新【創(chuàng)新方案】高考數(shù)(理)一輪突破熱點題型：第8章第5節(jié)橢圓

高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。第五節(jié)橢圓考點一橢圓的定義和標準方程[例1](1)(20xx·廣東高考)已知中心在原點的橢圓C的右焦點為F(1,0)，離心率等于eq\f(1,2)，則C的方程是()A.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,\r(3))＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(2)(20xx·岳陽模擬)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，離心率為eq\f(\r(2),2).過F1的直線l交橢圓C于A，B兩點，且△ABF2的周長為16，那么橢圓C的方程為________．[自主解答](1)由右焦點為F(1,0)，可知c＝1，因為離心率為eq\f(1,2)，即eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，故a＝2，由a2＝b2＋c2，知b2＝a2－c2＝3，因此橢圓C的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.(2)由△ABF2的周長為4a＝16，得a＝4，又知離心率為eq\f(\r(2),2)，即eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，c＝eq\f(\r(2),2)a＝2eq\r(2)，所以a2＝16，b2＝a2－c2＝16－8＝8，所以橢圓C的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.[答案](1)D(2)eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1【互動探究】在本例(2)中若將條件“焦點在x軸上”去掉，結(jié)果如何？解：由例1(2)知：當焦點在x軸上時，橢圓的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1；當焦點在y軸上時，橢圓的方程為eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,8)＝1.綜上可知C的方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1或eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,16)＝1.【方法規(guī)律】用待定系數(shù)法求橢圓方程的一般步驟(1)作判斷：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點是在x軸上，還是在y軸上，還是兩個坐標軸都有可能；(2)設方程：根據(jù)上述判斷設方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a>b>0)或mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)；(3)找關系：根據(jù)已知條件，建立關于a，b，c或m，n的方程組；(4)得方程：解方程組，將解代入所設方程，即為所求．注意：用待定系數(shù)法求橢圓的方程時，要“先定型，再定量”，不能確定焦點的位置時，可進行分類討論或把橢圓的方程設為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0).1．已知△ABC的頂點B，C在橢圓eq\f(x2,3)＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是()(5)中點弦或弦的中點問題．[例3](20xx·浙江高考)如圖，點P(0，－1)是橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一個頂點，C1的長軸是圓C2：x2＋y2＝4的直徑．l1，l2是過點P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點，l2交橢圓C1于另一點D.(1)求橢圓C1的方程；(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程．[自主解答](1)由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,a＝2，))所以橢圓C1的方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由題意知直線l1的斜率存在，不妨設其為k，則直線l1的方程為y＝kx－1.又圓C2：x2＋y2＝4，故點O到直線l1的距離d＝eq\f(1,\r(k2＋1))，所以|AB|＝2eq\r(4－d2)＝2eq\r(\f(4k2＋3,k2＋1)).又l2⊥l1，故直線l2的方程為x＋ky＋k＝0.設△ABD的面積為S，①當k＝0時，則D(0,1)，A(－eq\r(3)，－1)，B(eq\r(3)，－1)，此時，|AB|＝2eq\r(3)，|PD|＝2，所以S＝eq\f(1,2)|AB|·|PD|＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×2＝2eq\r(3).②當k≠0時，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋ky＋k＝0，,x2＋4y2＝4，))消去y，整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，故x0＝－eq\f(8k,4＋k2).所以|PD|＝eq\f(8\r(k2＋1),4＋k2).則S＝eq\f(1,2)|AB|·|PD|＝eq\f(8\r(4k2＋3),4＋k2)，所以S＝eq\f(32,\r(4k2＋3)＋\f(13,\r(4k2＋3)))≤eq\f(32,2\r(\r(4k2＋3)×\f(13,\r(4k2＋3))))＝eq\f(16\r(13),13)，當且僅當k＝±eq\f(\r(10),2)時取等號．而當k＝0時，S＝2eq\r(3)<eq\f(16\r(13),13)，故當k＝±eq\f(\r(10),2)時△ABD面積取得最大值．所以所求直線l1的方程為y＝±eq\f(\r(10),2)x－1.直線與橢圓綜合問題的常見題型及解題策略(1)求直線方程．可依題條件，尋找確定該直線的兩個條件，進而得到直線方程．(2)求面積．先確定圖形的形狀，再利用條件尋找確定面積的條件，進而得出面積的值．(3)判斷圖形的形狀．可依據(jù)平行、垂直的條件判斷邊角關系，再依據(jù)距離公式得出邊之間的關系．(4)弦長問題．利用根與系數(shù)的關系、弦長公式求解．(5)中點弦或弦的中點．一般利用點差法求解，注意判斷直線與方程是否相交．(20xx·重慶高考)如圖，橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，離心率e＝eq\f(\r(2),2)，過左焦點F1作x軸的垂線交橢圓于A，A′兩點，|AA′|＝4.(1)求該橢圓的標準方程；(2)取平行于y軸的直線與橢圓相交于不同的兩點P，P′，過P，P′作圓心為Q的圓，使橢圓上的其余點均在圓Q外．求△PP′Q的面積S的最大值，并寫出對應的圓Q的標準方程．解：(1)設橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由題意知點A(－c,2)在橢圓上，則eq\f(－c2,a2)＋eq\f(22,b2)＝1.從而e2＋eq\f(4,b2)＝1.由e＝eq\f(\r(2),2)，得b2＝eq\f(4,1－e2)＝8，從而a2＝eq\f(b2,1－e2)＝16.故該橢圓的標準方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1.(2)由橢圓的對稱性，可設Q(x0,0)．又設M(x，y)是橢圓上任意一點，則|QM|2＝(x－x0)2＋y2＝x2－2x0x＋xeq\o\al(2,0)＋8×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,16)))＝eq\f(1,2)(x－2x0)2－xeq\o\al(2,0)＋8(x∈[－4,4])．設P(x1，y1)，由題意知，點P是橢圓上到點Q的距離最小的點，因此，上式當x＝x1時取最小值，又因x1∈(－4,4)，所以上式當x＝2x0時取最小值，從而x1＝2x0，且|QP|2＝8－xeq\o\al(2,0).由對稱性知P′(x1，－y1)，故|PP′|＝|2y1|，所以S＝eq\f(1,2)|2y1||x1－x0|＝eq\f(1,2)×2eq\r(8×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x\o\al(2,1),16))))|x0|＝eq\r(2)×eq\r(4－x\o\al(2,0)x\o\al(2,0))＝eq\r(2)×eq\r(－x\o\al(2,0)－22＋4.)當x0＝±eq\r(2)時，△PP′Q的面積S取到最大值2eq\r(2).此時對應的圓Q的圓心坐標為Q(±eq\r(2)，0)，半徑|QP|＝eq\r(8－x\o\al(2,0))＝eq\r(6)，因此，這樣的圓有兩個，其標準方程分別為(x＋eq\r(2))2＋y2＝6，(x－eq\r(2))2＋y2＝6.————————————[課堂歸納——通法領悟]————————————————1個規(guī)律——橢圓焦點位置與x2，y2系數(shù)之間的關系給出橢圓方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1時，橢圓的焦點在x軸上?a>b>0；橢圓的焦點在y軸上?0<a<b.1種思想——數(shù)形結(jié)合思想在橢圓幾何性質(zhì)中的運用求解與橢圓幾何性質(zhì)有關的問題時要結(jié)合圖形進行分析，即使不畫出圖形，思考時也要聯(lián)想到圖形．當涉及到頂點、焦點、長軸、短軸等橢圓的基本量時，要理清它們之間的關系，挖掘出它們之間的內(nèi)在聯(lián)系．2種方法——求橢圓標準方程的方法(1)定義法：根據(jù)橢圓定義，確定a2，b2的值，再結(jié)合焦點位置，直接寫出橢圓方程．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)橢圓焦點是在x軸還是y軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據(jù)條件確定關于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫