高中數(shù)學 立體幾何中的向量方法

第7課時立體幾何中的向量方法2014高考導航考綱展示備考指南1.理解直線的方向向量與平面的法向量．2.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關系．3.能用向量方法證明有關直線和平面位置關系的一些定理(包括三垂線定理)．4.能用向量方法解決直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角的計算問題，了解向量方法在研究立體幾何問題中的作用.從近幾年的高考試題來看，利用空間向量證明平行與垂直，以及求空間角是高考的熱點，題型主要為解答題，難度屬于中等偏高，主要考查向量的坐標運算，以及向量的平行與垂直的充要條件，如何用向量法解決空間角問題等，同時注重考查學生的空間想象能力、運算能力.本節(jié)目錄教材回顧夯實雙基考點探究

講練互動名師講壇精彩呈現(xiàn)知能演練輕松闖關教材回顧夯實雙基1．直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量：在直線上任取一________向量作為它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程組求出：設a，b是平面α內(nèi)兩不共線向量，n為平面α的法向非零思考探究直線的方向向量和平面的法向量是唯一的嗎？提示：不唯一，凡是在直線l上的非零向量或與l平行的非零向量都可以作為直線的方向向量，凡是與平面垂直的非零向量都可以作為平面的法向量．cosθ＝cos〈n1，n2〉或－cos〈n1，n2〉．課前熱身答案：B2．已知M(1,0,1)，N(0,1,1)，P(1,1,0)，則平面MNP的一個法向量是(

)A．(1,0,0) B．(0,1,0)C．(0,0,1) D．(1,1,1)3．已知直線l的方向向量為v，平面α的法向量是μ，且v·μ＝0，則l與α的位置關系是__________．答案：l?α或l∥α4．已知正方體ABCD－A1B1C1D1中平面AB1D1與平面A1BD所成的角為θ(0°≤θ≤90°)，則cosθ＝__________.考點探究講練互動例1【證明】以C為坐標原點，CB所在直線為x軸，CD所在直線為y軸，CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角，∴∠PBC＝30°.【名師點評】

(1)利用空間向量解決空間中線面位置關系的證明問題，以代數(shù)運算代替復雜的空間想象，為解決立體幾何問題帶來了簡捷的方法.(2)用空間向量解決立體幾何問題的關鍵是建立適當?shù)淖鴺讼?，并準確地確定點的坐標，另外運算錯誤也是解題中常出現(xiàn)的問題．跟蹤訓練例2(2011·高考大綱全國改編卷)如圖，四棱錐S－ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，側面SAB為等邊三角形，AB＝BC＝2，CD＝SD＝1.(1)證明：SD⊥平面SAB；(2)求AB與平面SBC所成角的正弦值．【解】以C為坐標原點，射線CD為x軸正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.設D(1,0,0)，則A(2,2,0)、B(0,2,0)．又設S(x，y，z)，則x>0，y>0，z>0.【名師點評】利用向量法求線面角的方法：(1)分別求出斜線和它在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉化為求兩個方向向量的夾角(或其補角)；(2)通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角．跟蹤訓練解：(1)證明：由正三棱柱ABC－A1B1C1的性質(zhì)知，AA1⊥平面ABC.又DE?平面ABC，所以DE⊥AA1.又DE⊥A1E，AA1∩A1E＝A1，所以DE⊥平面ACC1A1.又DE?平面A1DE，故平面A1DE⊥平面ACC1A1.例3(2012·高考天津卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)證明PC⊥AD；(2)求二面角A－PC－D的正弦值；(3)設E為棱PA上的點，滿足異面直線BE與CD所成的角為30°，求AE的長．【名師點評】

求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角．解：(1)證明：如圖，連接AB′，AC′，因為三棱柱ABC－A′B′C′為直三棱柱，所以四邊形ABB′A′為矩形，又M為A′B的中點