模煳數(shù)學(xué)教案01市公開課獲獎?wù)n件省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎?wù)n件

含糊數(shù)學(xué)北京化工大學(xué)理學(xué)院楊衛(wèi)星行政樓428yangwx@1/37課程介紹介紹含糊數(shù)學(xué)基本理論和基本研究方法研究性學(xué)習(xí)過程接觸一些前沿問題和最新研究動態(tài)參考書目：《含糊數(shù)學(xué)方法及其應(yīng)用》第三版，謝季堅，劉承平，華中科技大學(xué)出版社

《含糊理論基礎(chǔ)》，胡寶清，武漢大學(xué)出版社

2/37成績評定課程性質(zhì)：24課時，選修課成績評定：20%平時作業(yè)，考勤

30%讀書匯報

50%閉卷考試3/37讀書匯報要求選擇國內(nèi)外期刊正式發(fā)表文章，用到了含糊數(shù)學(xué)思想或者方法，中英文均可。長度最少2頁，A4紙打印，文件和讀書匯報都要交，考試前上交。內(nèi)容包含：4/371）論文所研究問題以及這個問題為何有意義；2）論文基本假設(shè)，這些假設(shè)是否合理；3）論文使用方法；4）論文選取模型；5）基本結(jié)果；6）該論文貢獻和缺點，你對結(jié)果思索或可能擴展或者其它你認(rèn)為應(yīng)該包含內(nèi)容。5/37第

1章含糊集基本概念6/37

含糊數(shù)學(xué)是研究和處理含糊性現(xiàn)象數(shù)學(xué)方法.眾所周知，經(jīng)典數(shù)學(xué)是以準(zhǔn)確性為特征.

然而，與準(zhǔn)確形相悖含糊性并不完全是消極、沒有價值.甚至能夠這么說，有時含糊性比準(zhǔn)確性還要好.

比如,要你某時到某地去迎接一個“大胡子高個子長頭發(fā)戴寬邊黑色眼鏡中年男人”.

盡管這里只提供了一個準(zhǔn)確信息――男人，而其它信息――大胡子、高個子、長頭發(fā)、寬邊黑色眼鏡、中年等都是含糊概念，不過你只要將這些含糊概念經(jīng)過頭腦綜合分析判斷，就能夠接到這個人.

含糊數(shù)學(xué)在實際中應(yīng)用幾乎包括到國民經(jīng)濟各個領(lǐng)域及部門，農(nóng)業(yè)、林業(yè)、氣象、環(huán)境、地質(zhì)勘探、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟管理等方面都有含糊數(shù)學(xué)廣泛而又成功應(yīng)用.7/37含糊數(shù)學(xué)主要內(nèi)容三個基本概念：含糊集合，含糊關(guān)系，含糊隸屬函數(shù)三大基本原理：分解定理，表現(xiàn)定理，擴張原理三個基本應(yīng)用：含糊聚類分析，含糊模式識別，含糊綜合評判三大熱門專題：含糊決議理論，含糊邏輯系統(tǒng)，含糊測度理論8/37§1.2含糊理論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)經(jīng)典集合經(jīng)典集合含有兩條基本屬性：元素彼此相異，即無重復(fù)性；范圍邊界分明,即一個元素x要么屬于集合A(記作x

A),要么不屬于集合(記作x

A)，二者必居其一.

集合表示法：

(1)枚舉法，A={x1,x2,…,xn}；

(2)描述法，A={x|P(x)}.

A

B

若x

A，則x

B；

A

B

若x

B，則x

A；

A=B

A

B且A

B.9/37

集合A全部子集所組成集合稱為A冪集，記為

(A).并集A∪B={x|x

A或x

B}；交集A∩B={x|x

A且x

B}；余集Ac

={x|x

A}.集合運算規(guī)律冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；

吸收律：A∪(A∩B)

=A，A∩(A∪B)

=A；10/37分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U

，A∩U=A

；

A∪

=A

，A∩

=

；還原律：(Ac)c=A

；對偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc；

排中律：A∪Ac

=U，A∩Ac

=

；U為全集，

為空集.集合直積：

X

Y={(x,y)|x

X,y

Y

}.11/37映射與擴張映射f：X

Y集合A特征函數(shù)：特征函數(shù)滿足：取大運算,如2∨3=3取大運算,如2∧3=2擴張：點集映射集合變換12/37二元關(guān)系XY子集R稱為從X到Y(jié)二元關(guān)系，尤其地，當(dāng)X=Y時，稱之為X上二元關(guān)系.二元關(guān)系簡稱為關(guān)系.若(x,y)R，則稱x與y相關(guān)系，記為R(x,y)=1；若(x,y)R，則稱x與y沒相關(guān)系，記為R(x,y)=0.映射R:XY{0,1}實際上是XY子集R上特征函數(shù).13/37關(guān)系三大特征：

設(shè)R為X上關(guān)系

(1)自反性：若X上任何元素都與自己有關(guān)系R，即R(x,x)=1，則稱關(guān)系R含有自反性；

(2)對稱性：對于X上任意兩個元素x,y，若x與y相關(guān)系R時，則y與x也相關(guān)系R，即若R(x,y)=1，則R(y,x)=1，那么稱關(guān)系R含有對稱性；

(3)傳遞性：對于X上任意三個元素x,y,z，若x與y相關(guān)系R，y與z也相關(guān)系R時，則x與z也相關(guān)系R，即若R(x,y)=1，R(y,z)=1，則R(x,z)=1，那么稱關(guān)系R含有傳遞性.

14/37關(guān)系矩陣表示法

設(shè)X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn}，R為從X到Y(jié)二元關(guān)系，記rij=R(xi,yj)，R=(rij)m×n，則R為布爾矩陣(Boole)，稱為R關(guān)系矩陣.

布爾矩陣(Boole)是元素只取0或1矩陣.關(guān)系合成

設(shè)R1是X到Y(jié)關(guān)系,R2是Y到Z關(guān)系,則R1與R2合成R1°

R2是X到Z上一個關(guān)系.(R1°R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]|y∈Y}15/37關(guān)系合成矩陣表示法

設(shè)X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z2,…,zn}，且X到Y(jié)關(guān)系R1=(aik)m×s，Y到Z關(guān)系R2=(bkj)s×n，則X到Z關(guān)系可表示為矩陣合成：R1°

R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)|1≤k≤s}.

定義：若R為n階方陣，定義R2

=R°

R，R3

=R2

°

R…16/37

例設(shè)X={1,2,3,4},Y={2,3,4},Z={1,2,3},R1是X到Y(jié)關(guān)系,R2是Y到Z關(guān)系,R1={(x,y)|x+y=6}={(2,4),(3,3),(4,2)},R2={(x,y)|y–z=1}={(2,1),(3,2),(4,3)},則R1與R2合成R1°

R2={(x,y)|x+z=5}={(2,3),(3,2),(4,1)}.17/37合成(°

)運算性質(zhì)：性質(zhì)1：(A°B)°

C=A°(B°C)；性質(zhì)2：Ak

°Al

=Ak+l，(Am)n=Amn；性質(zhì)3：A°

(B∪C)

=(A°

B)∪(A°

C)；

(B∪C)°

A=(B°

A)∪(C°

A)；性質(zhì)4：O°A=A°O=O，I°A=A°I=A；性質(zhì)5：A≤B，C≤D

A°C≤B°D.O為零矩陣，I為n階單位方陣.A≤B

aij≤bij

.18/37關(guān)系三大特征矩陣表示法：

設(shè)R為X={x1,x2,…,xn}

上關(guān)系，則其關(guān)系矩陣R=(rij)n×n

為n階方陣.(1)R含有自反性

I≤R；(2)R含有對稱性

RT

=R

；(3)R含有傳遞性

R2≤R

.

若R含有自反性，則

I≤R≤R2≤R3≤…19/37下面證實：R含有傳遞性

R2≤R.R=(rij)n×n

設(shè)R含有傳遞性,即對任意i,j,k，若有rij=1，rjk=1，則有rik=1.

對任意i,j，若∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=0，則∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}≤rij.

若∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=1，則存在1≤s≤n，使得(ris∧rsj)=1，20/37即ris=1,rsj=1.

因為R含有傳遞性，則rij=1，所以∨{(rik∧rkj)|1≤k≤n}=rij.總而言之

R2≤R.

設(shè)R2≤R，則對任意i,j,k，若有

rij=1，rjk=1，即(rij∧rjk)=1，所以∨{(ris∧rsk)|1≤s≤n}=1，

由R2≤R，得rik=1，所以R含有傳遞性.21/37集合上等價關(guān)系

設(shè)

X上關(guān)系R含有自反性、對稱性、傳遞性，則稱R為X上等價關(guān)系.

若x與y有等價關(guān)系R，則記為x

y.集合上等價類

設(shè)

R是X上等價關(guān)系，x

X.定義x等價類：[x]R={y|y

X

，y

x}.集合分類

設(shè)

X是非空集，Xi

是X非空子集，若∪Xi=X，且Xi∩Xj

=

(i

j)，則稱集合族{Xi

}是集合X一個分類.22/37

定理：集合X上任一個等價關(guān)系R能夠確定X一個分類.即

(1)任意x

X，[x]R非空；

(2)任意x,y

X，若x與y沒相關(guān)系R，則[x]R∩[y]R=

；

(3)X=∪[x]R.

證:(1)因為R含有自反性，所以x∈[x]R，即[x]R非空.

(2)假設(shè)[x]R∩[y]R

,取z∈[x]R∩[y]R，則z與x相關(guān)系R，與y也相關(guān)系R.因為R含有對稱性，所以x與z相關(guān)系R，z與y也相關(guān)系R.又因為R含有傳遞性，x與y也相關(guān)系R.這與題設(shè)矛盾.

(3)略.23/37例設(shè)X={1,2,3,4},定義關(guān)系R1：xi＜xj；R2

：xi+xj為偶數(shù)；R3

：xi+xj=5.

則關(guān)系R1是傳遞，但不是自反，也不是對稱；輕易驗證關(guān)系R2是X上等價關(guān)系；關(guān)系R3是對稱和傳遞，但不是自反.按關(guān)系R2可將X分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類，即X={1,3}∪{2,4}.按關(guān)系R3可將X分為兩類，即X={1,4}∪{2,3}.24/37格

設(shè)在集合L中要求了兩種運算∨與∧,并滿足以下運算性質(zhì)：冪等律：a∨a=a

，a∧a=a

；交換律：a∨b=b∨a，a∧b=b∧a；結(jié)合律：(a∨b)∨c=a∨(b∨c)，

(a∧b)∧c=a∧(b∧c)

；吸收律：a∨(a∧b)

=a，

a∧(a∨b)

=a.則稱L是一個格，記為(L,∨,∧).25/37

設(shè)(L,∨,∧)是一個格，假如它還滿足以下運算性質(zhì)：分配律：(a∨b)∧c=(a∧c)∨(b∧c),

(a∧b)∨c=(a∨c)∧(b∨c).則稱

(L,∨,∧)為分配格.

若格(L,∨,∧)滿足：

0-1律：在L中存在兩個元素0與1，且a∨0=a，a∧0=0，a∨1=1，a∧1=a，則稱

(L,∨,∧)有最小元0與最大元1，此時又稱

(L,∨,∧)為完全格.26/37

若在含有最小元0與最大元1分配格

(L,∨,∧)中要求一個余運算c，滿足：還原律：(ac)c=a；互余律：a∨ac=1，a∧ac=0，則稱(L,∨,∧,c)為一個Boole代數(shù).

若在含有最小元0與最大元1分配格

(L,∨,∧)中要求一個余運算c，滿足：還原律：(ac)c=a

；對偶律：(a∨b)c=ac∧bc，

(a∧b)c

=ac∨bc，則稱(L,∨,∧,c)

為一個軟代數(shù).27/37

例1任一個集合A冪集

(A)是一個完全格.

格中最大元為A(全集)，最小元為

(空集)，而且(J(A),∪,∩,

c)

既是一個Boole代數(shù)，也是一個軟代數(shù).

例2記[0,1]上全體有理數(shù)集為Q，則(Q,∨,∧)是一個完全格.

格中最大元為1，最小元為0.

若在Q中定義余運算c為ac

=1-

a，則(Q,∨,∧,c)

不是一個Boole代數(shù)，但它是一個軟代數(shù).28/37§1.3含糊子集及其運算含糊子集與隸屬函數(shù)

設(shè)U是論域，稱映射A(x)：U→[0,1]確定了一個U上含糊子集A，映射A(x)稱為A隸屬函數(shù)，它表示x對A隸屬程度.

使A(x)=0.5點x稱為A過渡點，此點最具含糊性.

當(dāng)映射A(x)只取0或1時，含糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它特征函數(shù).可見經(jīng)典子集就是含糊子集特殊情形.29/37

例設(shè)論域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(單位：cm)表示人身高，那么U上一個含糊集“高個子”(A)隸屬函數(shù)A(x)可定義為也可用Zadeh表示法：30/37含糊集運算相等：A=B

A(x)=

B(x)；包含：A

B

A(x)≤B(x)；并：A∪B隸屬函數(shù)為

(A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；交：A∩B隸屬函數(shù)為

(A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；余：Ac隸屬函數(shù)為Ac(x)=1-

A(x).31/37

例設(shè)論域U={x1,x2,x3,x4,x5}(商品集)，在U上定義兩個含糊集：A=“商品質(zhì)量好”，B=“商品質(zhì)量壞”，并設(shè)A

=(0.8,0.55,0,0.3,1).B

=(0.1,0.21,0.86,0.6,0).則Ac=“商品質(zhì)量不好”,Bc=“商品質(zhì)量不壞”.Ac=(0.2,0.45,1,0.7,0).Bc=(0.9,0.79,0.14,0.4,1).可見Ac

B,

Bc

A.

又A∪Ac

=(0.8,0.55,1,0.7,1)

U,

A∩Ac

=(0.2,0.45,0,0.3,0)

.32/37含糊集并、交、余運算性質(zhì)

冪等律：A∪A=A，A∩A=A；交換律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；結(jié)合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，

(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；

分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C)；

(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C)；0-1律：A∪U=U，A∩U=A；

A∪

=A，A∩

=

；還原律：(Ac)c=A

；33/37對偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，

(A∩B)c=Ac∪Bc；

對偶律證實：對于任意x

U(論域)，

(A∪B)c(x)=1-

(A∪B)(x)=1-

(A(x)∨B(x))=(1-

A(x