人教A版（2023）必修第一冊(cè)5.7三角函數(shù)的應(yīng)用含答案

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（共20題）

一、選擇題（共12題）

函數(shù)的部分圖象如圖所示，則該函數(shù)的解析式是

A．B．

C．D．

如圖，單擺從某點(diǎn)開始來(lái)回?cái)[動(dòng)，離開平衡位置的距離和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式為：，那么單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次所需的時(shí)間為

A．B．C．D．

如表是某市的年來(lái)月平均氣溫（）的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表：則適合這組數(shù)據(jù)的函數(shù)模型是

A．

B．

C．

D．

為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象

A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

一個(gè)半徑為的水輪，水輪圓心距離水面，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動(dòng)（按逆時(shí)針方向）圈，當(dāng)水輪上的點(diǎn)從水中浮現(xiàn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，即從圖中點(diǎn)開始計(jì)算時(shí)間．當(dāng)時(shí)間秒時(shí)，點(diǎn)離水面的高度為

A．B．C．D．

某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離為，秒針繞點(diǎn)勻速旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)間時(shí)，點(diǎn)與鐘面上標(biāo)的點(diǎn)重合，當(dāng)，，兩點(diǎn)間的距離（單位：），則等于

A．B．C．D．

要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象

A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度

C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度

把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖象所表示的函數(shù)是

A．，B．，

C．，D．，

已知函數(shù)，其中，若在上恒成立，則的最大值為

A．B．C．D．

如圖所示，一個(gè)單擺以為始邊，為終邊的角與時(shí)間（）滿足函數(shù)關(guān)系式，，則當(dāng)時(shí)，角的大小及單擺頻率是

A．，B．，C．，D．，

從物理學(xué)知識(shí)可知，圖中彈簧振子中的小球相對(duì)平衡位置的位移與時(shí)間（單位：）的關(guān)系符合函數(shù)．從某一時(shí)刻開始，用相機(jī)的連拍功能給彈簧振子連拍了張照片．已知連拍的間隔為，將照片按拍照的時(shí)間先后順序編號(hào)，發(fā)現(xiàn)僅有第張、第張、第張照片與第張照片是完全一樣的，請(qǐng)寫出小球正好處于平衡位置的所有照片的編號(hào)為

A．，B．，C．，，D．，，

為了研究鐘表與三角函數(shù)的關(guān)系，建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)秒針位置為．若初始位置為，當(dāng)秒針從（注：此時(shí)）開始走時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)解析式可以是

A．B．

C．D．

二、填空題（共5題）

某城市一年中個(gè)月的平均氣溫與月份的關(guān)系可近似地用三角函數(shù)來(lái)表示，已知月份的平均氣溫最高，為，月份的平均氣溫最低，為，則月份的平均氣溫值為．

某地區(qū)每年各個(gè)月份的月平均最高氣溫近似地滿足周期性規(guī)律，因此第個(gè)月的月平均最高氣溫可近似地用函數(shù)來(lái)刻畫，其中正整數(shù)表示月份且，例如表示月份，和是正整數(shù)，，．統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)每年各個(gè)月份的月平均最高氣溫有以下規(guī)律：

①該地區(qū)月平均最高氣溫最高的月份與最低的月份相差攝氏度；

②月份該地區(qū)月平均最高氣溫為攝氏度，隨后逐月遞增直到月份達(dá)到最高；

③每年相同的月份，該地區(qū)月平均最高氣溫基本相同．

根據(jù)已知信息，得到的表達(dá)式是．

海水受日月的引力，會(huì)發(fā)生潮汐現(xiàn)象．在通常情況下，船在漲潮時(shí)駛?cè)牒降?，進(jìn)入港口，落潮時(shí)返回海洋．某興趣小組通過技術(shù)模擬在一次潮汐現(xiàn)象下貨船出入港口的實(shí)驗(yàn)：首先，設(shè)定水深（單位：米）隨時(shí)間（單位：小時(shí)）的變化規(guī)律為，其中；然后，假設(shè)某虛擬貨船空載時(shí)吃水深度（船底與水面的距離）為米，滿載時(shí)吃水深度為米，卸貨過程中，隨著貨物卸載，吃水深度以每小時(shí)米的速度減小；并制定了安全條例，規(guī)定船底與海底之間至少要有米的安全間隙．

在此次模擬實(shí)驗(yàn)中，若貨船滿載進(jìn)入港口，那么以下結(jié)論正確的是．

①若，貨船在港口全程不卸貨，則該船在港口至多能停留個(gè)小時(shí)；

②若，該貨船進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則該船在港口至多能停留個(gè)小時(shí)；

③若，貨船于時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則時(shí)，船底離海底的距離最大；

④若，貨船于時(shí)進(jìn)入港口后，立即進(jìn)行貨物卸載，則時(shí)，船底離海底的距離最大．

某時(shí)鐘的秒針端點(diǎn)到中心點(diǎn)的距離為，秒針均勻地繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)間時(shí)，點(diǎn)與鐘面上標(biāo)的點(diǎn)重合，將，兩點(diǎn)的距離表示成的函數(shù)，則，其中．

如圖，，為某市的兩個(gè)旅游中心，海岸線可看做一條直線，且與所在直線平行，現(xiàn)計(jì)劃將兩個(gè)旅游中心與海岸線連接起來(lái)，由于地勢(shì)原因，需在以為直徑的半圓上選定一點(diǎn)，修建，，三段公路，其中，，兩平行直線與之間的距離為，公路和段的造價(jià)均為，公路段的造價(jià)為，為便于籌備充足資金，需要計(jì)算該項(xiàng)工程的最大預(yù)算，根據(jù)以上信息，這三段公路總造價(jià)的最大值為千萬(wàn)．

三、解答題（共3題）

某校同學(xué)設(shè)計(jì)一個(gè)如圖所示的“蝴蝶形圖案（陰影區(qū)域）”，其中，，，是拋物線上的四個(gè)不同的點(diǎn)，且（點(diǎn)，在第二象限，且點(diǎn)在點(diǎn)的左上方）．，交于點(diǎn)．點(diǎn)為軸上一點(diǎn)，記，其中為銳角．設(shè)線段的長(zhǎng)為．

(1)用與表示點(diǎn)的橫坐標(biāo)；

(2)將表示為的函數(shù)；

(3)求“蝴蝶形圖案”面積的最小值，并指出取最小值時(shí)的大?。?/p>

如圖，摩天輪上的一點(diǎn)在時(shí)刻距離地面的高度滿足，，已知該摩天輪的半徑為米，摩天輪轉(zhuǎn)輪中心距離地面的高度是米，摩天輪逆時(shí)針做勻速轉(zhuǎn)動(dòng)，每分鐘轉(zhuǎn)一圈，點(diǎn)的起始位置在摩天輪的最低點(diǎn)處．

(1)根據(jù)條件求出（米）關(guān)于（分鐘）的解析式．

(2)在摩天輪從最低點(diǎn)開始計(jì)時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)的一圈內(nèi)，有多長(zhǎng)時(shí)間點(diǎn)距離地面不低于米？

如圖，某企業(yè)的兩座建筑物，的高度分別為和，其底部，之間的距離為．為響應(yīng)創(chuàng)建文明城市的號(hào)召，進(jìn)行亮化改造，現(xiàn)欲在建筑物的頂部處安裝一投影設(shè)備，投影到建筑物上形成投影幕墻，既達(dá)到亮化目的又可以進(jìn)行廣告宣傳．已知投影設(shè)備的投影張角為，投影幕墻的高度越小，投影的圖象越清晰．設(shè)投影光線的上邊沿與水平線所成的角為，幕墻的高度為．

(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并求出定義域．

(2)若投影的圖象最清晰，求幕墻的高度．

答案

一、選擇題（共12題）

1.【答案】D

【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象．由圖象可得，，則最小正周期，，又，，則，所以，故選D．

2.【答案】D

【解析】，

故單擺來(lái)回?cái)[動(dòng)一次所需時(shí)間為．

故選D．

3.【答案】C

【解析】當(dāng)時(shí)，圖象處于最低點(diǎn)，排除B；當(dāng)時(shí)，圖象處于最高點(diǎn)，排除A，D．

4.【答案】C

【解析】注意平移方向，由到，故選C．

5.【答案】B

【解析】秒時(shí)，水輪轉(zhuǎn)過角度為，此時(shí)點(diǎn)與恰好在直徑的兩端點(diǎn)，因?yàn)樗唸A心距離水面，所以秒時(shí)，點(diǎn)離水面的高度為．

6.【答案】D

【解析】因?yàn)榈木嚯x成周期性變化，，且最大距離是，此時(shí)，

所以函數(shù)的解析式是，．

7.【答案】B

【解析】因?yàn)椋?/p>

所以要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度．

故選B．

8.【答案】C

【解析】本題考查三角函數(shù)的圖象變換，依題意，把函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長(zhǎng)度得到曲線；再把所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到曲線．

9.【答案】B

【解析】因?yàn)?，故?/p>

由，即，

得，，

故，，

故解得，；

又，故，

故，

故的最大值為.

10.【答案】B

【解析】當(dāng)時(shí)，，

由函數(shù)解析式易知單擺周期為，

故單擺頻率為．

11.【答案】D

12.【答案】C

【解析】由題意知，函數(shù)的周期為，所以．

設(shè)函數(shù)解析式為．

因?yàn)槌跏嘉恢脼椋?/p>

所以時(shí)，，所以，

所以可取，

所以函數(shù)解析式可以是．

又由秒針順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)可知，的值從開始要先逐漸減小，

故．

二、填空題（共5題）

13.【答案】

【解析】依題意知，，，

所以，

當(dāng)時(shí)，．

14.【答案】，是正整數(shù)且

【解析】由題意可知解得：

，解得：

當(dāng)時(shí)，，，

得：因?yàn)椋裕?/p>

所以的表達(dá)式是，，是正整數(shù)且．

15.【答案】①④

16.【答案】

【解析】如圖，設(shè)，由垂徑定理，得．因?yàn)樗曰?jiǎn)即得

17.【答案】

【解析】根據(jù)題意，設(shè)，則，過點(diǎn)作，則，，三點(diǎn)共線，

設(shè)這三段公路總造價(jià)為，

又由，則，，

則，

又由兩平行直線與之間的距離為，則，則

設(shè)，則，則有，則，

則，，

分析可得：時(shí)，取得最大值，且．

三、解答題（共3題）

18.【答案】

(1)作垂直軸于，則，

所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)為．

(2)點(diǎn)，

所以，

即，

解得，

由于，

所以．

(3)同理，，，

“蝴蝶形圖案”的面積

令，，

所以，

則，

所以，即時(shí)，“蝴蝶形圖案”的面積取最大值為．

19.【答案】

(1)由題意知，，，，

所以，

易知當(dāng)時(shí)，，

因?yàn)椋?/p>

所以，

所以．

(2)令，

化簡(jiǎn)得，

所以，解得，

故有分鐘的時(shí)間點(diǎn)