基礎(chǔ)數(shù)學(xué)（第6章）

基礎(chǔ)數(shù)學(xué)BasicMathematicsBasicMathematics主講老師：全課導(dǎo)航第5章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)第6章直線與圓的方程第7章簡單幾何體第8章概率與統(tǒng)計(jì)初步簽到掃碼下載文旌課堂APP掃碼簽到（2022.3.2515:00至2022.3.2515:10）簽到方式教師通過“文旌課堂APP”生成簽到二維碼，并設(shè)置簽到時(shí)間，學(xué)生通過“文旌課堂APP”掃描“簽到二維碼”進(jìn)行簽到。。BasicMathematicsBasicMathematics第6章直線與圓的方程項(xiàng)目導(dǎo)讀“自從歐幾里得的《幾何原本》問世以來，人們一直將代數(shù)限定在研究數(shù)量關(guān)系的范疇內(nèi)，將幾何限定在研究圖形位置的范疇內(nèi)，代數(shù)和幾何截然分開了幾千年，猶如兩座高山被萬丈深淵所分隔．1637年，笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，成功地將天塹變?yōu)橥ㄍ?，使“?shù)”與“形”緊密聯(lián)系在一起．在平面上建立直角坐標(biāo)系以后，圖形與方程產(chǎn)生了密切的聯(lián)系，方程不再是一個(gè)抽象的等式，方程有形；圖形不只是一個(gè)簡單的幾何形狀，圖形有式，“數(shù)”與“形”達(dá)成了有機(jī)統(tǒng)一．1．掌握兩點(diǎn)間距離公式與線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式．2．理解直線的傾斜角與斜率的概念．3．掌握直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程，

了解直線的一般式方程．4．掌握兩條直線位置關(guān)系的判定方法．5．掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和圓的一般方程．6．理解直線與圓的位置關(guān)系及其判定方法．7．初步掌握直線與圓的方程的應(yīng)用．要求6.1直線的方程6.2項(xiàng)目導(dǎo)航兩條直線的位置關(guān)系6.3兩點(diǎn)間距離公式與線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式圓的方程6.4直線與圓的位置關(guān)系6.5直線與圓的方程的應(yīng)用6.66.1兩點(diǎn)間距離公式與線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式6.1.1兩點(diǎn)間距離公式6.1.2線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式6.1.1兩點(diǎn)間距離公式某工程隊(duì)要在A,B兩個(gè)城市之間鋪設(shè)一條海底通訊光纜，需要知道兩城之間的距離，才能準(zhǔn)備材料．工程師通過GPS全球定位系統(tǒng)將兩城的位置在平面直角坐標(biāo)系中表示出來，其中A城的坐標(biāo)為(10,22)

,B城的坐標(biāo)為(-5,2)

．生活中的數(shù)學(xué)請思考：你能幫工程師求出A,B兩個(gè)城市之間的距離嗎？知識精講學(xué)以致用

例1例2課堂練習(xí)6.1.2線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式生活中的數(shù)學(xué)李明和張華是同班同學(xué)，他們的家和學(xué)校位于同一條街道上，李明家在學(xué)校正東1km處，張華家在學(xué)校正西1.5km處，他們兩家之間中點(diǎn)處恰好有一家超市．請思考：該如何表示超市相對于學(xué)校的位置？知識精講學(xué)以致用

例3例4課堂練習(xí)學(xué)習(xí)內(nèi)容主要包括兩點(diǎn)間距離公式與線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式。課堂小結(jié)6.2直線的方程6.2.1直線的傾斜角與斜率6.2.2直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程6.2.3直線的一般式方程6.2.1直線的傾斜角與斜率如圖6-3所示為上海南浦大橋，其上用于固定橋塔的每條斜拉鋼索所在的直線都是由兩個(gè)已知點(diǎn)（即橋塔上一點(diǎn)和橋欄上一點(diǎn)）確定的．可以發(fā)現(xiàn)，在同一平面內(nèi)，兩條對稱的斜拉鋼索雖然都通過一個(gè)定點(diǎn)，但由于其傾斜程度不同，這兩條鋼索所在的直線也不同．生活中的數(shù)學(xué)圖6-3知識精講

平面上的兩個(gè)已知點(diǎn)能確定一條直線，這兩個(gè)已知點(diǎn)就是確定直線的幾何要素．在平面直角坐標(biāo)系中，兩點(diǎn)的相對位置不同，直線的傾斜程度就不同．為了確定直線的傾斜程度，需要引入傾斜角和斜率的概念．1.直線的傾斜角知識精講2.直線的斜率學(xué)以致用例1學(xué)以致用例2鑒錯(cuò)小能手6.2.2

直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程我們知道，已知直線上的兩個(gè)點(diǎn)，可以唯一確定一條直線；已知直線的斜率和直線上一點(diǎn)，也可以唯一確定一條直線．那么，根據(jù)不同的已知條件確定的直線方程相同嗎？直線方程有哪些不同形式？不同形式的直線方程之間有什么內(nèi)在聯(lián)系？生活中的數(shù)學(xué)知識精講知識精講圖6-6圖6-7（a）（b）學(xué)以致用例3知識精講學(xué)以致用例4鑒錯(cuò)小能手6.2.3直線的一般式方程生活中我們經(jīng)常會看到有坡度的道路．為了確保正常與安全行駛，我國規(guī)定一級公路和高速公路的最大坡度為3%（山嶺重丘區(qū)為4%～5%）．道路坡度并不是我們通常理解的度數(shù)，它是坡面的垂直高度與水平長度的比值．例如，如果在某道路上水平距離前進(jìn)100m時(shí)，垂直高度上升了3m，則該道路的坡度為3%．可以看出，坡度與斜率是相近的概念，在實(shí)際生活中有廣泛的應(yīng)用．生活中的數(shù)學(xué)用點(diǎn)斜式方程和斜截式方程表示直線時(shí)，都需要求得直線的斜率．如果直線的斜率不存在這兩種方程便不再適用．有沒有一種形式的方程能表示所有的直線而且可以反映出各種形式直線方程的統(tǒng)一性呢？知識精講圖6-9（a）（b）（c）學(xué)以致用例5例6課堂練習(xí)學(xué)習(xí)內(nèi)容主要包括直線的傾斜角與斜率以及直線的點(diǎn)斜式方程與斜截式方程和直線的一般式方程。課堂小結(jié)6.3兩條直線的位置關(guān)系6.3.1

兩條直線平行與重合6.3.2

兩條直線相交與垂直6.3.3

點(diǎn)到直線的距離6.3.1兩條直線的平行與重合生活中的數(shù)學(xué)我們?nèi)粘Ｉ钪写嬖诤芏嗥叫械那闆r，如雙杠的兩個(gè)橫桿、操場跑道直道部分的跑道線、電梯兩邊的扶手、火車的兩條鐵軌等，如圖6-10所示．

圖6-10知識精講1.初中時(shí)我們學(xué)過，當(dāng)兩條直線都與第三條直線相交時(shí)，“同位角相等”是“兩條直線平行”的充要條件．下面我們從斜率的角度來研究兩條直線平行的充要條件．

于是，得出：

即

于是，得出

知識精講1.

學(xué)以致用例1學(xué)以致用例2課堂練習(xí)6.3.2兩條直線相交與垂直生活中的數(shù)學(xué)直線相交的情況在生活中也很常見，如鐘表上的時(shí)針與分針、剪刀張開時(shí)的兩條刃邊、空中交錯(cuò)的電線電纜、中國象棋棋盤上的交叉線等，如圖6-12所示．在數(shù)學(xué)中，如何根據(jù)兩條相交直線的方程確定其交點(diǎn)坐標(biāo)呢？

圖6-12

知識精講1.

圖6-13

該方程組的解就是交點(diǎn)

P

的坐標(biāo)．知識精講1.

反之，若，則，可以得到

知識精講1.

如圖6-14（b）所示，如果兩條直線的斜率一個(gè)等于零，另一個(gè)不存在，顯然，這兩條直線也垂直．

（a）

（b）圖6-14圖6-14學(xué)以致用例4學(xué)以致用例56.3.3點(diǎn)到直線的距離生活中的數(shù)學(xué)某縣城北部有一大型倉庫，東部有鐵路穿過，現(xiàn)計(jì)劃修建一條公路和一個(gè)貨運(yùn)站，將倉庫和鐵路連接起來，以方便倉庫貨物的運(yùn)輸．請思考：怎樣設(shè)計(jì)才能使公路最短？應(yīng)如何確定貨運(yùn)站的位置？

知識精講1.

點(diǎn)

到直線

的距離公式為圖6-15學(xué)以致用例6學(xué)以致用例7本小節(jié)主要包括兩條直線的相交、平行、重合、垂直以及點(diǎn)到直線的距離。課堂小結(jié)6.4圓的方程6.4.1

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程6.4.2

圓的一般方程6.4.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程生活中的數(shù)學(xué)圓是最完美的幾何圖形，而且在生活中隨處可見，如硬幣、車輪、井蓋等都是圓形．因?yàn)橛辛藞A，我們的世界變得多姿多彩、神奇美妙．這節(jié)課，就讓我們走進(jìn)圓的世界，探索圓的奧秘．知識精講如圖6-17所示，在平面直角坐標(biāo)系中，已知一個(gè)圓的圓心為點(diǎn)

C(a,b)，半徑為

r，通常將該圓記作圓

C．平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合稱為圓，其中，定點(diǎn)稱為圓心，定長稱為半徑．根據(jù)圓的定義，當(dāng)圓心位置和半徑大小確定后，圓就唯一確定了．因此，圓心和半徑是確定圓的最基本要素．設(shè)點(diǎn)

P(x,y)

為圓

C上任意一點(diǎn)，則

．根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可得將上式兩邊平方可得通常，我們將式（6-10）稱為以點(diǎn)

C(a,b)為圓心、以

r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．若圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)

O(0,0)，則半徑為

r的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

圖6-17學(xué)以致用例1學(xué)以致用例2課堂練習(xí)6.4.2圓的一般方程生活中的數(shù)學(xué)無論是自行車還是汽車，它們的車輪都是圓形，為什么車輪都做成圓形呢？因?yàn)閳A形車輪不僅容易滾動，而且車輪上各點(diǎn)到車輪中心的距離都等于車輪的半徑．當(dāng)車輪在地面上滾動時(shí)，車輪中心與地面的距離始終保持不變．因此，當(dāng)車輛在平坦的路面上行駛時(shí)，坐車的人會感覺非常平穩(wěn)．這便是車輪做成圓形的數(shù)學(xué)原理．知識精講學(xué)以致用例3課堂練習(xí)6.5直線與圓的位置關(guān)系6.5直線與圓的位置關(guān)系生活中的數(shù)學(xué)觀察圖6-18中三幅海邊日出的圖片可以發(fā)現(xiàn)，在太陽升起的過程中，太陽逐漸離開海平線，然后越升越高．若將太陽看作圓，將海平線看作直線，三幅圖片分別反映了直線與圓之間的何種位置關(guān)系？

圖6-18知識精講如圖6-19所示，已知圓

O

的半徑為r，設(shè)圓心

O到直線l的距離為

d，則直線與圓的位置關(guān)系有以下幾種．（1）直線與圓相交：有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖6-19（a）所示；（2）直線與圓相切：僅有一個(gè)交點(diǎn)，如圖6-19（b）所示；（3）直線與圓相離：沒有交點(diǎn)，如圖6-19（c）所示．直線與圓的位置關(guān)系可以根據(jù)

d與

r的大小關(guān)系進(jìn)行判斷．（1）

d<

r：直線與圓相交；（2）

d=r：直線與圓相切；（3）

d>r：直線與圓相離．圖6-19知識精講學(xué)以致用示例課堂練習(xí)

通過學(xué)習(xí)圓的相關(guān)知識，我們知道了直線與圓的位置關(guān)系的幾種分類，為后續(xù)學(xué)習(xí)直線與圓的方程的應(yīng)用做鋪墊．課堂小結(jié)6.6直線與圓的方程的應(yīng)用6.6直線與圓的方程的應(yīng)用學(xué)以致用示例課堂練習(xí)1．一條光線從點(diǎn)

M(5,3)

射出，經(jīng)過鏡面（x軸）反射后過點(diǎn)N(2,6)

，求反射光線所在的直線方程．2．趙州橋圓拱的跨度是

37.4m，圓拱高度約為

7.2m，

適當(dāng)選取坐標(biāo)系，求出其圓拱所在圓的方程.本章小結(jié)本章首先介紹兩點(diǎn)間距離公式與線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，分析直線的傾斜角與斜率，進(jìn)一步講解直線的點(diǎn)