lián)絡(luò)（微積分基本定理），建立了統(tǒng)一微積分學(xué)。微積分誕生17世紀(jì)上半葉一系列前驅(qū)性工作沿不一樣方向朝著微積分大門踏近，但它們還不足以標(biāo)示微積分作為一門獨(dú)立科學(xué)誕生，這是因?yàn)樗鼈冊(cè)诜椒ㄉ线€缺乏普通性。第10頁(yè)牛頓從1665年到1695年，對(duì)微積分結(jié)果為：

★1665，“正流數(shù)術(shù)”—微分學(xué)；

（當(dāng)初未公開(kāi)發(fā)表，在科學(xué)家之間小范圍傳輸）★1666，“反流數(shù)術(shù)”—積分學(xué)；

（當(dāng)初未公開(kāi)發(fā)表，在科學(xué)家之間小范圍傳輸）★1666，“流數(shù)簡(jiǎn)論”—標(biāo)志微積分誕生；★1669，“分析學(xué)”—由今后人稱以微積分為主00000要內(nèi)容學(xué)科為數(shù)學(xué)分析★1671，“流數(shù)法”★1687，“自然哲學(xué)數(shù)學(xué)原理”—簡(jiǎn)稱“原理”★1691，“求積術(shù)”

牛頓在微積分方面主要結(jié)果：第11頁(yè)萊布尼茨在微積分方面主要結(jié)果：★1675年給出積分號(hào)“”，同年引入微分號(hào)“d”★1676年給出公式，★1677年，表述微積分基本定理：★1684，“求極大與極小值和求切線新方法”(微積分學(xué)第一篇公開(kāi)發(fā)表論文)★1686，“深?yuàn)W幾何與不可分量無(wú)限分析”（積分學(xué)論文）第12頁(yè)牛頓VS萊布尼茨

牛頓和萊布尼茨各自獨(dú)立創(chuàng)造了微積分。

?萊布尼茨大部分結(jié)果先于牛頓發(fā)表；

?牛頓大部分結(jié)果先于萊布尼茨發(fā)覺(jué)。萊布尼茲記號(hào)比牛頓更輕易了解，一直沿用至今.這個(gè)時(shí)期微積分：

■極限概念還沒(méi)有引進(jìn)微積分，主要應(yīng)用“不可分量”和“無(wú)窮小量”概念。

■邏輯基礎(chǔ)不嚴(yán)密，一些結(jié)論不能嚴(yán)格證實(shí)。第13頁(yè)微積分極限理論基礎(chǔ)牛頓-萊布尼茨微積分邏輯基礎(chǔ)不嚴(yán)密，尤其是在無(wú)窮小概念上混亂，引發(fā)一部分人批評(píng)。

英國(guó)哲學(xué)家、牧師G.Berkeley（1685-1753）：《分析學(xué)家，或致一位不信神數(shù)學(xué)家》矛頭直指牛頓流數(shù)法?！狟erkeley悖論微積分牢靠基礎(chǔ)建立Cauchy:將微積分基礎(chǔ)建立在極限基礎(chǔ)上。Weirstrass:建立了分析基礎(chǔ)邏輯次序：實(shí)數(shù)系--極限論--微積分。

第14頁(yè)微積分集合論基礎(chǔ)因?yàn)閷?shí)數(shù)嚴(yán)格理論還未建立，所以柯西極限理論還不完善?？挛鳎査固乩怪?，康托，戴德金將分析基礎(chǔ)歸結(jié)為實(shí)數(shù)理論，并建立起完整實(shí)數(shù)體系。19世紀(jì)下半葉，康拓爾建立著名集合論，成為當(dāng)代數(shù)學(xué)基石。1900年，國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐卡萊興高采烈宣稱：“借助于集合概念，我們能夠建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈……今天我們能夠說(shuō)絕對(duì)嚴(yán)格性已經(jīng)到達(dá)……”第15頁(yè)微積分邏輯基礎(chǔ)最終完成羅素悖論：集合論是有漏洞.

----羅素《數(shù)學(xué)原理》1903S由一切不是本身元素集合所組成。然后羅素問(wèn)：S是否屬于S呢？一個(gè)克里特人說(shuō)：“全部克里特人說(shuō)每一句話都是謊話。”

第16頁(yè)微積分邏輯基礎(chǔ)最終完成?1908年，策梅羅(Zermelo1871－1953)提出第一個(gè)公理化集合論體系，后經(jīng)弗蘭克爾(Fraenkel1891_1965)改進(jìn)，稱為ZF系統(tǒng)。?這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上填補(bǔ)了康托爾樸素集合論缺點(diǎn)。至此，分析學(xué)（數(shù)學(xué)）大廈整個(gè)基礎(chǔ)完全建立

第17頁(yè)微積分概況微積分教程普通按以下方式安排：歷史上，這些問(wèn)題是按相反次序進(jìn)展：

集合極限連續(xù)函數(shù)微分積分阿基米德開(kāi)普勒1615費(fèi)馬1638牛頓1665萊布尼茲1675柯西1821威爾斯特拉斯康拓1875戴德金第18頁(yè)§1.1

集合概念1.集合：含有某種特定性質(zhì)事物總體.2.組成這個(gè)集合事物稱為該集合元素.比如aS,bS.3.有限集：由有限個(gè)元素組成。

比如方程x2=1根組成集合。

無(wú)限集：由無(wú)限個(gè)元素組成集合。比如全部整數(shù)組成集合。第19頁(yè)

若xA?xB,就說(shuō)集合A是集合B子集，記為A?B.

若A?B,且B?A,就說(shuō)集合A和集合B相等，記為A=B.列舉法：A={a1,a2,a3,a4}描述法：M={x|x所含有特征}比如A={x|x2-5x+6=0},A={x|x=2n,n為整數(shù)}.§1.1

集合表示法?數(shù)集分類:N----自然數(shù)集Z----整數(shù)集Q----有理數(shù)集R----實(shí)數(shù)集數(shù)集間關(guān)系:NZ,ZQ,QRBA第20頁(yè)?空集：不含任何元素集合稱為空集，記為

.

比如，{x|xR,x2+1=0}=

{0}非空，{}非空要求①

空集為任何集合子集,

A.

②集合A是其自己子集，AA.§1.1

全集與空集?全集：在一個(gè)詳細(xì)問(wèn)題中，所包括集合都是某個(gè)集合子集，該集合為全集全集是相正確概念第21頁(yè)§1.1

集合運(yùn)算設(shè)A.B是兩個(gè)集合①并集：由A和B全部元素組成集合，稱為A和B并，記為A∪B.A∪B={x|xA或xB}.②交集：由A和B公共元素組成集合，稱為A和B交，記為A∩B.A∩B={x|xA且xB}.第22頁(yè)§1.1

集合運(yùn)算④補(bǔ)集：全集U中全部不屬于A元素組成集合，稱為A補(bǔ)集，記為ā.③差集：屬于A但不屬于B元素組成集合，稱為A和B差，記為A－B.A－B={x|xA且x

B}.

例,若A={1,2,3,4}，B={3,4,5,6}，則A－B={1,2}.

例,若在本教室中學(xué)生為全集，且A為帶了《微積分》學(xué)生，則ā為未帶《微積分》學(xué)生。ABAUā第23頁(yè)設(shè)A、B、C為任意三個(gè)集合，則以下法則成立：§1.1

集合運(yùn)算律⑴交換律A∪B=B∪A,A∩B=B∩A⑵結(jié)合律(A∪B)∪C

=

A∪(B∪C)

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)⑶分配律(A∪B)∩

C

=(A∩C)∪(B∩C)

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪

C)⑷摩根律第24頁(yè)♀將兩個(gè)元素x和y按先后次序排列成一個(gè)元素組(x,y),稱為二元有序組。

(x,y)和(y,x)是兩個(gè)不一樣二元有序數(shù)組.

(x1,y1)=(x2,y2)當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2,y1=y2.§1.1

集合笛卡爾乘積♀由三個(gè)元素x,y,z按先后次序排列成一個(gè)元素組(x,y,z),稱為三元有序組。♀由n個(gè)元素x1,x2,···,xn按先后次序排列成一個(gè)元素組(x1,x2,···,xn)稱為n元有序組。第25頁(yè)§1.1

集合笛卡爾乘積定義：設(shè)A,B為給定兩集合，集合A,B笛卡爾積A×B定義為A×B={(x,y)|xA,yB}

例1：設(shè)A={1,2,3,4},B={2,3},則A×B={(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,2),(3,3),(4,2),(4,3)}

例2：設(shè)A={a,b},則A×A={(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}第26頁(yè)

例3：設(shè)R為實(shí)數(shù)集,則笛卡爾直角坐標(biāo)平面可記為R×R,即R×R={(x,y)|xR,yR}.§1.1

集合笛卡爾乘積

例4：設(shè)A={x|0x2},B={y|0y1},則A×B={(x,y)|0x2,0y1}

表示坐標(biāo)平面中如圖所表示區(qū)域。

yxoA×B第27頁(yè)§1.1

小結(jié)?集合概念及表示?全集，空集，子集?集合運(yùn)算：交集，并集，差集，補(bǔ)集?集合運(yùn)算律：交換律，結(jié)合律，分配率，摩根律?集合笛卡爾乘積：A×B={(x,y)|xA,yB}第28頁(yè)設(shè)a和b都是實(shí)數(shù)且a<b.稱為半開(kāi)區(qū)間,稱為半開(kāi)區(qū)間,§1.2

區(qū)間第29頁(yè)§1.2

區(qū)間第30頁(yè)§1.2

鄰域設(shè)a與是兩實(shí)數(shù)，且>0.▓集合U(a,

)={x|a-<x<a+}稱為點(diǎn)a鄰域。點(diǎn)a稱為這個(gè)鄰域中心，稱為鄰域半徑。▓集合{x|0<|x-a|<

}稱為點(diǎn)a以為半徑空心鄰域?！鸬?1頁(yè)§1.3

關(guān)系①父子關(guān)系:(x,y),x,y是地球人，且x是y父親②夫妻關(guān)系:(x,y),x,y是地球人，且x是y丈夫③實(shí)數(shù)間大于關(guān)系:(x,y),x,y是實(shí)數(shù)，且x大于y④集合包含關(guān)系:(x,y),x,y是全空間中兩集合，且xy⑤元素與集合隸屬關(guān)系:(x,y),x是一元素，y是一集合，且xy關(guān)系：關(guān)系是二元有序組集合

例，定義本班同學(xué)間同姓關(guān)系：R={(x,y)|x,y為本班同學(xué)，且x,y姓相同}第32頁(yè)§1.3

關(guān)系?令R是一關(guān)系（即二元有序組集合），且(x,y)R.?以上表面x,y存在關(guān)系R,在這種情況下通常寫(xiě)作xRy.此時(shí)字母R代表一個(gè)關(guān)系，也能夠用其余字母來(lái)代替，尤其能夠用一些特殊符號(hào)來(lái)代替，如<,=,

等。

例1:R是全部二元有序整數(shù)組(x,y),其中xZ,yZ,且x小于y.于是xRy表示整數(shù)x小于整數(shù)y關(guān)系，此時(shí)普通用符號(hào)<代替字母R.

例2:R是全部二元有序組(x,y),其中x,y為地球人,且x是y妻子.于是xRy表示x是y妻子，此時(shí)可用其余符號(hào)代替字母R，比如x?y第33頁(yè)§1.3

函數(shù)概念定義域:D或D(f).值域：W={y|y=f(x),xD}或R(f).函數(shù)圖形：{(x,y)|y=f(x),xD(f)}定義：設(shè)DR為非空數(shù)集.假如xD,按照確定規(guī)則f,唯一實(shí)數(shù)y與之對(duì)應(yīng)，記住y=f(x),則稱f為定義在D上一個(gè)函數(shù)。或記為f:DR.自變量因變量第34頁(yè)函數(shù)兩要素:定義域與對(duì)應(yīng)法則.自變量對(duì)應(yīng)法則f因變量約定:定義域是自變量所能取使算式有意義一切實(shí)數(shù)值.自然定義域§1.3

函數(shù)兩要素第35頁(yè)§1.3

函數(shù)定義域例：求函數(shù)定義域。解：給定函數(shù)定義域必須滿足且即且所以，原函數(shù)定義域?yàn)榈?6頁(yè)§1.3“多值函數(shù)”依據(jù)函數(shù)定義，它不是函數(shù)。但為了方便起見(jiàn)，書(shū)本上稱它為多值函數(shù)。在本教程中，我們只討論單值函數(shù)。○第37頁(yè)§1.4分段函數(shù)由兩個(gè)或多個(gè)解析式表示一個(gè)函數(shù)，交分段函數(shù)。oxy第38頁(yè)§1.4分段函數(shù)1-1xyo|x|=x·sgn(x)第39頁(yè)§1.4分段函數(shù)y12345-2-4-4-3-2-1-1-3xo[-3.6]=-4[-0.2]=-1[0.3]=0[2.4]=2第40頁(yè)§1.4分段函數(shù)第41頁(yè)§1.4分段函數(shù)第42頁(yè)§1.4分段函數(shù)第43頁(yè)§1.6函數(shù)奇偶性yxox-x第44頁(yè)§1.6函數(shù)奇偶性yxox-x第45頁(yè)§1.6函數(shù)周期性■通常說(shuō)周期函數(shù)周期是指其最小正周期.■周期函數(shù)定義域?yàn)镽.

例：y=sinx,y=cosx都以2為周期；y=tanx,y=cotx都以為周期.第46頁(yè)§1.6函數(shù)周期性第47頁(yè)§1.6函數(shù)單調(diào)性xyoxyo第48頁(yè)§1.6有界函數(shù)M-Myxoy=f(x)X

例第49頁(yè)§1.6無(wú)界函數(shù)

例

例

第50頁(yè)§1.2～1.6

小結(jié)?區(qū)間概念?鄰域概念?關(guān)系概念，函數(shù)概念，定義域，值域?常