第7章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論課件

第七章

應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第七章

應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論§7-1

概述§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力分析·主應(yīng)力§7-3

空間應(yīng)力狀態(tài)的概念§7-4

應(yīng)力與應(yīng)變間的關(guān)系§7-5

空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度§7-6

強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力§7-8

各種強(qiáng)度理論的應(yīng)用*§7-7

莫爾強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力第七章應(yīng)力狀態(tài)和強(qiáng)度理論§7-1概述§7-2平面應(yīng)力狀§7-1

概述一、一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)軸向拉壓基本變形形式下桿件橫截面上的應(yīng)力：FFFFFFmmFNmmFNx§7-1概述一、一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)軸向拉壓基本變形形式下圓軸扭轉(zhuǎn)tmaxtmaxOdrtrTtmaxtmaxODdTrtrgMe

Me

j圓軸扭轉(zhuǎn)tmaxtmaxOdrtrTtmaxtmaxODdT對稱彎曲FSxFFxMFaFalaFzytmax

可見受力構(gòu)件橫截面上的應(yīng)力一般是隨著點(diǎn)的位置變化而改變的。對稱彎曲FSxFFxMFaFalaFzytmax

構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處各方向上的應(yīng)力情況的集合，稱為該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。aefdabctt't'txantasaF

Fa

kktasaa軸向拉（壓）及圓軸扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力：

可見受力構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處的應(yīng)力也是隨著截面方位的變化而改變的。構(gòu)件內(nèi)一點(diǎn)處各方向上的應(yīng)力情況的集合，稱為該進(jìn)行應(yīng)力狀態(tài)研究的目的—通過應(yīng)力狀態(tài)分析求出受力構(gòu)件內(nèi)某點(diǎn)處的

max、

max及其作用面，從而更好地進(jìn)行強(qiáng)度分析。進(jìn)行應(yīng)力狀態(tài)研究的目的—通過應(yīng)力狀態(tài)分析求出受力構(gòu)件內(nèi)某點(diǎn)——可由圍繞該點(diǎn)的一個單元體各面上的應(yīng)力表示一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)。即在研究點(diǎn)的周圍，取一個由三對互相垂直的平面構(gòu)成的六面體，用各面上的應(yīng)力來代表周圍材料對該點(diǎn)的作用，如圖所示。Me

Me

xyzabOcddxdydzt'ttt'如何表示一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)？——可由圍繞該點(diǎn)的一個單元體各面上的應(yīng)力表示一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)各邊長均為無窮小量每個面上應(yīng)力均布；每對相互平行面上的性質(zhì)相同的應(yīng)力大小相等；可用截面法求任一截面上的應(yīng)力。xyzabOcddxdydz單元體的特點(diǎn)各邊長均為無窮小量xyzabOcddxdydz單元體的特點(diǎn)單元體實(shí)例——軸向拉壓桿件F注意：這兩個單元體反映的是同一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。Fs45ot45os-45ot-45o單元體實(shí)例——軸向拉壓桿件F注意：這兩個單元體反映的是同Me

Me

xyzabOcddxdydzt'ttt'單元體實(shí)例——

圓軸扭轉(zhuǎn)MeMexyzabOcddxdydzt'ttt'單元體實(shí)Dsmax

CsmaxGtsFtsEtmax單元體實(shí)例——

對稱彎曲ABFlCFEGDFsFxFlMxDsmaxCsmaxGtsFtsEtmax單元體實(shí)例——單元體實(shí)例——彎曲與扭轉(zhuǎn)組合作用下的圓軸

ssC1C2C3C4C1ststC2stst單元體實(shí)例——彎曲與扭轉(zhuǎn)組合作用下的圓軸ssC1C2C3Ds′s″單元體實(shí)例——薄壁圓筒壓力容器

Ds′s″單元體實(shí)例——薄壁圓筒壓力容器s1s1s3s3s2s2(b)(a)F單元體實(shí)例——鋼軌的軌頭受車輪的靜荷作用s1s1s3s3s2s2(b)(a)F單元體實(shí)例——鋼軌的單元體實(shí)例——空間應(yīng)力狀態(tài)的普遍情形xyzOdxdydztxytxzsxtyxsytyztzysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz單元體實(shí)例——空間應(yīng)力狀態(tài)的普遍情形xyzOdxdydzt二、強(qiáng)度理論

smaxFF已建立的強(qiáng)度條件

對單軸或純剪切應(yīng)力狀態(tài)，可由實(shí)驗(yàn)測得的相應(yīng)的材料許用應(yīng)力來建立正應(yīng)力和切應(yīng)力強(qiáng)度條件。tmaxMe

Me

二、強(qiáng)度理論smaxFF已建立的強(qiáng)度條件Csmax

DsmaxEtmaxFtmax正應(yīng)力強(qiáng)度條件(點(diǎn)C、D)切應(yīng)力強(qiáng)度條件(點(diǎn)E、F)Emml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2CsmaxDsmaxEtmaxFtmax正應(yīng)力強(qiáng)度條件(點(diǎn)Emml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2GtsHts

當(dāng)一點(diǎn)處的應(yīng)力狀態(tài)較為復(fù)雜時，因應(yīng)力的組合形式有無限多的可能性，不可能由實(shí)驗(yàn)的方法來確定每一應(yīng)力組合下材料的極限應(yīng)力，因此需確定引起材料破壞的共同因素。Emml/2qGHCDFlql2/8ql/2ql/2GtsH

關(guān)于材料破壞的共同因素（即破壞規(guī)律）的假說，即稱為強(qiáng)度理論。在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下可根據(jù)強(qiáng)度理論來建立強(qiáng)度條件。本章將介紹四個常見強(qiáng)度理論。關(guān)于材料破壞的共同因素（即破壞規(guī)律）的假說，§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析?主應(yīng)力

對圖a所示懸臂梁上A點(diǎn)處單元體上的應(yīng)力分布（圖b）可見：有一對平面上的應(yīng)力等于零，而不等于零的應(yīng)力分量都處于同一坐標(biāo)平面內(nèi)。ssttttAF(a)

adcbAa'b'd'c'(b)

adcbAttttss

該應(yīng)力狀態(tài)則稱為平面應(yīng)力狀態(tài)，其單元體可簡化為左圖所示情形?！?-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析?主應(yīng)力對圖a所示1、斜截面上的應(yīng)力已知如下圖a（或圖b）所示的一平面應(yīng)力狀態(tài)：efanaxyzabcdtxty(a)sxsytysysxtxdabctxtytxx(b)sxsxsysytyy

可由截面法求與前、后兩平面垂直的斜截面上應(yīng)力。如圖b所示，斜截面ef的外法線與x軸間的夾角為

，稱為

截面。1、斜截面上的應(yīng)力已知如下圖a（或圖b）所示的一平面應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力的正負(fù)和斜截面夾角的正負(fù)規(guī)定：1）正應(yīng)力

:拉為正，壓為負(fù)；2）切應(yīng)力

:使單元體產(chǎn)生順時針旋轉(zhuǎn)趨勢為正；反之為負(fù)；3）對

角，x軸逆時針旋轉(zhuǎn)這一角度而與斜截面外法線重合時，其值為正；反之為負(fù)。

取圖c所示分離體進(jìn)行分析。圖c中所示斜截面上應(yīng)力和斜截面夾角均為正。efbtytxatasa(c)sxsyx應(yīng)力的正負(fù)和斜截面夾角的正負(fù)規(guī)定：1）正應(yīng)力:拉為正，

由圖d所示體元上各面上的力的平衡，參考法線n和切線t方向可得：?ntsydAsina(d)bftydAsinatadAtxdAcosaesadAsxdAcosa由圖d所示體元上各面上的力的平衡，參考法線n由此可得，任一斜截面上的應(yīng)力分量為：?其中dA為斜截面ef的面積。由此可得，任一斜截面上的應(yīng)力分量為：?其中dA為斜截面ef的§7-3空間應(yīng)力狀態(tài)的概念

下圖所示單元體的應(yīng)力狀態(tài)是最普遍的情況，稱為一般的空間應(yīng)力狀態(tài)。圖中x平面有：圖中y平面有：圖中z平面有：

在切應(yīng)力的下標(biāo)中，第一個表示所在平面，第二個表示應(yīng)力的方向。xyzOdxdydztxytxzsxtyxsytyztzysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz§7-3空間應(yīng)力狀態(tài)的概念下圖所示單元體的

空間應(yīng)力狀態(tài)共有9個分量，然而，根據(jù)切應(yīng)力互等定理可知，獨(dú)立的分量只有6個，即：xyzOdxdydztxytxzsxtyxsytyztzysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz

可以證明，對上述應(yīng)力狀態(tài)一定可找到一個單元體，其三對相互垂直的面都是主平面，其上應(yīng)力分別為：s1s2s1s3s3s2(a)空間應(yīng)力狀態(tài)共有9個分量，然而，根據(jù)切應(yīng)力互考慮圖a所示主單元體中斜截面上的應(yīng)力。對與

3平行的斜截面：

同理：和

2平行的斜截面上應(yīng)力與

2無關(guān)，由

1、3的應(yīng)力圓確定；和

1平行的斜截面上應(yīng)力與

1無關(guān)，由

2、3的應(yīng)力圓確定。下面分析空間應(yīng)力狀態(tài)下的最大正應(yīng)力和切應(yīng)力。s1s3s3(b)s2s1s2s1s3s3s2(a)

由圖b可知，該面上應(yīng)力

、

與

3無關(guān)，由

1、2的應(yīng)力圓來確定。

考慮圖a所示主單元體中斜截面上的應(yīng)力。對與3平行的斜截面：cabs1s2s1s3s3s2(a)

進(jìn)一步研究表明，一般斜截面abc面上應(yīng)力位于圖c所示的陰影部分內(nèi)。stOs3s2s1BDA(c)cabs1s2s1s3s3s2(a)進(jìn)一步研

max作用面為與

2平行，與

1和

3各成45°角的斜截面。所以，由

1、3構(gòu)成的應(yīng)力圓最大，

max作用點(diǎn)位于該圓上，其值為：因?yàn)椋簊tOs3s2s1smaxBDAtmax(c)max作用面為與2平行，與1和3各成stOs3s2s1smaxBDAtmax(c)s1s2s1s3s3s2stmax

注意：

max作用面上

一般不為零，其值為：

=(

1+

3)/2stOs3s2s1smaxBDAtmax(c)s1s2s1s例：用應(yīng)力圓求圖a所示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力、主平面，最大切應(yīng)力

max及作用面。解：由圖示應(yīng)力狀態(tài)可知

z=20MPa為一主應(yīng)力，則與該應(yīng)力平行的斜截面上的應(yīng)力與其無關(guān)?？捎蓤Db所示的平面應(yīng)力狀態(tài)來確定另兩個主應(yīng)力。202040(b)(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyz例：用應(yīng)力圓求圖a所示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力、主平面，最大切應(yīng)力202040(b)s3s1tsOACDyDx(c)

圖b所示平面應(yīng)力狀態(tài)對應(yīng)的應(yīng)力圓如圖c。由此可得：202040(b)s3s1tsOACDyDx(c)最后依據(jù)三個主應(yīng)力值可繪出三個應(yīng)力圓，如圖d。tsOtmaxs3s2s1BACDyDx2a0(d)最后依據(jù)三個主應(yīng)力值可繪出三個應(yīng)力圓，如圖d。tsOtmax

作用面與

2平行而與

1逆時針成45°角，如圖e所示。最大切應(yīng)力對應(yīng)于B點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即t45°maxx(e)s3s2s117°tsOtmaxs3s2s1BACDyDx2a0(d)(a)20MPa20MPa40MPa20MPaxyz作用面與2平行而與1逆時針成45°角，如圖e所示。最大例：對下列圖示應(yīng)力狀態(tài)，求切應(yīng)力最大值。例：對下列圖示應(yīng)力狀態(tài)，求切應(yīng)力最大值。sss

=60

=40可求得：

sss=60=40可求得：§7-4應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系1、各向同性材料的廣義胡克定律時，2）純剪應(yīng)力狀態(tài)：1）單向應(yīng)力狀態(tài)：橫向線應(yīng)變：

stxgxy時，§7-4應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系1、各向同性材料的廣義胡克定律3）空間應(yīng)力狀態(tài)：對圖示空間應(yīng)力狀態(tài)：六個獨(dú)立的應(yīng)力分量，dxdydztxytxzsxtyxsytyztzysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz對應(yīng)的六個應(yīng)變分量，3）空間應(yīng)力狀態(tài)：對圖示空間應(yīng)力狀態(tài)：六個獨(dú)立的應(yīng)力分量，d

正應(yīng)變分量同前，拉為正、壓為負(fù)；切應(yīng)變分量以使直角減小為正，反之為負(fù)。

正負(fù)號規(guī)定：正應(yīng)力分量同前，拉為正、壓為負(fù)；切應(yīng)力分量重新規(guī)定，正面（外法線與坐標(biāo)軸指向一致）上切應(yīng)力矢與坐標(biāo)軸正向一致或負(fù)面上切應(yīng)力矢與坐標(biāo)軸負(fù)向一致時，切應(yīng)力為正，反之為負(fù)。dxdydztxytxzsxtyxsytyztzysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz正應(yīng)變分量同前，拉為正、壓為負(fù)；切應(yīng)變分量

對各向同性材料，在線彈性、小變形條件下，正應(yīng)力只引起線應(yīng)變，切應(yīng)力只引起切應(yīng)變，應(yīng)力分量和應(yīng)變分量的關(guān)系可由疊加原理求得：sxsysxszszsy(a)txytxztyxtyztzytzxtxytxztzytzxtyxtyz(b)對各向同性材料，在線彈性、小變形條件下，正應(yīng)三個正應(yīng)力分量單獨(dú)作用時，x方向的線應(yīng)變?yōu)椋簊xsysxszszsy(a)則可得：同理可得：三個正應(yīng)力分量單獨(dú)作用時，x方向的線應(yīng)變?yōu)椋簊xsysxsz對切應(yīng)力分量與切應(yīng)變的關(guān)系，有：txytxztyxtyztzytzxtxytxztzytzxtyxtyz(b)對切應(yīng)力分量與切應(yīng)變的關(guān)系，有：txytxztyxtyztzdxdydztxytxzsxtyxsytyztzysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz

上述六個關(guān)系式即為空間應(yīng)力狀態(tài)下，線彈性和小變形條件下各向同性材料的廣義胡克定律。dxdydztxytxzsxtyxsytyztzysztzx對平面應(yīng)力狀態(tài)：設(shè)

z=0，

xz=0，

yz=0，有：sxtxysy一般形式：對平面應(yīng)力狀態(tài)：設(shè)z=0，xz=0，yz=0，有：sx若用主應(yīng)力和主應(yīng)變來表示廣義胡克定律，有：s1s2s1s3s3s2若用主應(yīng)力和主應(yīng)變來表示廣義胡克定律，有：s1s2s1s3s二向應(yīng)力狀態(tài)：設(shè)有可見，即使

3=0，但

30，而且各向同性材料有二向應(yīng)力狀態(tài)：設(shè)有可見，即使3=0，但30，而且各例：已知一受力構(gòu)件自由表面上某點(diǎn)處的兩主應(yīng)變值為

1=240×10-6，

3=–160×10-6。材料的彈性模量E=210GPa，泊松比

=0.3。求該點(diǎn)處的主應(yīng)力值數(shù)，并求另一應(yīng)變

2的數(shù)值和方向。解：因主應(yīng)力和主應(yīng)變相對應(yīng)，則由題意可得：即為平面應(yīng)力狀態(tài)，有聯(lián)立兩式可解得s1，s3。例：已知一受力構(gòu)件自由表面上某點(diǎn)處的兩主應(yīng)變值為1=240主應(yīng)變

2為：其方向必與

1和

3垂直，沿構(gòu)件表面的法線方向。主應(yīng)變2為：其方向必與1和3垂直，沿構(gòu)件表面的法2平面應(yīng)力狀態(tài)下的電測法一般形式：

對各向同性材料圖示平面應(yīng)力狀態(tài)，在線彈性、小變形條件下，

x、

y與切應(yīng)變無關(guān)，即有：

由此可見，可通過測量相應(yīng)的線應(yīng)變來確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。sxtxysy2平面應(yīng)力狀態(tài)下的電測法一般形式：對各向同

1、已知主應(yīng)力方向的平面應(yīng)力狀態(tài)

只需測出主應(yīng)力方向上的主應(yīng)變

1、

2即可求得主應(yīng)力。t

s1、已知主應(yīng)力方向的平面應(yīng)例：已知圖示簡支梁C點(diǎn)45°方向的線應(yīng)變

，材料的彈性模量為E，求載荷F。其中l(wèi)/32l/3FC45°b例：已知圖示簡支梁C點(diǎn)45°方向的線應(yīng)變，材料的彈性模量為解：C點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)。tC45°

3=t

1=t主應(yīng)力方向如圖中紅線所示，一主應(yīng)力方向的應(yīng)變已知，并且l/32l/3FC45°b解：C點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)為圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)。tC45°3=t1l/32l/3FC45°b

?

而：所以：l/32l/3FC45°b?而：所以：一般用三個方向上的應(yīng)變測量來求得應(yīng)力值，如：2、主應(yīng)力方向未知的平面應(yīng)力狀態(tài)或：exeye45°45°sytxsx一般用三個方向上的應(yīng)變測量來求得應(yīng)力值，如：2、主應(yīng)力方向未

對下圖所示平面應(yīng)力狀態(tài)，對45°應(yīng)變花，在x、y方向有：sytxsxexeye45o45°對下圖所示平面應(yīng)力狀態(tài)，對45°應(yīng)變花，在x、sytxsxexeye45o45°利用應(yīng)力圓可得：tsODyDxCA2A12a0D45D-45由此可得：sytxsxexeye45o45°利用應(yīng)力圓可得：tsODy若是135o應(yīng)變花：可得：

由此可見，通過上述三個方向線應(yīng)變的測量即可求出該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。若是135o應(yīng)變花：可得：由此可見，通過上述三個方例：構(gòu)件表面某點(diǎn)O，實(shí)驗(yàn)測得該點(diǎn)沿0°、45°和90°方位的正應(yīng)變分別為

0°=450×10-6，

45°=350×10-6，

90°=100×10-6，已知E=200

GPa，

=0.3，試求該點(diǎn)處的主應(yīng)力。解：顯然，有：由此可得：例：構(gòu)件表面某點(diǎn)O，實(shí)驗(yàn)測得該點(diǎn)沿0°、45°和90°方位進(jìn)而可得：進(jìn)而可得：每單位體積的體積改變，稱為體積應(yīng)變，即：

所以：3、各向同性材料的體應(yīng)變對圖示主單元體：而變形后單元體體積為：

3

2

1dxdzdy可見，任一點(diǎn)處的體積應(yīng)變與三主應(yīng)力之和成正比。每單位體積的體積改變，稱為體積應(yīng)變，即：對平面純剪應(yīng)力狀態(tài)：

即在小變形條件下，切應(yīng)力不引起各向同性材料的體積改變。txy對平面純剪應(yīng)力狀態(tài)：即在小變形條件下，切應(yīng)力dxdydztxytxzsxtyxsytyztzysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyzsxsysxszszsy(a)txytxztyxtyztzytzxtxytxztzytzxtyxtyz(b)

在小變形，空間應(yīng)力狀態(tài)下，材料的體積應(yīng)變只與三個線應(yīng)變有關(guān)，并有：dxdydztxytxzsxtyxsytyztzysztzx§7-5空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度單位體積的應(yīng)變能，稱為應(yīng)變能密度，即：1、單向應(yīng)力狀態(tài)dzdydxss§7-5空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度單位體積的應(yīng)變能，稱為應(yīng)2、純剪切應(yīng)力狀態(tài)(

)xyzabOcdxddydztt'tt'g2、純剪切應(yīng)力狀態(tài)(3、三向應(yīng)力狀態(tài)

比例加載：圖示主單元體中，各面上的應(yīng)力按同一比例增加直至最終值。dzdydxs2s1s3

在線彈性范圍和小變形條件下，應(yīng)變能與加載順序無關(guān)，只取決于外力(變形)的最終值。3、三向應(yīng)力狀態(tài)比例加載：圖示主單元體中，各dzdydxs2s1s3

比例加載時，對每一主應(yīng)力，其對應(yīng)的應(yīng)變能僅與對應(yīng)的主應(yīng)變有關(guān)，而其它主應(yīng)力在該主應(yīng)變上不做功，同時考慮三個主應(yīng)力，有：dzdydxs2s1s3比例加載時，對每一主由前述廣義胡克定律有：則應(yīng)變能密度為：而主單元體體積為：由前述廣義胡克定律有：則應(yīng)變能密度為：而主單元體體積為：4、形狀改變比能一般情況，單元體有體積改變，也有形狀改變。1=+主單元體分解為圖示兩種單元體的疊加，有s2s3s(a)smsmsm(b)s2-sm=s2's1-sm=s1's3-sm=s3'(c)平均應(yīng)力：4、形狀改變比能一般情況，單元體有體積改變，也有形狀改變。11=+s2s3s(a)smsmsm(b)s2-sm=s2's1-sm=s1's3-sm=s3'(c)則體積不變，僅發(fā)生形狀改變。

在

m作用下，圖b無形狀改變，且其體積應(yīng)變同圖a，而對圖c，因?yàn)椋?=+s2s3s(a)smsmsm(b)s2-sm=s2's

與此對應(yīng)，圖a的體積改變能密度等于圖b的應(yīng)變能密度，而圖a的形狀改變能密度等于圖c所示單元體的應(yīng)變能密度，即：

而：1=+s2s3s(a)smsmsm(b)s2-sm=s2's1-sm=s1's3-sm=s3'(c)與此對應(yīng)，圖a的體積改變能密度等于圖b的應(yīng)變而：1=+s2s3s(a)smsmsm(b)s2-sm=s2's1-sm=s1's3-sm=s3'(c)所以：而：1=+s2s3s(a)smsmsm(b)s2-sm=s2而：另外，由圖c可得：1=+s2s3s(a)smsmsm(b)s2-sm=s2's1-sm=s1's3-sm=s3'(c)而：另外，由圖c可得：1=+s2s3s(a)smsmsm(b可證明：1=+s2s3s(a)smsmsm(b)s2-sm=s2's1-sm=s1's3-sm=s3'(c)可證明：1=+s2s3s(a)smsmsm(b)s2-sm=

對一般空間應(yīng)力狀態(tài)的單元體，應(yīng)變能密度可由六個應(yīng)力分量和對應(yīng)的應(yīng)變分量來表示，即為：xyzOdxdydztxytxzsxtyxsytyztzysztzxtxysxtxztzysztzxtyxsytyz對一般空間應(yīng)力狀態(tài)的單元體，應(yīng)變能密度可由六例：證明證明：對圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)有：gxytxydzdydxtxy應(yīng)變能密度為例：證明證明：對圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)有：gxytxydzdydx而對純剪切應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力為：txys1=

xys3=-

xys1=

xy

故由主應(yīng)力和主應(yīng)變表示的應(yīng)變能密度為：又由于：而對純剪切應(yīng)力狀態(tài)，其主應(yīng)力為：txys1=xys3=-所以：由此可得：最后證得：結(jié)合前式，有：所以：由此可得：最后證得：結(jié)合前式，有：§7-6強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力ss1、概述

1）單向應(yīng)力狀態(tài)：

圖示拉伸或壓縮的單向應(yīng)力狀態(tài)，材料的破壞有兩種形式：塑性屈服：極限應(yīng)力為脆性斷裂：極限應(yīng)力為

此時，

s、

p0.2和

b可由實(shí)驗(yàn)測得。由此可建立如下強(qiáng)度條件：其中n為安全因數(shù)。§7-6強(qiáng)度理論及其相當(dāng)應(yīng)力ss1、概述2)純剪應(yīng)力狀態(tài)：

圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)，材料的破壞有兩種形式：塑性屈服：極限應(yīng)力為脆性斷裂：極限應(yīng)力為

其中，

s和

b可由實(shí)驗(yàn)測得。由此可建立如下強(qiáng)度條件：2)純剪應(yīng)力狀態(tài)：圖示純剪應(yīng)力

前述強(qiáng)度條件對材料破壞的原因并不深究。例如，圖示低碳鋼拉(壓)時的強(qiáng)度條件為：

maxFF

然而，其屈服是由于

max引起的，對圖示單向應(yīng)力狀態(tài)，有：依照切應(yīng)力強(qiáng)度條件，有：與相當(dāng)(等效)?？梢?，前述強(qiáng)度條件對材料破壞的原因并不深究。例如，3）復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)txsx來建立，因?yàn)?/p>

與

之間會相互影響。

研究復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料破壞的原因，根據(jù)一定的假設(shè)來確定破壞條件，從而建立強(qiáng)度條件，這就是強(qiáng)度理論的研究內(nèi)容。對圖示平面應(yīng)力狀態(tài)，不能分別用3）復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)txsx來建立，因?yàn)榕c之間會相互影響4）材料破壞的形式

塑性屈服型：常溫、靜載時材料的破壞形式大致可分為：

脆性斷裂型：鑄鐵：拉伸、扭轉(zhuǎn)等；低碳鋼：三向拉應(yīng)力狀態(tài)。低碳鋼：拉伸、扭轉(zhuǎn)等；鑄鐵：三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)。例如：例如：

可見：材料破壞的形式不僅與材料有關(guān)，還與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。4）材料破壞的形式塑性屈服型：常溫、靜載時材料的破壞形式大

根據(jù)一些實(shí)驗(yàn)資料，針對上述兩種破壞形式，分別針對它們發(fā)生破壞的原因提出假說，并認(rèn)為不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，某種類型的破壞都是由同一因素引起，此即為強(qiáng)度理論。脆性斷裂：塑性斷裂：5）強(qiáng)度理論常用的破壞判據(jù)有：

下面將討論常用的、基于上述四種破壞判據(jù)的強(qiáng)度理論。根據(jù)一些實(shí)驗(yàn)資料，針對上述兩種破壞形式，分別2、四個常用的強(qiáng)度理論強(qiáng)度條件：1）最大拉應(yīng)力理論(第一強(qiáng)度理論)

假設(shè)最大拉應(yīng)力

1是引起材料脆性斷裂的因素。不論在什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下，只要三個主應(yīng)力中的最大拉應(yīng)力

1達(dá)到極限應(yīng)力

u，材料就發(fā)生脆性斷裂，即：可見：a)與

2、3無關(guān)；

b)極限應(yīng)力

u可用單向拉伸試樣發(fā)生脆性斷裂的試驗(yàn)來確定。2、四個常用的強(qiáng)度理論強(qiáng)度條件：1）最大拉應(yīng)力理論(第一強(qiáng)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：鑄鐵：單拉、純剪應(yīng)力狀態(tài)下的破壞與該理論相符；平面應(yīng)力狀態(tài)下的破壞和該理論基本相符。存在問題：沒有考慮

2、3對脆斷的影響，無法解釋石料單壓時的縱向開裂現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：鑄鐵：單拉、純剪應(yīng)力狀態(tài)下的破壞與該理論相符；平面

假設(shè)最大伸長線應(yīng)變

1是引起脆性破壞的主要因素，則：

u用單向拉伸測定，即：2）最大伸長線應(yīng)變理論(第二強(qiáng)度理論)因此有破壞條件：強(qiáng)度條件為：因?yàn)椋杭僭O(shè)最大伸長線應(yīng)變1是引起脆性破壞的主要因?qū)嶒?yàn)驗(yàn)證：

a)可解釋大理石單壓時的縱向裂縫；

b)鑄鐵二向、三向拉應(yīng)力狀態(tài)下的實(shí)驗(yàn)不符；

c)對鑄鐵一向拉、一向壓的二向應(yīng)力狀態(tài)偏于安全，但可用。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：

對低碳鋼等塑性材料，單向拉伸時的屈服是由45°斜截面上的切應(yīng)力

max引起的，因而極限應(yīng)力

u可由單拉時的屈服應(yīng)力ss求得，即：3）最大切應(yīng)力理論(第三強(qiáng)度理論)

假設(shè)最大切應(yīng)力

max是引起材料塑性屈服的因素，即：因?yàn)椋汗势茐臈l件為：對低碳鋼等塑性材料，單向拉伸時的屈服是由45實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：c)二向應(yīng)力狀態(tài)基本符合，偏于安全。b)僅適用于拉壓性能相同的材料。由此可得，強(qiáng)度條件為：a)僅適用于拉壓性能相同的材料；b)低碳鋼單拉(壓)對45

滑移線吻合；存在問題：沒考慮2對屈服的影響，偏于安全，但誤差較大；實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：c)二向應(yīng)力狀態(tài)基本符合，偏于安全。b)僅適用

假設(shè)形狀改變能密度vd是引起材料塑性屈服的因素，即：4）形狀改變能密度理論(第四強(qiáng)度理論)因?yàn)椴牧蠁卫r有：可通過單拉試驗(yàn)來確定。所以：其中：因此：假設(shè)形狀改變能密度vd是引起材料塑性屈服的因素，即：由此可得強(qiáng)度條件為：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：a)較第三強(qiáng)度理論更接近實(shí)際值；b)材料拉壓性能相同時成立。由此可得強(qiáng)度條件為：實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證：a)較第三強(qiáng)度理論更接近實(shí)際強(qiáng)度理論的統(tǒng)一形式：

最大拉應(yīng)力(第一強(qiáng)度)理論：

最大伸長線應(yīng)變(第二強(qiáng)度)理論：

最大切應(yīng)力(第三強(qiáng)度)理論：

r稱為相當(dāng)應(yīng)力，分別為：

形狀改變能密度(第四強(qiáng)度)理論：強(qiáng)度理論的統(tǒng)一形式：最大拉應(yīng)力(第一強(qiáng)度)理論：最大伸長§7-7強(qiáng)度理論的應(yīng)用應(yīng)用范圍：a)僅適用于常溫、靜載條件下的均勻、連續(xù)、各向同性的材料；b)不論塑性或脆性材料，在三向拉應(yīng)力狀態(tài)都發(fā)生脆性斷裂，宜采用第一強(qiáng)度理論；c)對于脆性材料，在二向拉應(yīng)力狀態(tài)下宜采用第一強(qiáng)度理論；d)對塑性材料，除三向拉應(yīng)力狀態(tài)外都會發(fā)生屈服，宜采用第三或第四強(qiáng)度理論；e)不論塑性或脆性材料，在三向壓應(yīng)力狀態(tài)都發(fā)生屈服失效，宜采用第四強(qiáng)度理論?！?-7強(qiáng)度理論的應(yīng)用應(yīng)用范圍：a)僅適用于常溫、靜載條例：兩危險(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖，

=

，由第三、第四強(qiáng)度理論分別比較其危險(xiǎn)程度。st(a)st(b)解：對圖a所示應(yīng)力狀態(tài)，因?yàn)槔簝晌ｋU(xiǎn)點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)如圖，=，由第三、第四強(qiáng)度理論分所以：st(a)所以：st(a)對圖b所示應(yīng)力狀態(tài)，有：所以：ts對圖b所示應(yīng)力狀態(tài)，有：所以：ts

可見：由第三強(qiáng)度理論，圖b所示應(yīng)力狀態(tài)比圖a所示的安全；而由第四強(qiáng)度理論，兩者的危險(xiǎn)程度一樣。

注意：圖a所示應(yīng)力狀態(tài)實(shí)際上為拉扭和彎扭組合加載對應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)，其相當(dāng)應(yīng)力如下：可記住，便于組合變形的強(qiáng)度校核?？梢姡河傻谌龔?qiáng)度理論，圖b所示應(yīng)力狀態(tài)比圖a由第三強(qiáng)度理論，有：例：利用第三或第四強(qiáng)度理論討論純剪應(yīng)力狀態(tài)下的屈服應(yīng)力

s和拉壓屈服應(yīng)力

s之間的關(guān)系。t

當(dāng)

=

s時材料發(fā)生屈服，因此有：解：圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力為：而當(dāng)材料拉壓屈服時有：由第三強(qiáng)度理論，有：例：利用第三或第四強(qiáng)度理論討論純剪應(yīng)由此可得：而利用第四強(qiáng)度理論，有：即

純剪：單拉：由此可得：由此可得：而利用第四強(qiáng)度理論，有：即純剪：單拉：由

例：兩端簡支的工字鋼梁承受荷載如圖a所示。已知材料（Q235鋼）的許用應(yīng)力為[

]=170MPa和[

]=100MPa。試按強(qiáng)度條件選擇工字鋼號碼。解：首先確定鋼梁的危險(xiǎn)截面。

作出梁的剪力圖和彎矩圖如圖b和圖c所示，可見C、D截面為危險(xiǎn)截面，取C截面計(jì)算，其剪力和彎矩為：(b)

200kN200kNFS圖M圖(c)

84kN·m(a)

B0.42m2.50

mAC200kN200kN0.42m1.66mD例：兩端簡支的工字鋼梁承受荷載如圖a所示。已知材

先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面型號。因最大正應(yīng)力發(fā)生在C截面的上、下邊緣處，且為單向應(yīng)力狀態(tài)，由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可得截面系數(shù)為：據(jù)此可選用28a號工字鋼，其截面系數(shù)為：

再按切應(yīng)力強(qiáng)度條件進(jìn)行校核。對28a號工字鋼，查表可得截面幾何性質(zhì)為：先按正應(yīng)力強(qiáng)度條件選擇截面型號。因最大正應(yīng)力中性軸處的最大切應(yīng)力（純剪應(yīng)力狀態(tài)）為：

可見，選用28a號工字鋼滿足切應(yīng)力強(qiáng)度條件，簡化的截面形狀和尺寸以及應(yīng)力分布如圖d所示。(d)a12213.728013.78.5126.3126.3tmaxsmax中性軸處的最大