概率論與數(shù)理統(tǒng)計第六章測試題

第6章參數(shù)估計選擇題1．設(shè)是來自正態(tài)總體X的簡單隨機樣本，X的分布函數(shù)F(x;θ)中含未知參數(shù)，則（A）用矩估計法和最大似然估計法求出的θ的估計量相同(B)用矩估計法和最大似然估計法求出的θ的估計量不同（C）用矩估計法和最大似然估計法求出的θ的估計量不一定相同(D)用最大似然估計法求出的θ的估計量是唯一的2．設(shè)是來自正態(tài)總體X的簡單隨機樣本，EX=μ，DX=σ2，其中μ，σ2均為未知參數(shù)，，，下面結(jié)論哪個是錯誤的。（A）是μ的無偏估計(B)是μ的無偏估計（C）比有效(D)是σ2的最大似然估計量3．設(shè)是來自正態(tài)分布總體N(μ,σ2)的簡單隨機樣本，其中數(shù)學(xué)期望μ已知，則總體方差σ2的最大似然估計量是（A）(B)（C）(D)4．已知總體X在區(qū)間[0,θ]上均勻分布，其中θ是未知參數(shù)，設(shè)是來自X的簡單隨機樣本，是樣本均值，是最大觀測值，則下列選項錯誤的是（A）是θ的最大似然估計量要使L(θ)達到最大，θ應(yīng)最小，但它小不過x(n)(B)是要使L(θ)達到最大，θ應(yīng)最小，但它小不過x(n)（C）是θ的矩估計量(D)是θ的無偏估計量5．設(shè)總體X~N(μ1,σ2)，總體Y~N(μ2,σ2)，和分別是來自總體X和Y的簡單隨機樣本，樣本方差分別為與，則σ2的無偏估計量是（A）(B)（C）(D)6．設(shè)是從總體X中取出的簡單隨機樣本的樣本均值，則是μ的矩估計，如果（A）X~N(μ,σ2)(B)X服從參數(shù)為μ的指數(shù)分布（C）P（X=m）=μ(1-μ)m-1，m=1,2,…(D)X服從[0,μ]上的均勻分布填空題1．假設(shè)總體X服從參數(shù)為λ的泊松分布，是取自總體X的簡單隨機樣本，其均值、方差分別為，S2，如果為λ的無偏估計，則a=。2．已知、為未知參數(shù)θ的兩個無偏估計，且與不相關(guān)，，如果也是θ的無偏估計，且是、所有同類型線性組合無偏估計中有最小方差的，則a=，b=。3．設(shè)總體X的概率密度為則θ的矩估計量為。4．設(shè)是取自總體X的簡單隨機樣本，且EX=μ，DX=σ2，其均值、方差分別為，S2，則當(dāng)c=時，是μ2的無偏估計。5．設(shè)是取自總體X的簡單隨機樣本，且EX=μ，DX=σ2，E(Xi^2)=σE(Xi^2)=σ2+μ2數(shù)學(xué)期望等于σ2，則a=，b=。解答題1．設(shè)總體X的概率密度為其中θ>-1是未知參數(shù)，X1,X2,…,Xn是來自總體X的一個容量為n的簡單隨機樣本，分別用矩估計法和最大似然估計法求θ的估計量。2．設(shè)某種元件的使用壽命X的概率密度為其中θ>0是未知參數(shù)，x1,x2,…,xn是來自總體X的一組樣本觀測值，求θ的最大似然估計量。定義法！定義法！3.設(shè)總體X的概率分布為X0123Pθ22θ(1-θ)θ21-2θ其中θ（0<θ<1/2）是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值：3，1，3，0，3，1，2，3，求θ的矩估計值和最大似然估計值。4．設(shè)某種元件的壽命X（單位：小時）服從雙參數(shù)的指數(shù)分布，其概率密度為其中θ，μ(>0)為未知參數(shù)。自一批這種器件中隨取n件進行壽命試驗，設(shè)它們的失效時間分別為，求θ，μ的最大似然估計量。5．設(shè)總體X的概率密度為θ為未知參數(shù)，為取自X的一個樣本，證明：，先求出分布函數(shù)，再求概率密度，再求期望和方差是θ的兩個無偏估計量根據(jù)和EX來求Eθ先求出分布函數(shù)，再求概率密度，再求期望和方差根據(jù)和EX來求Eθi和Dθi6方法同5．設(shè)總體X的概率密度為θ為未知參數(shù)，為取自X的一個樣本，方法同5（1）求θ的矩估計量；（2）求的方差；（3）討論的無偏性。7．某人作獨立重復(fù)射擊，每次擊中目標的概率為p，他在第X次射擊時，首次擊中目標。（1）試寫出X的分布律；（2）以此X為總體，從中抽取簡單隨機樣本，試求未知參數(shù)p的矩估計量和最大似然估計量。8．設(shè)從均值為μ，方差為σ2的總體中分別抽取容量為n1，n2的兩個獨立樣本，樣本均值分別為和。試證：對于任意滿足條件a+b=1的常數(shù)a和b，是μ的無偏估計量，并確定a，b，使得方差DT達到最小。參考答案選擇題1．C2．D3．C4．B5．D6．A填空題1．1/22．0.2，0.83．4．1/n5．1/(n-1)，-n/(n-1)解答題1．解：（1），所以令，解得θ的矩估計量；（2）似然函數(shù)為其對數(shù)似然函數(shù)為考慮，解得；于是θ的最大似然估計量為。2．解：似然函數(shù)為由上面形式可得時，似然函數(shù)達到最大值，于是θ的最大似然估計量為。3．解：（1），所以令，解得θ的矩估計值；（2）似然函數(shù)為其對數(shù)似然函數(shù)為考慮，解得。4．解：似然函數(shù)為其對數(shù)似然函數(shù)為由上面形式可得時，lnL達到最大值。同時，考慮，解得；于是θ，μ的最大似然估計量為；。5．證明：，，DX=1，于是，即為θ的無偏估計量；令，則X(1)的概率密度為從而，所以也為θ的無偏估計量；又，，當(dāng)n>1時比更有效。6．解：（1），所以令，解得θ的矩估計量；（2），，故；（3）由于，即為θ的無偏估計量。7．解：（1）X的分布律為：P(X=x)=p(1-p)x-1，x=1,2,…(2)p的矩估計量：EX=1/p，令，解得；p的最大似然估計量：，從而對數(shù)似然函數(shù)為，令，解得。8．證