應(yīng)力、應(yīng)變及彈性形變

無(wú)機(jī)材料物理性能2023年9月17日第二講第一章

無(wú)機(jī)材料的受力形變內(nèi)容簡(jiǎn)介：介紹了無(wú)機(jī)材料的四種形變：彈性形變、塑性形變、高溫蠕變和粘性形變及其理論描述、產(chǎn)生的原因和影響因素。要求：從微觀的角度來(lái)理解宏觀性能、掌握解決問題的關(guān)鍵受力形變

內(nèi)力－變形引起的物體內(nèi)部附加力F1F3F2Fn假想截面F1F2F3Fn分布內(nèi)力外力內(nèi)力內(nèi)力與變形有關(guān)FFFFN（內(nèi)力）=F受力與變形特點(diǎn)小單元受力與變形特點(diǎn)內(nèi)力與變形有關(guān)M0M＝

M0M0M0M0M0內(nèi)力必須滿足平衡條件作用在彈性體上的外力相互平衡內(nèi)力與外力平衡；內(nèi)力與內(nèi)力平衡。F1F3F2Fn假想截面F1F2F3Fn分布內(nèi)力受力與變形特點(diǎn)

內(nèi)力－變形引起的物體內(nèi)部附加力，內(nèi)力不能是任意的，內(nèi)力與變形有關(guān)，必須滿足平衡條件內(nèi)力特點(diǎn)受力與變形特點(diǎn)工程構(gòu)件受力模型拉伸工程構(gòu)件受力模型壓縮工程構(gòu)件受力模型剪切工程構(gòu)件受力模型扭轉(zhuǎn)工程構(gòu)件受力模型彎曲工程構(gòu)件受力模型彎曲工程構(gòu)件受力模型組合受力強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定問題強(qiáng)度—不因發(fā)生斷裂或塑性變形而失效；剛度—不因發(fā)生過大的彈性變形而失效；穩(wěn)定性—不因發(fā)生因平衡形式的突然轉(zhuǎn)變而失效。應(yīng)力問題§1-1應(yīng)力、應(yīng)變及彈性形變應(yīng)力問題

單位表面（積）上所承受的內(nèi)力稱為內(nèi)應(yīng)力。簡(jiǎn)稱應(yīng)力，一般用σ表示。

名義應(yīng)力：

真實(shí)應(yīng)力：（P4）應(yīng)力及其方向的數(shù)學(xué)描述yxz體積單元應(yīng)力分量示意圖由于剪應(yīng)力互等定理:故一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由六個(gè)應(yīng)力分量表示:應(yīng)力、應(yīng)變及彈性形變應(yīng)變問題應(yīng)變是用來(lái)描述物體內(nèi)部各質(zhì)點(diǎn)之間的相對(duì)位移的。應(yīng)變問題名義應(yīng)變真實(shí)應(yīng)變剪應(yīng)變

剪應(yīng)變xyαβdydxACBC′A′B′oO處沿x方向的拉壓應(yīng)變（單位伸長(zhǎng)）為：同理:應(yīng)變xyαβdydxACBC′A′B′ozz平面xz與yz之間的剪應(yīng)變?yōu)椋杭魬?yīng)變同理：

xyαβdydxACBC′A′B′o

應(yīng)變由六個(gè)應(yīng)變分量來(lái)表示伸長(zhǎng)應(yīng)變分量剪應(yīng)變分量材料的受力形變?nèi)N情況（P3）：無(wú)機(jī)材料的彈性變形行為脆性材料(非金屬材料)：只有彈性形變，無(wú)塑性形變或塑性形變很小。延性材料(金屬材料)：有彈性形變和塑性形變。彈性材料(橡膠)：彈性變形很大，沒有殘余形變（無(wú)塑性形變）。脆性材料應(yīng)力與應(yīng)變曲線應(yīng)力與應(yīng)變曲線韌性金屬材料應(yīng)力與應(yīng)變曲線聚合物

彈性行為應(yīng)力與應(yīng)變曲線

p比例極限

e彈性極限

屈服行為

s屈服強(qiáng)度應(yīng)力與應(yīng)變曲線對(duì)于各向同性體，正應(yīng)力不會(huì)引起長(zhǎng)方體的角度改變即無(wú)剪切形變，只會(huì)產(chǎn)生法向應(yīng)變，而且應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系，即：?jiǎn)蜗驊?yīng)力下的虎克定律彈性模量彈性模量的單位和應(yīng)力的單位相同為

Pa。對(duì)于同一種各向同性體材料彈性模量是一個(gè)常數(shù)

泊松比（p8）泊松比和彈性模量一樣，是物質(zhì)固有的常數(shù)。對(duì)于塑性、彈性材料和復(fù)合材料μ介于1到1/2之間；對(duì)多數(shù)金屬μ介于1/4到1/3之間；對(duì)于大多數(shù)無(wú)機(jī)材料，μ介于1/5到1/4之間

橫向變形系數(shù)對(duì)于拉伸應(yīng)變對(duì)于剪切應(yīng)變G為剪切模量或剛性模量G、E、μ之間有下列關(guān)系假定材料為各向同性體，受到各向同等的壓力定義各向同等的壓力P除以體積變化為材料的體積模量：廣義虎克定律對(duì)于單向受應(yīng)力σx，y、z兩個(gè)方向的應(yīng)變?yōu)閷?duì)于具有方向性的單晶或織構(gòu)（復(fù)合）材料，稱之為彈性柔順系數(shù)同理廣義虎克定律

對(duì)于同時(shí)受有三向應(yīng)力的各向異性材料，除正應(yīng)力對(duì)應(yīng)變有關(guān)系外，剪應(yīng)力也會(huì)對(duì)正應(yīng)變有影響?？紤]晶體的對(duì)稱性，例如：斜方晶系，剪應(yīng)力只影響與其平行的平面的應(yīng)變，不影響正應(yīng)變，S數(shù)為9個(gè)(S11,S22,S33,S44,S55,S66,S12=S21,S23,S13)。六方晶系只有5個(gè)S(S11=S22,S33,S44,S66,S13)立方晶系為3個(gè)S(S11,S44,S12)MgO的柔順系數(shù)在25oC時(shí)，S11=4.03×10-12Pa-1;S12=－0.94×10-12Pa-1;S44=6.47×10-12Pa-1.由此可知，各向異性晶體的彈性常數(shù)不是均勻的。由于倒順關(guān)系，Sij=Sji彈性變形機(jī)理

虎克定律表明，對(duì)于足夠小的形變，應(yīng)力與應(yīng)變成線性關(guān)系，系數(shù)為彈性模量E。作用力和位移成線性關(guān)系，系數(shù)為彈性常數(shù)K。彈性模量rrror

12＋－＋－FUm在r=ro時(shí)，原子1和2處于平衡狀態(tài)，其合力F=0.當(dāng)原子受到拉伸時(shí)，原子2向右位移，起初作用力與位移呈線性變化，后逐漸偏離，達(dá)到r

時(shí)，合力最大，此后又減小。合力有一最大值，該值相當(dāng)于材料斷裂時(shí)的作用力。斷裂時(shí)的相對(duì)位移：r

－ro=

把合力與相對(duì)位移的關(guān)系看作線性關(guān)系，則彈性常數(shù)：

KF/=tg

(1)原子間相互作用力和彈性常數(shù)的關(guān)系結(jié)論：K是在作用力曲線r=ro時(shí)的斜率，因此K的大小反映了原子間的作用力曲線在r=ro處斜率的大小.(2)原子間的勢(shì)能與彈性常數(shù)的關(guān)系

U(ro+

）=U(ro)+(dU/dr)ro+1/2(d2U/dr2)ro

2=U(ro)+1/2(d2U/dr2)ro

2F=du(r)/dr=(d2U/dr2)ro

K=(d2U/dr2)ro就是勢(shì)能曲線在最小值u(ro)處的曲率。結(jié)論：彈性常數(shù)的大小實(shí)質(zhì)上反映了原子間勢(shì)能曲線極小值尖峭度的大小。(3)彈性剛度系數(shù)使原子間的作用力平行于x軸，作用于原子上的作用力：

F=－u/r,應(yīng)力：

xx

－(u/r)/ro2dxx

－(2u/r2)dr/ro2,相應(yīng)的應(yīng)變：dxx=dr/rodxx=C11dxxC11

－(d2U/dr2)ro/ro=K/ro=E1C------彈性剛度系數(shù)（與彈性柔順系數(shù)S成反比）結(jié)論：彈性剛度系數(shù)的大小實(shí)質(zhì)上也反映了原子間勢(shì)能曲線極小值尖峭度的大小。大部分無(wú)機(jī)材料具有離子鍵和共價(jià)鍵，共價(jià)鍵勢(shì)能曲線的谷比金屬鍵和離子鍵的深，即：彈性剛度系數(shù)大。NaCl型晶體的彈性剛度系數(shù)

（1011達(dá)因/厘米2，200oC）晶體C11C12C44TiC5011.3017.50MgO28.928.8015.46LiF11.14.206.30NaCl4.871.231.26NaBr3.870.970.97KCl3.980.620.62KBr3.460.580.51上限模量－兩相體系的彈性模量PP12l根據(jù)壓力平衡方程有：P=σ1A1+σ2A2,兩邊同除以A，有：

兩相應(yīng)變相同兩相體系的彈性模量下限模量－

PPδ=εlδ1=ε1l1δ2=ε2l2

δ=δ1+δ2

兩相應(yīng)力相同（3）復(fù)相的彈性模量在二相系統(tǒng)中，總模量介于高模量成分和低模量成分間，類似于二相系統(tǒng)的熱膨脹系數(shù)，通過假定材料有許多層組成，這些層平行或垂直于作用單軸應(yīng)力，找出最寬的可能界限。第一種模型每種組分中的應(yīng)變相同，即并聯(lián)，

Eu=V2E2+(1－V2)E1（上限）大部分應(yīng)力由高模量的相承擔(dān)。第二種模型每個(gè)相中的應(yīng)力相同，即串聯(lián)，

1/EL=V2/E2+(1－V2)/E1

（下限）氣孔對(duì)彈性模量的影響（氣孔的彈性模量為零）彈性模量與氣孔率的關(guān)系E0是氣孔率為零時(shí)的E值，p為氣孔率,b為與陶瓷制備工藝有關(guān)的常數(shù)

,常數(shù)f1、f2取決于氣孔的形狀和取向。陶瓷的彈性模量隨氣孔率的表達(dá)式為：

一些無(wú)機(jī)材料彈性模量的數(shù)值材料E(Gpa)材料E(Gpa)氧化鋁晶體380燒結(jié)TiC(P=5%)310燒結(jié)氧化鋁（P=5%

）366燒結(jié)MgAl2O4(P=5%)238高鋁瓷（P=90－95%

）366密實(shí)SiC(P=5%)470燒結(jié)氧化鈹（P=5%

）310燒結(jié)穩(wěn)定化ZrO2P=5%

150熱壓BN（P=5%

）83石英玻璃72熱壓B4C（P=5%

）290莫來(lái)石瓷