考點(diǎn)41 曲線與方程、圓錐曲線的綜合應(yīng)用

考點(diǎn)41曲線與方程、圓錐曲線的綜合應(yīng)用填空題1.(2018·北京高考理科·T14)已知橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0),雙曲線N:x2m2-y2n2=1.若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M【命題意圖】本小題主要考查圓錐曲線的綜合應(yīng)用,意在考查數(shù)形結(jié)合思想與基本運(yùn)算能力,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【解析】橢圓,雙曲線都關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng),所以只需考慮第一象限內(nèi)的情況.記雙曲線N的一條漸近線與橢圓M在第一象限的交點(diǎn)為P,橢圓左焦點(diǎn)為Q,右焦點(diǎn)為F,由已知,△OPF為正三角形,邊長(zhǎng)記為2,則高為3,所以橢圓半焦距為2,2a=PQ+PF=23+2,a=3+1,離心率23+1=3雙曲線N的一條漸近線斜率為nm=tan60°=3e2=m2+n2m2答案:3-12二、解答題2.(2018·全國(guó)Ⅲ高考文科·T20)(12分)已知斜率為k的直線l與橢圓C:x24+y23=1交于A,B兩點(diǎn).線段AB(1)證明:k<-12(2)設(shè)F為C的右焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),且++=0.證明:2=+.【命題意圖】考查圓錐曲線中的求曲線方程、最值問(wèn)題,以及定值問(wèn)題,意在考查知識(shí)的運(yùn)用能力、推理能力、運(yùn)算能力,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算能力,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【解析】(1)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由已知,l的方程為y-m=k(x-1),即y=kx-k+m,由y消去y得(4k2+3)x2+8k(m-k)x+4(m-k)2-12=0,(*)4k2+3≠0,Δ>0,由根與系數(shù)的關(guān)系得,x1+x2=-8k因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為M(1,m)(m>0),所以x1+x2=2,解得m=-34所以k<0,方程(*)變?yōu)?4k2+3)x2-2(4k2+3)x+94由判別式Δ>0得k2>14,又k所以k<-12(2)設(shè)P(xp,yp),因?yàn)?+=0,+=2,所以=-2,易知F(1,0),=(0,m),所以=(xp-1,yp)=(0,-2m),所以xp=1,又因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上,所以3xp2+4所以|yp|=322||=2|yp|=3.因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓C上,所以3x12+4y12=12,y12所以||2=(x1-1)2+y12=(x1-1)2+3-3x124=14||=12(4-x1),同理,||=12(4-x2),所以||+||=12(4-x1)+12(4-x2)=12[8-(x1+x2)]=1所以2||=||+||.3.(本小題14分)(2018·北京高考文科·T20)已知橢圓M:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為63,焦距為22.斜率為k的直線(1)求橢圓M的方程.(2)若k=1,求|AB|的最大值.(3)設(shè)P(-2,0),直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D.若C,D和點(diǎn)Q-74,1【命題意圖】考查圓錐曲線中的求曲線方程,最值問(wèn)題,以及定值問(wèn)題,意在考查知識(shí)的運(yùn)用能力,推理能力,運(yùn)算能力,培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力與運(yùn)算能力,體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的數(shù)學(xué)素養(yǎng).【解析】(1)由題意得2c=22,所以c=2,又e=ca=63,所以a=3,所以b2=a2-c所以橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x23+y2(2)設(shè)直線AB的方程為y=x+m,由y=x+m,x23+y2=1則Δ=36m2-4×4(3m2-3)=48-12m2>0,即m2<4,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=-3m2,x1x2=則|AB|=1+k2|x1-x2|=1+k2·易得當(dāng)m2=0時(shí),|AB|max=6,故|AB|的最大值為6.(3)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),則x12+3y12=3①,x2又P(-2,0),所以可設(shè)k1=kPA=y1x1+2,直線PA的方程為y=k由y=k1(x+2),x23+y2=1則x1+x3=-12k121+3k12,即