浙教版八年級數(shù)學上冊第2章《特殊三角形》培優(yōu)題（原卷+解析卷）

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浙教版八年級數(shù)學上冊第2章《特殊三角形》培優(yōu)題精選

一、選擇題（共30分）

1．（浙江嘉興·九年級競賽）以下列各組數(shù)為邊長，能構成直角三角形的是()

A．，，B．，，

C．32，42，52D．1，2，3

【答案】A

【詳解】試題分析：勾股定理的逆定理：若一個三角形的兩邊長的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形的直角三角形.

A、，能構成直角三角形，本選項符合題意；

B、，C、，D、，均不符合題意.

考點：勾股定理的逆定理

點評：本題屬于基礎應用題，只需學生熟練掌握勾股定理的逆定理，即可完成.

2．（遼寧朝陽·八年級競賽）直角三角形的周長為12cm，斜邊長為5cm，則其面積為()

A．12cm2B．6cm2C．8cm2D．10cm2

【答案】B

【分析】設直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，根據(jù)直角三角形的周長及勾股定理即可得到關于a和b的方程組，再結合直角三角形的面積公式即可求得結果．

【詳解】解：設直角三角形的兩條直角邊長分別為a和b，由題意得：

，解得，

∴，

所以直角三角形的面積，

故選B．

【點睛】本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，完全平方公式的應用，解答本題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系，正確列方程，注意本題要有整體意識．

3．（遼寧朝陽·八年級競賽）如圖，2023年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會徽取材于我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股圓方圖》（也稱《趙爽弦圖》），它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的短直角邊為a，較長直角邊為b，那么的值為（）

A．13B．19C．25D．169

【答案】C

【分析】根據(jù)大正方形的面積即可求得，利用勾股定理可以得到，然后求得直角三角形的面積即可求得的值，根據(jù)即可求解．

【詳解】解：大正方形的面積是13，

，

，

直角三角形的面積是，

又直角三角形的面積是，

，

．

故選：C．

【點睛】本題考查了勾股定理以及完全平方公式，正確表示出直角三角形的面積是解題的關鍵．

4．（2023春·江蘇·八年級?？几傎悾┤鐖D，在△ABC中，D是AC邊上的中點，連結BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′與AB交于點E，連結AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，則點D到BC′的距離為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】連接C，交BD于點M，過點D作DH⊥B于點H，由翻折知，△BDC≌△BD，BD垂直平分C，證△AD為等邊三角形，利用解直角三角形求出DM＝1，M＝DM＝，BM＝2，在Rt△BM中，利用勾股定理求出B的長，在△BD中利用面積法求出DH的長，則可得出答案．

【詳解】解：如圖，連接C，交BD于點M，過點D作DH⊥B于點H，

∵AD＝A＝2，D是AC邊上的中點，

∴DC＝AD＝2，

由翻折知，△BDC≌△BD，BD垂直平分C，

∴D＝D＝2，BC＝B，CM＝M，

∴AD＝A＝D＝2，

∴△AD為等邊三角形，

∴∠AD＝∠AD＝∠AC＝60°，

∵DC＝D，

∴∠DC＝∠DC＝12×60°＝30°，

在Rt△DM中，

∠DC＝30°，D＝2，

∴DM＝1，M＝DM＝，

∴BM＝BDDM＝31＝2，

在Rt△BMC'中，

B＝，

∵S△BDC'＝BDH＝BDCM，

∴DH＝3×，

∴DH＝，

∵∠DCB＝∠DB，

∴點D到B的距離為，

故選：B．

【點睛】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，30°直角三角形性質(zhì)，勾股定理等，解題關鍵是會通過面積法求線段的長度．

5．（全國·八年級競賽）已知中，，點在邊的延長線上，，則（）

A．16B．15C．13D．12

【答案】D

【分析】作于點，則可得BH=CH，利用線段的和差關系及勾股定理可求得結果．

【詳解】如圖，作于點，

則為的中點，

所以BH=CH，

所以

．

故選：D．

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，線段的和差關系，勾股定理等知識，作出等腰三角形底邊上的高進而利用線段的和差關系表示是關鍵．

6．（遼寧朝陽·八年級競賽）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是、、，則下列說法中錯誤的是（）

A．如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90°

B．如果，則∠B=60°，∠A=30°

C．如果，那么△ABC是直角三角形

D．如果，那么△ABC是直角三角形

【答案】B

【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理，三角形內(nèi)角和定理及含30度角的直角三角形對各個選項進行分析，從而不難求解．

【詳解】解：A、∵∠C-∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°，

∴2∠C=180°，

∴∠C=90°，

故此選項正確；

B、由，無法得到∠B=60°，∠A=30°，故錯誤，本選項符合題意；

C、∵，

設，

由得，

∴，

∴，

∴△ABC是直角三角形，

故此選項正確，不符合題意；

D、∵，

∴，即，

∴c是斜邊，

∴△ABC是直角三角形，

故此選項正確，不符合題意；

故選：B．

【點睛】本題考查的是直角三角形的判定定理，判斷三角形是否為直角三角形可通過三角形的角、三邊的關系進行判斷．

7．（山東臨沂·九年級競賽）如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點D，點E為AC的中點，連接DE，則△CDE的周長為（）

A．20B．12C．14D．13

【答案】C

【詳解】解：∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，

∴AD⊥BC，CD=BD=BC=4，

∵點E為AC的中點，

∴DE=CE=AC=5，

∴△CDE的周長=CD+DE+CE=4+5+5=14．

故選C．

【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，熟記性質(zhì)并準確識圖是解題的關鍵．

8．（2022·廣東·九年級統(tǒng)考競賽）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，則△ABC的面積為（）

A．B．C．D．

【答案】B

【分析】先用配方法對b2+c2=2b+4c-5變形配方，從而求得b，c的值，再將其代入a2=b2+c2-bc，求出a，再由勾股定理的判定定理得出△ABC為直角三角形，從而其面積易得．

【詳解】∵b2+c2＝2b+4c﹣5

∴（b2﹣2b+1）+（c2﹣4c+4）＝0

∴（b﹣1）2+（c﹣2）2＝0，

∴b﹣1＝0，c﹣2＝0，

∴b＝1，c＝2．

又∵a2＝b2+c2﹣bc，

∴a2＝1+4﹣2＝3，

∴或（舍）

∵，

∴△ABC是以1和為直角邊的直角三角形，

∴△ABC的面積為：，

故選：B．

【點睛】本題考查了應用配方法進行變形，以及偶次方的非負性，勾股定理的逆定理，三角形的面積計算等基礎內(nèi)容，本題難度中等．

9．（全國·九年級競賽）在等邊三角形ABC所在的平面內(nèi)存在點P，使∠PAB、∠PBC、∠PAC都是等腰三角形.請指出具有這種性質(zhì)的點P的個數(shù)（）

A．1B．7C．10D．15

【答案】C

【詳解】分析：本題利用了等邊三角形是軸對稱圖形，三條高所在的直線也是對稱軸，也是邊的中垂線．

解：

（1）點P在三角形內(nèi)部時，點P是邊AB、BC、CA的垂直平分線的交點，是三角形的外心；

（2）分別以三角形各頂點為圓心，邊長為半徑，交垂直平分線的交點就是滿足要求的．每條垂直平分線上得3個交點，再加三角形的垂心，一共10個．故具有這種性質(zhì)的點P共有10個．

故選C．

10．（2023春·浙江寧波·九年級校聯(lián)考競賽）如圖，在中，，平分交于點平分交于點交于點．則下列說法正確的個數(shù)為（）

①；②，③若，則；④；⑤．

A．2個B．3個C．4個D．5個

【答案】C

【分析】①根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得可得，然后根據(jù)平分平分，可得，，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可進行判斷；

②當是的中線時，，進而可以進行判斷；

③根據(jù)，證明為等邊三角形，根據(jù)三線合一的性質(zhì)進而可以進行判斷；

④作的平分線交于點，可得，證明，，可得，進而可以判斷；

⑤過作于點，由④知，為的角平分線，可得，所以可得，根據(jù)，進而可以進行判斷．

【詳解】解：①在中，，

∴，

∵平分平分，

∴，，

∴，故①正確；

②當是的中線時，，故②錯誤；

③∵，

∴為的中線，

∵為的角平分線，

∴，

∴為等邊三角形，

∴，故③正確；

④如圖，作的平分線交于點，

由①得，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，故④正確；

⑤過作，于點，

由④知，為的角平分線，

∴，

∴，

∵，

∴，故⑤正確．

綜上所述：正確的有①③④⑤，共4個，

故選：C．

【點睛】本題考查了角平分線的定義以及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形全等的性質(zhì)和判定，作輔助線，構建三角形全等是解題關鍵．

二、填空題（共21分）

11．（浙江嘉興·九年級競賽）已知直角三角形兩邊的長滿足，則第三邊的長．

【答案】或或

【分析】根據(jù)絕對值、算術平方根的非負性分別求出x、y，分三種情況討論，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．

【詳解】解：∵x、y為直角三角形的兩邊長，滿足，

∴，，

解得（負值不合題意，舍去），或，

當直角邊長分別為2，2時，則第三邊長為：；

當直角邊長分別為2，3時，則第三邊長為：；

當直角邊長為2，斜邊長為3，則第三邊長為．

故答案為：或或．

【點睛】此題考查勾股定理、非負數(shù)的性質(zhì)，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么．

12．（2022秋·江蘇·八年級?？几傎悾┻^等腰三角形頂角頂點的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的底角度數(shù)為．

【答案】45°或36°

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理即可得出答案．

【詳解】解：①如圖1，

當過頂角的頂點的直線把它分成了兩個等腰三角形，則AC=BC，AD=CD=BD，

設∠A=x°，

則∠ACD=∠A=x°，∠B=∠A=x°，

∴∠BCD=∠B=x°，

∵∠A+∠ACB+∠B=180°，

∴x+x+x+x=180，

解得x=45，

∴原等腰三角形的底角是45°；

②如圖2，

△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD，

∵AB=AC，BD=AD，AC=CD，

∴∠B=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，

∵∠CDA=2∠B，

∴∠CAB=3∠B，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴5∠B=180°，

∴∠B=36°，

∴原等腰三角形的底角為36°；

故答案為45°或36°

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及其判定．作此題的時候，首先大致畫出符合條件的圖形，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理及其推論找到角之間的關系，列方程求解．

13．（2022春·湖南長沙·八年級校聯(lián)考競賽）如圖，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE，點C，D，E三點在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個結論：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE=AC+AD，其中結論正確的是（填序號）

【答案】①②③

【分析】根據(jù)全等、等腰三角形以及三角形邊的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】∵∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE

又∠BAD=∠BAC+∠CAD

∠CAE=∠EAD+∠CAD

∴∠BAD=∠CAE

∴△BAD≌△CAE(SAS)

∴BD=CE，故選項①正確；

∴∠BDA=∠CEA=45°

又∠ADE=45°

∴∠BDE=∠ADE+∠BDA=90°

∴BD⊥CE，故選項②正確；

∵△BAD≌△CAE

∴∠ACE=∠ABD

又∠ABC=∠ABD+∠CBD=∠ACE+∠CBD=45°，故選項③正確；

在△BAE中

AB+AE>BE

又AB=AC，AE=AD

∴AC+AD>BE，故選項④錯誤；

故答案為：①②③.

【點睛】本題考查的是等腰三角形，難度適中，需要熟練掌握等腰三角形、全等以及三角形的基本性質(zhì).

14．（遼寧朝陽·八年級競賽）如圖，長方形中，，，將此長方形折疊，使點B與點D重合，折痕為，則重疊部分的邊的長是．

【答案】5cm/5厘米

【分析】根據(jù)可得，求的長即可．然后設，則．在中根據(jù)勾股定理求解．

【詳解】解：，

．

根據(jù)折疊的性質(zhì)，．

，可得．

設，則．

．

解得．

．

故答案為5cm

【點睛】本題考查圖形的翻折變換，解題過程中應注意折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后對應邊相等．

15．（遼寧朝陽·八年級競賽）如圖，AD=8cm，CD=6cm，ADCD，BC=24cm，AB=26cm，則S四邊形ABCD=．

【答案】

【分析】連接AC，先根據(jù)勾股定理求得AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理證得ABC為直角三角形，最后根據(jù)直角三角形的面積公式及即可求得結果．

【詳解】解：連接AC

∵AD=8cm，CD=6cm，ADCD

∴

在三角形ABC中

∵

∴ABC為直角三角形

∴S四邊形ABCD=S△ABCS△ACD＝

【點睛】本題考查直角三角形的判定定理及面積公式．解答本題的關鍵是讀懂題意，正確作出輔助線，根據(jù)勾股定理的逆定理證得ABC為直角三角形．

16．（2022秋·江蘇·八年級?？几傎悾┤鐖D，中，是上任意一點，于點于點F，若，則．

【答案】1

【分析】將的面積拆成兩個三角形面積之和，即可間接求出的值．

【詳解】解：連接，如下圖：

于點于點，

，

，

，

故答案是：1．

【點睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，利用面積法解決兩邊之和問題，解題的關鍵是：將的面積拆成兩個三角形面積之和來解答．

17．（山東泰安·九年級競賽）我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖1）．圖2由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成．記圖中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，若S1+S2+S3=10，則S2的值是．

【答案】．

【詳解】試題解析：將四邊形MTKN的面積設為x，將其余八個全等的三角形面積一個設為y，

∵正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3，S1+S2+S3=10，

∴得出S1=8y+x，S2=4y+x，S3=x，

∴S1+S2+S3=3x+12y=10，故3x+12y=10，

x+4y=，

所以S2=x+4y=．

考點：勾股定理的證明．

三、解答題（共49分）

18．（本題6分）（2022秋·江蘇·八年級校考競賽）如圖，在中，，垂足為D，，延長至E，使得，連接．

(1)若，求；

(2)若，求面積．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）證明是的中垂線，推出，再利用三角形的外角性質(zhì)即可求解；

（2）利用勾股定理計算出，進而求出，即可求出的面積．

【詳解】（1）解：∵，，

∴是的中垂線，

∴，

∴；

∵，

∴，

∴；

（2）解：在中，，

∴，

∴，

∴．

【點睛】本題考查線段垂直平分線的性質(zhì)、勾股定理，三角形面積的計算等知識，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理的應用是解題的關鍵．

19．（本題8分）（2022秋·江蘇·八年級?？几傎悾┤鐖D，在中，，平分交于點D，，垂足為E，若．

(1)求的長度；

(2)求的長度．

【答案】(1)；

(2)．

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，求出，根據(jù)勾股定理計算，得到答案；

（2）利用證明，推出，設，在中，利用勾股定理求解即可．

【詳解】（1）解：∵平分交于點D，，，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）解：∵平分交于點D，，，

∴，

∴，

∴，

設，

在中，，

∴，

解得，

∴．

【點睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等是解題的關鍵．

20．（本題8分）（2022春·湖南長沙·八年級長沙市長郡雙語實驗中學?？几傎悾┮阎喝鐖D，△中，，，是△的中線，點在上，且．求證：．

【答案】證明見詳解．

【分析】以點C為圓心，CD長為半徑，交AB于F，連結CF，得出CD=CF，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠CDF=∠CFD，根據(jù)直角三角形斜邊中線得出AD=CF，再證△ADE≌△CFB（AAS）即可．

【詳解】證明：以點C為圓心，CD長為半徑，交AB于F，連結CF，則CD=CF，

∴∠CDF=∠CFD，

∴∠ADE=180°-∠CDF=180°-∠CFD=∠CFB，

∵是△的中線，

∴CD=AD=BD，

∴AD=CF，

在△ADE和△CFB中，

，

∴△ADE≌△CFB（AAS），

∴AE=CB．

【點睛】本題考查尺規(guī)作圖，等腰三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)，掌握尺規(guī)作圖，等腰三角形性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)，三角形全等判定與性質(zhì)是解題關鍵．

21．（本題8分）（四川自貢·八年級競賽）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在AB、BC、AC邊且BE＝CF，AD+EC＝AB．

（1）求證：△DEF是等腰三角形；

（2）當∠A＝40°時，求∠DEF的度數(shù)．

【答案】（1）見解析；（2）∠DEF＝70°．

【分析】（1）求出EC=DB，∠B=∠C，根據(jù)SAS推出△BED≌△CFE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出DE=EF即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠B=∠C=70°，根據(jù)全等得出∠BDE=∠FEC，求出∠DEB+∠FEC=110°，即可得出答案；

【詳解】（1）證明：∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵AB＝AD+BD，AB＝AD+EC，

∴BD＝EC，

在△DBE和△ECF中，，

∴△DBE≌△ECF（SAS）

∴DE＝EF，

∴△DEF是等腰三角形；

（2）∵∠A＝40°，

∴∠B＝∠C＝＝70°，

∴∠BDE+∠DEB＝110°，

又∵△DBE≌△ECF，

∴∠BDE＝∠FEC，

∴∠FEC+∠DEB＝110°，

∴∠DEF＝70°．

【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的應用，能靈活運用性質(zhì)進行推理是解此題的關鍵．

22．（本題9分）（2023·廣東茂名·八年級競賽）如圖，為線段上一動點，分別過點作，，連接．已知，設．

(1)用含的代數(shù)式表示的值；

(2)探究：當點滿足什么條件時，的值最??？最小值是多少？

(3)根據(jù)(2)中的結論，請構造圖形求代數(shù)式的最小值．

【答案】（1）；（2）三點共線時；（3）13

【分析】（1）由于△ABC和△CDE都是直角三角形，故可由勾股定理表示；

（2）若點C不在AE的連線上，根據(jù)三角形中任意兩邊之和大于第三邊知，AC+CE＞AE，故當A、C、E三點共線時，AC+CE的值最小；

（3）由（1）（2）的結果可作BD=12，過點B作AB⊥BD，過點D作ED⊥BD，使AB=2，ED=3，連接AE交BD于點C，則AE的長即為代數(shù)式的最小值，然后構造矩形AFDB，Rt△AFE，利用矩形的直角三角形的性質(zhì)可求得AE的值．

【詳解】（1）；

（2）當三點共線時，的值最?。?/p>

（3）如下圖所示，作，過點作，過點作，使，．連接交于點，的長即為代數(shù)式的最小值．

過點作交的延長線于點，得矩形，

則，12．

所以，即的最小值為13．

考點：本題考查的是軸對稱－最短路線問題

【點睛】本題利用了數(shù)形結合的思想，求形如的式子的最小值，可通過構造直角三角形，利用勾股定理求解．

23．（本題10分）（山東臨沂·九年級競賽）某數(shù)學興趣小組開展了一次活動，過程如下：如圖1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏將三角板中含45°角的頂點放在A上，斜邊從AB邊開始繞點A逆時針旋轉一個角α，其中三角板斜邊所在的直線交直線BC于點D，直角邊所在的直線交直線BC于點E．

（1）小敏在線段BC上取一點M，連接AM，旋轉中發(fā)現(xiàn)：若AD平分∠BAM，則AE也平分∠MAC．請你證明小敏發(fā)現(xiàn)的結論；

（2）當0°＜α≤45°時，小敏在旋轉中還發(fā)現(xiàn)線段BD、CE、DE之間存在如下等量關系：BD2+CE2=DE2．同組的小穎和小亮隨后想出了兩種不同的方法進行解決：

小穎的想法：將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF，連接EF（如圖2）；

小亮的想法：將△ABD繞點A逆時針旋轉90°得到△ACG，連接EG（如圖3）；

請你從中任選一種方法進行證明．

（3）小敏繼續(xù)旋轉三角板，請你繼續(xù)研究：當135°＜α＜180°時（如圖4），等量BD2+CE2=DE2是否仍然成立？請作出判斷，不需要證明．

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）成立，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠DAM+∠MAE=∠BAD+∠EAC=45°，再由AD平分∠BAM，即可求證；

（2）小穎的想法：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠BAD=∠FAD=45°，AB=AF，BD=DF，再由等腰直角三角形的性質(zhì)可得∠CAE=∠FAE．從而得到△AEF≌△AEC，進而得到CE=FE，∠AFE=∠C=45°．可得到∠DFE=90°．再由勾股定理，即可求證；小亮的想法：根據(jù)旋轉的性質(zhì)可得∠B=∠ACG=45°，AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，可證得△DAE≌△GAE，從而得到DE=EG，進而得到△ECG是直角三角形，再由勾股定理，即可求證；

（3）按小穎的方法作圖，設AB與EF相交于點G．證得△AEF≌△AEC，可得到∠DFE=90°，再由勾股定理，即可求證．

【詳解】（1）證明：∵∠BAC=90°，

∴∠BAD+∠DAM+∠MAE+∠EAC=90°．

∵∠DAE=45°，

∴∠DAM+∠MAE=45°，∠BAD+∠EAC=45°，

∴∠DAM+∠MAE=∠BAD+∠EAC=45°，

∵AD平分∠BAM，

∴∠BAD=∠DAM，

∴∠MAE=∠EAC，

即AE平分∠MAC；

（2）選擇小穎的方法．

證明：如圖2，連接EF．

由折疊可知，∠BAD=∠FAD=45°，AB=AF，BD=DF，

∵AB=AC，

∴AC=AF，

∵∠BAD=∠FAD，

∴由（1）可知，∠CAE=∠FAE．

在△AEF和△AEC中，

，

∴△AEF≌△AEC（SAS），

∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．

∴∠DFE=∠AFD+∠AFE=90°．

在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，

∴BD2+CE2=DE2．

選擇小亮的方法，

證明：如圖3，

∵將△ABD繞點A逆時針旋轉90°得到△ACG，

∴△ADB≌△AGC，

∴∠B=∠ACG=45°，AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，

∵∠BAC=∠DAG=90°，∠DAE=45°，

∴∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=45°，

∴∠DAE=∠EAG，

在△DAE和△GAE中，

，

∴△DAE≌△GAE（SAS），

∴DE=EG，

∵∠CAB=90°，

∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°，

∴△ECG是直角三角形，

∴CG2+CE2=EG2，

即BD2+CE2=DE2；

（3）當135°＜α＜180°時，等量關系BD2+CE2=DE2仍然成立．證明如下：

如圖4，按小穎的方法作圖，設AB與EF相交于點G．

∵將△ABD沿AD所在的直線對折得到△ADF，

∴AF=AB，∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°，∠BAD=∠FAD，

又∵AC=AB，

∴AF=AC．

又∵∠CAE=90°﹣∠BAE=90°﹣（45°﹣∠BAD）=45°+∠BAD=45°+∠FAD=∠FAE．

∴∠CAE=∠FAE．

在△AEF和△AEC中，

∵，

∴△AEF≌△AEC（SAS），

∴CE=FE，∠AFE=∠C=45°．

∴∠DFE=∠AFD﹣∠AFE=∠135°﹣∠C=135°﹣45°=90°．

∴∠DFE=90°．

在Rt△DFE中，DF2+FE2=DE2，

∴BD2+CE2=DE2．

【點睛】本題考查了幾何變換綜合性題目，用到的知識點有角平分線的定義，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，折疊對稱的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等，題目的綜合性較強，難度較大，正確做出圖形的輔助線是解題的關鍵．中小學教育資源及組卷應用平臺

浙教版八年級數(shù)學上冊第2章《特殊三角形》培優(yōu)題精選

一、選擇題（共30分）

1．（浙江嘉興·九年級競賽）以下列各組數(shù)為邊長，能構成直角三角形的是()

A．，，B．，，

C．32，42，52D．1，2，3

2．（遼寧朝陽·八年級競賽）直角三角形的周長為12cm，斜邊長為5cm，則其面積為()

A．12cm2B．6cm2C．8cm2D．10cm2

3．（遼寧朝陽·八年級競賽）如圖，2023年8月在北京召開的國際數(shù)學家大會會徽取材于我國古代數(shù)學家趙爽的《勾股圓方圖》（也稱《趙爽弦圖》），它是由四個全等的直角三角形與中間的一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，如果大正方形的面積是13，小正方形的面積是1，直角三角形的短直角邊為a，較長直角邊為b，那么的值為（）

A．13B．19C．25D．169

4．（2023春·江蘇·八年級?？几傎悾┤鐖D，在△ABC中，D是AC邊上的中點，連結BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDC'，DC′與AB交于點E，連結AC'，若AD＝AC′＝2，BD＝3，則點D到BC′的距離為（）

A．B．C．D．

5．（全國·八年級競賽）已知中，，點在邊的延長線上，，則（）

A．16B．15C．13D．12

6．（遼寧朝陽·八年級競賽）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別是、、，則下列說法中錯誤的是（）

A．如果∠C-∠B=∠A，那么△ABC是直角三角形，∠C=90°

B．如果，則∠B=60°，∠A=30°

C．如果，那么△ABC是直角三角形

D．如果，那么△ABC是直角三角形

7．（山東臨沂·九年級競賽）如圖，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于點D，點E為AC的中點，連接DE，則△CDE的周長為（）

A．20B．12C．14D．13

8．（2022·廣東·九年級統(tǒng)考競賽）在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c．若b2+c2＝2b+4c﹣5且a2＝b2+c2﹣bc，則△ABC的面積為（）

A．B．C．D．

9．（全國·九年級競賽）在等邊三角形ABC所在的平面內(nèi)存在點P，使∠PAB、∠PBC、∠PAC都是等腰三角形.請指出具有這種性質(zhì)的點P的個數(shù)（）

A．1B．7C．10D．15

10．（2023春·浙江寧波·九年級校聯(lián)考競賽）如圖，在中，，平分交于點平分交于點交于點．則下列說法正確的個數(shù)為（）

①；②，③若，則；④；⑤．

A．2個B．3個C．4個D．5個

二、填空題（共21分）

11．（浙江嘉興·九年級競賽）已知直角三角形兩邊的長滿足，則第三邊的長．

12．（2022秋·江蘇·八年級?？几傎悾┻^等腰三角形頂角頂點的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的底角度數(shù)為．

13．（2022春·湖南長沙·八年級校聯(lián)考競賽）如圖，已知在△ABC，△ADE中，∠BAC=∠DAE=90o，AB=AC，AD=AE，點C，D，E三點在同一條直線上，連接BD，BE．以下四個結論：①BD=CE；②BD⊥CE；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE=AC+AD，其中結論正確的是（填