用空間向量研究直線平面的位置關(guān)系自學(xué)案-高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

1.4.1用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系自學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)能用向量語言描述直線和平面，理解直線的方向向量于平面的法向量；能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角以及垂直于平行關(guān)系；能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面位置關(guān)系的判定定理。掌握用向量方法解決立體幾何問題的“三步曲”。了解向量法、綜合法與坐標(biāo)法的特點(diǎn)，能夠根據(jù)具體問題的特點(diǎn)選擇合適的方法。體會幾何直觀與代數(shù)運(yùn)算之間的融合，通過數(shù)與形的結(jié)合，感悟數(shù)學(xué)知識之間的關(guān)聯(lián)，加強(qiáng)對數(shù)學(xué)整體性的理解，發(fā)展直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)。梳理概念空間中點(diǎn)、直線和平面的向量表示①空間中點(diǎn)P的向量表示：首先選取______點(diǎn)O，則向量______為點(diǎn)P的位置向量。②空間中直線的向量表示：就是利用直線____上的一_____點(diǎn)_____和直線_____的__________表示直線_____上的_________點(diǎn)。如圖，是直線的方向向量，在直線上取AB=a，設(shè)P是直線上的任意一點(diǎn)，由向量共線的條件可知，點(diǎn)P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t，使得_____________，即_________。取定空間中的任意一點(diǎn)O，則點(diǎn)P在直線上的充要條件是存在實數(shù)t，使_________或___________，這兩個式子都稱為_______________。簡記為：空間任意直線由_____________及____________唯一確定。③空間中平面的向量表示：就是利用平面內(nèi)兩條相交直線的_____點(diǎn)和它們的________向量表示平面內(nèi)_________點(diǎn)。如圖，設(shè)兩條直線相交于點(diǎn)A，它們的方向向量分別為，P為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對，使得____________。取定空間中任意一點(diǎn)O，則點(diǎn)P在平面內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)，使________________或____________，這兩個式子都稱為_____________________。簡記為：空間中任意平面由________及__________________唯一確定。④法向量：特別地，給定空間一點(diǎn)A和一條直線，則過點(diǎn)A且_______直線的平面是唯一確定的。如圖，直線，取直線的方向向量，我們稱向量_____為平面的__________。此時平面的集合表示法為___________.問：（1）直線的方向向量和平面的法向量是否唯一？如何求平面的法向量？空間中直線、平面的平行和垂直（1）平行：①線線平行：設(shè)u1,u；②線面平行：設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，，則；③面面平行：設(shè)n1,n（2）垂直線線垂直：設(shè)u1,u線面垂直：設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，則；面面垂直：設(shè)n1,n問：（1）點(diǎn)A,B在平面上，且AB=CD，能否判定直線CD與平面平行？（2）直線的方向向量與平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量都垂直，那么與垂直嗎？若為平面的法向量所在的直線，且的方向向量分別為，則與有什么關(guān)系？自我檢測（多選題）下列利用方向向量、法向量判斷線與面位置關(guān)系的結(jié)論中正確的是（）兩條不重合的直線的方向向量分別是，則兩個不同的平面的法向量分別為，則若直線的方向向量為，平面的法向量為則若直線的方向向量為，平面的法向量為則如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，AB⊥BC，E,F分別為A1C1和BC的中點(diǎn)，求證：（1）平面ABE⊥平面B1BCC1;（2）C1F//平面ABC.如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，AB⊥BC，AA1=AB=BC=2.（1）求證：BC1⊥平面A1B1C.（2）點(diǎn)M在線段B1C上，且，在線段A1B上是否存在一點(diǎn)N，滿足MN//平面A1ACC1?若存在，求出的值；若不存在，請說明理由。自我檢測答案AB由題意知BC,BA,BB1兩兩互相垂直，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,設(shè)，則B(0,0,0),A(0,b,0),C1(a,0,c),,AB=0,?b,0,AE=a2,?b2,c，設(shè)平面ABE的法向量為易知平面平面B1BCC1的一個法向量為，，所以平面ABE⊥平面B1BCC1C1F=?a2,0,?c，由（1）知平面ABE的法向量為，∵（1）證明：由題意得BC1⊥B1C，BB1⊥A1B1，A1B1⊥B1C1，因為BB1,B1C1平面BCC1B1，BB1B1C1=B1,所以A1B1⊥平面BCC1B1,因為BC1平面BCC1B1，A1B1⊥BC1，因為A1B1，B1C平面A1B1C，A1B1BC1=B1，所以BC1⊥平面A1B1C.（2）存在，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC,BA,BB1的方向分別為,A1(0,2,2),,所以CA=設(shè)平面A1ACC1的法向量為，則n?CA=?2x+