高中數(shù)學人教B版選擇性第一冊課件2-3-3直線與圓的位置關(guān)系

2.3.3直線與圓的位置關(guān)系第二章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預習課堂篇探究學習核心素養(yǎng)思維脈絡1.能熟練地解二元二次方程組,并能運用解方程或方程組來解決直線與圓的位置關(guān)系問題.(數(shù)學抽象)2.能根據(jù)給定的直線的方程、圓的方程用代數(shù)法和幾何法兩種方法來判斷直線與圓的位置關(guān)系.(邏輯推理)3.掌握求圓的切線方程的方法,并會求與圓有關(guān)的最值問題.(數(shù)學運算,直觀想象)課前篇自主預習激趣誘思如圖是一個休閑娛樂廣場,廣場的中心是一塊圓形區(qū)域的場地,旁邊被綠化植物包圍,小路貫穿其中,旁邊的馬路也與廣場相望.把圓形區(qū)域看成圓面,道路看成直線,人看成點.1.如果一個小孩在廣場里玩,他也恰好處在一條小路上,該小路穿越中心圓形區(qū)域,你覺得這個小孩在圓形區(qū)域內(nèi)嗎?2.如果一個小孩在圓形區(qū)域里玩,他也恰好處在一條小路上,該小路穿過圓形區(qū)域嗎?3.如果一個人在圓形區(qū)域里玩(不在圓心),假設此人的坐標為(a,b),圓形區(qū)域?qū)牟坏仁綖閤2+y2≤r2,另有一條小路對應的直線方程為ax+by=r2,該小路與圓形區(qū)域有何位置關(guān)系?知識點撥直線與圓的位置關(guān)系

直線l:Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),設圓心(a,b)到直線位置關(guān)系幾何特征代數(shù)特征(方程聯(lián)立)

公共點個數(shù)相離d>r無實數(shù)解(Δ<0)0相切d=r一組實數(shù)解(Δ=0)1相交d<r兩組實數(shù)解(Δ>0)2微練習直線y=x+1與圓x2+y2=1的位置關(guān)系是(

)A.相切

B.相交但直線不過圓心C.直線過圓心

D.相離答案

B∴直線與圓x2+y2=1相交,又(0,0)不在y=x+1上,∴直線不過圓心.微思考(1)過圓上一點有幾條切線?過圓外一點有幾條切線?若點(x0,y0)是圓x2+y2=r2上的點,你能得出過點(x0,y0)的圓的切線方程嗎?提示

過圓上一點一定有1條切線,過圓外一點一定有2條切線.過圓上一點(x0,y0)的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過圓C內(nèi)一點P(不同于圓心)的所有弦中,何時弦最長?何時弦最短?提示

過圓內(nèi)一點P的所有弦中,當弦經(jīng)過圓心C時弦最長,等于直徑的長;當弦與過點P的直徑垂直時弦最短.課堂篇探究學習探究一直線與圓的位置關(guān)系的判斷例1求實數(shù)m的取值范圍,使直線x-my+3=0與圓x2+y2-6x+5=0分別滿足:①相交;②相切;③相離.解

圓的方程化為標準形式為(x-3)2+y2=4,反思感悟直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法(1)幾何法:由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關(guān)系判斷.(2)代數(shù)法:根據(jù)直線方程與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷.(3)直線系法:若直線恒過定點,可通過判斷定點與圓的位置關(guān)系來判斷直線與圓的位置關(guān)系.但有一定的局限性,必須是過定點的直線系.變式訓練1(1)(多選)已知ab≠0,O為坐標原點,點P(a,b)是圓x2+y2=r2外一點,過點P作直線l⊥OP,直線m的方程是ax+by=r2,則下列結(jié)論正確的是(

)A.m∥l

B.m⊥lC.m與圓相離 D.m與圓相交(2)已知直線l:x-2y+5=0與圓C:(x-7)2+(y-1)2=36,判斷直線l與圓C的位置關(guān)系.(1)答案

AD(2)解

方法一(代數(shù)法)得5x2-50x+61=0.∵Δ=(-50)2-4×5×61=1

280>0,∴該方程組有兩組不同的實數(shù)解,即直線l與圓C相交.方法二(幾何法)∵d<r=6,∴直線l與圓C相交.探究二求切線方程例2(1)由直線y=x+1上任一點向圓(x-3)2+y2=1引切線,則該切線長的最小值為(

)(2)過點M(2,4)向圓(x-1)2+(y+3)2=1引切線,求切線的方程.分析先明確點M(2,4)與圓的關(guān)系,再利用d=r列式來刻畫相切這一條件.本題若使用點斜式設切線方程,一定要檢驗斜率不存在的情況.(1)答案

C(2)解

由于(2-1)2+(4+3)2=50>1,故點M在圓外.當切線斜率存在時,設切線方程是y-4=k(x-2),即kx-y+4-2k=0,所以切線方程為24x-7y-20=0.又當切線斜率不存在時,直線x=2與圓相切.綜上所述,所求切線方程為24x-7y-20=0或x=2.反思感悟求圓的切線方程的三種方法(1)幾何法:設出切線方程,利用圓心到直線的距離等于半徑,求出未知量,此種方法需要注意斜率不存在的情況,要單獨驗證,若符合題意,則直接寫出切線方程.(2)代數(shù)法:設出切線方程后與圓的方程聯(lián)立消元,利用判別式等于零,求出未知量,若消元后的方程為一元一次方程,則說明要求的切線中,有一條切線的斜率不存在,可直接寫出切線方程.(3)設切點坐標:先利用切線的性質(zhì)解出切點坐標,再利用直線的兩點式寫出切線方程.延伸探究(1)本例(2)中,若所給點M的坐標是(1,-4),圓的方程不變,求切線方程.(2)本例(2)條件不變,試求切線長.解

(1)由于(1-1)2+(-4+3)2=1,故點(1,-4)在圓上,又圓心為(1,-3),所以切線斜率為0,所以切線方程為y=-4,即y+4=0.變式訓練2(1)(多選)在平面直角坐標系xOy中,圓C的方程為x2+y2-4x=0.若直線y=k(x+1)上存在一點P,使過P所作的圓的兩條切線相互垂直,則實數(shù)k的取值可以是(

)(2)過點P(2,3)且與圓(x-1)2+(y-2)2=1相切的直線的方程為

.

答案

(1)AB

(2)x=2或y=3觀察各選項,知實數(shù)k的取值可以是1,2.(2)P(2,3)在圓(x-1)2+(y-2)2=1外,∴過點P(2,3)與圓(x-1)2+(y-2)2=1相切的直線有兩條.當斜率存在時,設切線的斜率為k,則切線方程為y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,∴k=0,∴切線方程為y=3;當斜率不存在時,切線方程為x=2.探究三與圓有關(guān)的最值問題AC斜率存在,設直線AC的方程為y+1=kAC(x+3),即kACx-y+3kAC-1=0,因為AC與半圓x2+y2=3(y≥0)相切,反思感悟1.與圓有關(guān)的最值問題,可借助幾何特征及幾何法先確定達到最值的位置,再進行計算.有些與圓有關(guān)的最值問題涉及是否過圓心,有時注意考慮表達式中字母的幾何意義,如兩點間距離公式、斜率公式、在y軸上的截距等.2.對于本題而言,解決的關(guān)鍵是理解m和b的幾何意義,同時要借助分界線探求參數(shù)的取值范圍.變式訓練3直線y=x-1上的點與圓x2+y2+4x-2y+4=0上的點的距離的最小值為(

)答案

C素養(yǎng)形成思想方法——用代數(shù)法和幾何法研究弦長問題案例1過點(3,1)作圓(x-2)2+(y-2)2=4的弦,其中最短弦長為

.

解析

設點A(3,1),易知圓心C(2,2),半徑r=2.當弦過點A(3,1)且與CA垂直時為最短弦,(1)求圓C的方程;(2)若直線3x-y+1=0與圓C相交于A,B兩點,求線段AB的長;(3)設過點(-1,0)的直線l與圓C相交于M,N兩點,試問:是否存在直線l,使得以MN為直徑的圓經(jīng)過原點O?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.【規(guī)范答題】

∴圓C的方程為(x-1)2+(y+2)2=9.(2)圓C的圓心坐標為(1,-2),半徑為3,(3)存在直線l滿足題意.理由如下,設M(x1,y1),N(x2,y2),由題意,知OM⊥ON,且OM,ON

的斜率均存在,②當直線l

的斜率存在時,可設直線l

的方程為y=k(x+1),代入(x-1)2+(y+2)2=9,得(1+k2)x2+(2k2+4k-2)x+k2+4k-4=0,歸納提升1.求直線與圓相交時的弦長有三種方法(1)交點法:將直線方程與圓的方程聯(lián)立,求出交點A,B的坐標,根據(jù)兩點間的(2)弦長公式:如圖所示,將直線方程與圓的方程聯(lián)立,設直線與圓的兩交點分別是(3)幾何法:如圖,直線與圓C交于A,B兩點,設弦心距為d,圓的半徑為r,弦長為通常采用幾何法較為簡便.2.若涉及直線和圓相交的問題,除了借助平面幾何知識進行分析,還經(jīng)常利用聯(lián)立方程,用解方程組的思路來討論有關(guān)弦長和垂直等問題.當堂檢測1.直線3x+4y-25=0與圓x2+y2=9的位置關(guān)系為(

)A.相切 B.相交C.相離 D.相離或相切答案

C2.對任意的實數(shù)k,直線y=kx+1與圓x2+y2=2的位置關(guān)系一定是(

)A.相離

B.相切C.相交但直線不過圓心 D.相交且直線過圓心答案

C解析

直線y=kx+1恒過定點(0,1),由定點(0,1)在圓x2+y2=2內(nèi),知直線y=kx+1與圓x2+y2=2一定相交.又直線y=kx+1不過圓心(0,0),則位置關(guān)系是相交但直線不過圓心,故選C.3.若直線x-y+1=0與圓(x-a)2+y2=2有公共點,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.[-3,-1] B.[-1,3]C.[-3,1] D.(-∞,-3]∪[1,+∞)答案

C4.已知直線l:mx+y-3=0與圓(x-1)2+(y-2)2=4交于A,B兩點,過A,B分別做l的垂線與x軸交于C,D兩點,若|AB|=4,則|CD|=

.

解析

圓(x-1)2+(y-2)2=4,圓心(1,2),半徑r=2,∵|AB|=4,∴直線l:mx+y-3=0過圓心(1,2),∴m+2-3=0,∴m=1,∴直線l:x+y-3=0,傾斜角為135°,∵過A,B分別做l的垂線與x