人教A版（2023）必修第一冊5.7三角函數(shù)的應用含答案

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（共20題）

一、選擇題（共12題）

函數(shù)的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式是

A．B．

C．D．

如圖，單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置的距離和時間的函數(shù)關系式為：，那么單擺來回擺動一次所需的時間為

A．B．C．D．

如表是某市的年來月平均氣溫（）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計表：則適合這組數(shù)據(jù)的函數(shù)模型是

A．

B．

C．

D．

為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象

A．向左平移個單位長度B．向左平移個單位長度

C．向右平移個單位長度D．向右平移個單位長度

一個半徑為的水輪，水輪圓心距離水面，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動（按逆時針方向）圈，當水輪上的點從水中浮現(xiàn)時開始計時，即從圖中點開始計算時間．當時間秒時，點離水面的高度為

A．B．C．D．

某時鐘的秒針端點到中心點的距離為，秒針繞點勻速旋轉(zhuǎn)，當時間時，點與鐘面上標的點重合，當，，兩點間的距離（單位：），則等于

A．B．C．D．

要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象

A．向左平移個單位長度B．向左平移個單位長度

C．向右平移個單位長度D．向右平移個單位長度

把函數(shù)的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是

A．，B．，

C．，D．，

已知函數(shù)，其中，若在上恒成立，則的最大值為

A．B．C．D．

如圖所示，一個單擺以為始邊，為終邊的角與時間（）滿足函數(shù)關系式，，則當時，角的大小及單擺頻率是

A．，B．，C．，D．，

從物理學知識可知，圖中彈簧振子中的小球相對平衡位置的位移與時間（單位：）的關系符合函數(shù)．從某一時刻開始，用相機的連拍功能給彈簧振子連拍了張照片．已知連拍的間隔為，將照片按拍照的時間先后順序編號，發(fā)現(xiàn)僅有第張、第張、第張照片與第張照片是完全一樣的，請寫出小球正好處于平衡位置的所有照片的編號為

A．，B．，C．，，D．，，

為了研究鐘表與三角函數(shù)的關系，建立如圖所示的坐標系，設秒針位置為．若初始位置為，當秒針從（注：此時）開始走時，點的縱坐標與時間的函數(shù)解析式可以是

A．B．

C．D．

二、填空題（共5題）

某城市一年中個月的平均氣溫與月份的關系可近似地用三角函數(shù)來表示，已知月份的平均氣溫最高，為，月份的平均氣溫最低，為，則月份的平均氣溫值為．

某地區(qū)每年各個月份的月平均最高氣溫近似地滿足周期性規(guī)律，因此第個月的月平均最高氣溫可近似地用函數(shù)來刻畫，其中正整數(shù)表示月份且，例如表示月份，和是正整數(shù)，，．統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個月份的月平均最高氣溫有以下規(guī)律：

①該地區(qū)月平均最高氣溫最高的月份與最低的月份相差攝氏度；

②月份該地區(qū)月平均最高氣溫為攝氏度，隨后逐月遞增直到月份達到最高；

③每年相同的月份，該地區(qū)月平均最高氣溫基本相同．

根據(jù)已知信息，得到的表達式是．

海水受日月的引力，會發(fā)生潮汐現(xiàn)象．在通常情況下，船在漲潮時駛?cè)牒降?，進入港口，落潮時返回海洋．某興趣小組通過技術(shù)模擬在一次潮汐現(xiàn)象下貨船出入港口的實驗：首先，設定水深（單位：米）隨時間（單位：小時）的變化規(guī)律為，其中；然后，假設某虛擬貨船空載時吃水深度（船底與水面的距離）為米，滿載時吃水深度為米，卸貨過程中，隨著貨物卸載，吃水深度以每小時米的速度減小；并制定了安全條例，規(guī)定船底與海底之間至少要有米的安全間隙．

在此次模擬實驗中，若貨船滿載進入港口，那么以下結(jié)論正確的是．

①若，貨船在港口全程不卸貨，則該船在港口至多能停留個小時；

②若，該貨船進入港口后，立即進行貨物卸載，則該船在港口至多能停留個小時；

③若，貨船于時進入港口后，立即進行貨物卸載，則時，船底離海底的距離最大；

④若，貨船于時進入港口后，立即進行貨物卸載，則時，船底離海底的距離最大．

某時鐘的秒針端點到中心點的距離為，秒針均勻地繞點旋轉(zhuǎn)，當時間時，點與鐘面上標的點重合，將，兩點的距離表示成的函數(shù)，則，其中．

如圖，，為某市的兩個旅游中心，海岸線可看做一條直線，且與所在直線平行，現(xiàn)計劃將兩個旅游中心與海岸線連接起來，由于地勢原因，需在以為直徑的半圓上選定一點，修建，，三段公路，其中，，兩平行直線與之間的距離為，公路和段的造價均為，公路段的造價為，為便于籌備充足資金，需要計算該項工程的最大預算，根據(jù)以上信息，這三段公路總造價的最大值為千萬．

三、解答題（共3題）

某校同學設計一個如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”，其中，，，是拋物線上的四個不同的點，且（點，在第二象限，且點在點的左上方）．，交于點．點為軸上一點，記，其中為銳角．設線段的長為．

(1)用與表示點的橫坐標；

(2)將表示為的函數(shù)；

(3)求“蝴蝶形圖案”面積的最小值，并指出取最小值時的大小？

如圖，摩天輪上的一點在時刻距離地面的高度滿足，，已知該摩天輪的半徑為米，摩天輪轉(zhuǎn)輪中心距離地面的高度是米，摩天輪逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，點的起始位置在摩天輪的最低點處．

(1)根據(jù)條件求出（米）關于（分鐘）的解析式．

(2)在摩天輪從最低點開始計時轉(zhuǎn)動的一圈內(nèi)，有多長時間點距離地面不低于米？

如圖，某企業(yè)的兩座建筑物，的高度分別為和，其底部，之間的距離為．為響應創(chuàng)建文明城市的號召，進行亮化改造，現(xiàn)欲在建筑物的頂部處安裝一投影設備，投影到建筑物上形成投影幕墻，既達到亮化目的又可以進行廣告宣傳．已知投影設備的投影張角為，投影幕墻的高度越小，投影的圖象越清晰．設投影光線的上邊沿與水平線所成的角為，幕墻的高度為．

(1)求關于的函數(shù)關系式，并求出定義域．

(2)若投影的圖象最清晰，求幕墻的高度．

答案

一、選擇題（共12題）

1.【答案】D

【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象．由圖象可得，，則最小正周期，，又，，則，所以，故選D．

2.【答案】D

【解析】，

故單擺來回擺動一次所需時間為．

故選D．

3.【答案】C

【解析】當時，圖象處于最低點，排除B；當時，圖象處于最高點，排除A，D．

4.【答案】C

【解析】注意平移方向，由到，故選C．

5.【答案】B

【解析】秒時，水輪轉(zhuǎn)過角度為，此時點與恰好在直徑的兩端點，因為水輪圓心距離水面，所以秒時，點離水面的高度為．

6.【答案】D

【解析】因為的距離成周期性變化，，且最大距離是，此時，

所以函數(shù)的解析式是，．

7.【答案】B

【解析】因為，

所以要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度．

故選B．

8.【答案】C

【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，依題意，把函數(shù)的圖象上所有的點向左平行移動個單位長度得到曲線；再把所得圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到曲線．

9.【答案】B

【解析】因為，故．

由，即，

得，，

故，，

故解得，；

又，故，

故，

故的最大值為.

10.【答案】B

【解析】當時，，

由函數(shù)解析式易知單擺周期為，

故單擺頻率為．

11.【答案】D

12.【答案】C

【解析】由題意知，函數(shù)的周期為，所以．

設函數(shù)解析式為．

因為初始位置為，

所以時，，所以，

所以可取，

所以函數(shù)解析式可以是．

又由秒針順時針轉(zhuǎn)動可知，的值從開始要先逐漸減小，

故．

二、填空題（共5題）

13.【答案】

【解析】依題意知，，，

所以，

當時，．

14.【答案】，是正整數(shù)且

【解析】由題意可知解得：

，解得：

當時，，，

得：因為，所以，

所以的表達式是，，是正整數(shù)且．

15.【答案】①④

16.【答案】

【解析】如圖，設，由垂徑定理，得．因為所以化簡即得

17.【答案】

【解析】根據(jù)題意，設，則，過點作，則，，三點共線，

設這三段公路總造價為，

又由，則，，

則，

又由兩平行直線與之間的距離為，則，則

設，則，則有，則，

則，，

分析可得：時，取得最大值，且．

三、解答題（共3題）

18.【答案】

(1)作垂直軸于，則，

所以點的縱坐標為．

(2)點，

所以，

即，

解得，

由于，

所以．

(3)同理，，，

“蝴蝶形圖案”的面積

令，，

所以，

則，

所以，即時，“蝴蝶形圖案”的面積取最大值為．

19.【答案】

(1)由題意知，，，，

所以，

易知當時，，

因為，

所以，

所以．

(2)令，

化簡得，

所以，解得，

故有分鐘的時間點